CHAPITRE XI

en effectuant les calculs, on trouvera les valeurs suivantes de r et de f :

(g— apsinO^ , (g— aQsinS *■— sin(0— y) ' * ~ 8in(8— 60 '

Dans le cas où, les deux droites étant parallèles^ 0 est égal à ^, la différence 6—0^ devient nulle; et par suite,ainsi que cela doit être, les valeurs de r et der' sont infinies.

D'un point donné abaisser une perpendiculaire sur une droite dcnnie*

Supposons en second lieu que d'un point donné M on veut abaisser une perpendiculaire sur une droite.

Si nous joignons le point en question avec l'origine au moyen d'une droite dont la longueur est r et qui fait un

angle 9 avec la ligne de base l'expression r(cos 9 4* V— i si" f) représentera le point en question ; si d'un autre côté la droite donnée coupe la ligne de base à une distance a de l'origine et fait avec elle un angle ô^ un point quelconque de cette droite aura pour expression

a + x (cos 6 + V-— I sin 6j,

X représentant la distance de ce point à l'extrémité de a.

Cela posé soit P le pied de la perpendiculaire et appelons y la longueur HP; si a? se rapporte au point P il faudra que le chemin dirigé

a-^x (cos 0 H- v'^^ sin 6),

soit égal au chemin dirigé OH + PH. Or, OH dirigé est égal à

r (cos f + V'^^ sin ep) ; quant à PH^ comme elle est perpendiculaire à la droite , sa direction sera celle de la droite

même multipliée par y^^; on aura donc

(OH+PH)dirîgé==r(cos9+v'^sin<p)+yV'~(cosô+/^sin6);

égalant cette expression à la précédente on en déduira deux conditions à l'aide desquelles on obtiendra les valeurs de x et dey.

270 DE LA COMBINAISON DB l'aTTRIBDT^ ETC.

On simplifierait notablement le calcift en prenant OM pour ligne de base ; dans ce cas Tangle f est nul, et Téquation à résoudre sera

a-f-a5(cosô + v'--^ sin 6) = f 4- y V^^ (cosO -f-V— ^sinô).

Contours polygonaux.

Considérons maintenant un polygone fermé dont les côtés successifs sont a^^ a^, a,, a^^...^ a».,, a«. Supposons que Tangle de a^ avec an est 6, , celui de a, avec Oi est 6, , celui de a, avec a, est 6,, et ainsi de suite jusqu'à l'angle de a« avec an.i qui sera 6» ; de sorte que 6i, 6,^ 0,, . . .^ 0» sont les angles extérieurs du polygone ; il suit de là que l'angle que fera un côté quelconque ag avec On sera 6i + 9t +• • --+•%•

Cela posé^ prenons pour origine le sommet déterminé par la rencontre des côtés Qn-i et an, et pour ligne de base la direction du côté On» Il s'ensuit que, ce dernier côté se confondant avec la ligne de base, la somme Oi + 0,+ 6| + . . . -h 6» sera égale à 277; la somme des angles extérieurs vaut donc quatre angles droits.

Si l'on ajoute les côtés dirigés On, ai, at, as,...,a«-u ^^ retombe sur l'origine ; cette somme doit donc être égale à zéro, ce qui donne :

On+ûi [cos 61 -h V--Î sin ô] ,

+ a, [cos {6i + e.) 4- V^ sin (ôj 4- 6,)] , 0=] +a» [cos (04+6,+e,)+^^ sin (6^+6,-1-6,)]

-hOn^t [COS(ei-i-0, + 6,+...-4-6n-i)

-+- v^=l sin (6,^-6, +e,H-. . . +e,..o];

d'où on déduit

a4Cosôi4-aiCos(6i-i-e,)+...-han-iCos(Ôj-+-6,+...-f-6n-,^=:-fliin

c'est-»à-dire que la somme des projections des côtés d'un po* lygone sur un d'entre eux est égale à ce côté pris en signe contraire.