CHAPITRE XI

Od a d'autre part .

(ï,8in6iH-.a,8in(6,+6,)-+-. . .-^On^^t sin(6, 4-6,4-. . .4-6n-i)==o,

c'est-à-dire que la somme des projections des côtés sur une droite perpendiculaire à Tun d'eux est égale à zéro.

Eofln si, -au lieu de prendre pour ligne de base un des côtés, on prend une droite quelconque faisant avec ce côté un angle (f, toutes les directions précédentes rapportées à la nouyelle

base devront être multipliées par cosf -f v^^ sin f . Or cela n'empêche pas la ^mme des côtés dirigés d'être nulle^ et on conclura de là que la somme des projections de ces côtés sur ane droite quelconque est nulle .

On voit avec quelle facilité toute la théorie des polygones se déduit de la considération des longueurs dirigées.

Nous pensons que ces exemples sont suffisants pour donner une idée de la marche à suivre dans toutes les circonstances géométriques où ne figurent que des lignes droites ; toutefois, avant de passer à un autre sujet, nous ferons remarquer que, dans les calculs des longueurs dirigées comme dans tous ceux qu'on fait en algèbre, il peut et doit se présenter des cas d'impossibilité; or on conçoit facilement que cette circonstance sera révélée par la manifestation d'une valeur de cos 0 qui sera supérieure à Tunité ; cela prouvera que les longueurs dont on pourrait avoir à faire usage ne sont susceptibles d'être portées sur aucune direction et que par conséquent la géométrie est impuissante à réaliser les conditions imposées par l'énoncé. Nous nous bornons ici à cette simple indication^ nous proposant de donner à ce sujet tout le développement qu'il mérite.

II n'est pas sans intérêt de donner ici la traduction de quel« ques formules trigonomélriques qui se produisent dans le domaine abstrait, mais dont la signification concrète a été ignorée jusqu'à ce jour. Si l'on considère les deux expressions

(cos a 4- v'—i si n a)* et (cos a — ^— i sin a)*, on sait que> si on les ajoute, leur somme sera 2 cos n a et que