CHAPITRE XI
elles seront évidemment symétriques par rapport à la liççne de base.
Or Taddition de ces deux longueurs dirigées se fera en menant par le point A à la suite de OA une longueur égale et parallèle à 0A^ A cause de la symétrie^ le pomt A^ viendra tomber en un point A" de la ligne de basey et on formera ainsi un triangle isocèle GAA*", dont la base OA" sera évidemment le double de cosnoc.
Si maintenant, conformément à la seconde formule^ on veut retrancher OA^ de OA, il faudra par le point A mener à la suite de OA une longueur égale et parallèle à OA^, mais^à cause de la soustraction, la prendre en sens inverse de la précédente; et parce que tout est encore ici symétrique^ le point A' viendra tomber en un point A''' de la perpendiculaire à la ligne de base menée par l'origine^ de sorte qne Ton formera ainsi un triangle isocèle OAA^^^ dans lequel la base sera évidemment le double de sin na ; et parce que d'ailleurs la base de ce triangle est perpendiculaire à la direction primitive^ le résultat de l'opération, tant en longueur qu'en direction ;, sera
2 v^^ sinna.
On voit donc combien sont simples les figures de géométrie à Taide desquelles se fait la traduction de ces formules.
Par un point donné mener une tangente à une circonférence
donnée.
Passons niaintenant à ce qui concerne les circonférences. Une circonférence de rayon r étant donnée, supposons que son centre est à un pointe, déterminé par l'expression
a(cos9-hv^^ sinç).
Un point quelconque de cette circonférence sera représenté par
a (cosç+V— ^sin(p) + r(cosO-hv^~i sin 6),
274 DE LA GOMBINAISOII DE l'ATTRIBCT, BT€.
0 désignant Tangle que fait le rayon r avec la ligne de base. Supposons que par un point A, défini par
a' (cosç^+v^^ sinç'),
on veut lui mener une tangente; si Ton désigne par T le point de contact^ il faudra que le chemin dirigé OC+CT soit égal au chemin dirigé OA+AT. Nous savons ce qu'est le premier; quant au second , la partie OA est connue^ elle est égale à
a' (cos ç^-H v'—ï sin ç');
il ne reste qu'à déterminer AT. Or si cos 0 + V^ sin 0 est la direction du rayon mené au point de contact^ comme la tangente est perpendiculaire à ce rayon, sa direction sera
V^ (cos 8 -h v/--î sin 8) et Ton devra avoir
a (cosç -h v^^ sin 9) -hr (cos 8 -4- ^f^ sin 6)
= a'(cos<p'4-V--î sin (j/) -t- AT V^ (cosô+v^^ sin 6);
on déduira de là les valeurs de 8 et de AT^ en égalant séparément le réel au réel et l'imaginaire à l'imaginaire.
Nous avons supposé que les positions des points C et A sont quelconques relativement à Porigine et à la ligne de base, afin de faire voir comment s'établissent pour le calcul les combinaisons des longueurs dirigées. Mais, cela une fois indiqué, on peut beaucoup simplifier la solution en prenant C pour origine et la droite CA pour ligne de base. Dans ce cas, la longueur a et les angles 9 et f^ étant nuls, et a' désignant la distance GA, on a simplement
(f — AT V^) (cos 8 -h V^ sin 8)?=a^;
d'où on déduira
cos8=-,. AT=a'8in8.
GHAPITRB XI. Tih
Intêr$eetion de deux circonférences.
Cherchons maintenant l'intersection de deux circonférences dont les rayons sont r et r^, et dont ]es centres placés eucei& sont situés à des distances a et a^ de Torigine qui font respectivement avec la ligne de base des angles 9 et f/.
Le centre c sera représenté par une expression de la forme
a (cos 9 -h V— ï^ 8>o ?)•
De sorte qu'un point quelconque de la première circonférence aura pour représentation
a (cos ç+ v'— I sinç)-hf (cosO-4-V^sin6),
et un point quelconque de la seconde
o^ {cos<p'H-V— ï^ sin <j/)-Hr'(cos6^-f ^f^ sinô^),
les angles 6 et 0^ étant Tariables à volonté.
Si Ton veut maintenant obtenir les points communs aux deux circonférences, on écrira que ces deux expressions sont égales^ et de cette relation on déduira pour les parties réelles
a cos<p-f-r cos9=a^ cosç'+r' cosô^
et pour les parties imaginaires
asinç-i-rsin6=a'sinç'-i-fsiny.
Au moyen de ces deux conditions on obtiendra les valeurs de 0 et 6^. Tel est le procédé général pour résoudre la question.
liais tout cela se simplifie beaucoup si l'on prend pour ligne de base la ligne des centres et l'un des centres e pour origine^ on a alors
et a' devient la distance des centres; les conditions se réduisent ainsi à
r co60=a'+r^ cos 6^, r sinOssr' sin V.
S76 DE LA COMBINAISON DE l'aTTRIBUT^ ETC.
Prenant la somme des carrée^ on a
eos6^=
2aV
Si au lieu de la valeur de 6^ on avait voulu celle de 6, avant de faire la somme des carrés^ on aurait fait passer a' dans le premier membre de la première équation^ et on aurait eu
COS 8 r= ! — ; .
2ar
On remarquera d'ailleurs que les cosinus de 0 et 6' correspondent chacun à deux angles égaux placés l'un au-dessus, l'autre au-dessous de la ligne de base^ de sorte qu'il y a deux points de concours symétriquement situés par rapport à la ligne des centres.
Tangente commune à deux circonférences.
Proposons-nous de résoudre le problème qui consiste à mener une tangente commune à deux circonférences, dont les rayons sont r et r^, le rayon r étant le plus grand des deux, et dont les centres sont placés en c et &, à une distance d l'un de l'autre.
Appelons T et T' les points de contact. Prenons l'un d'eux T pour origine et la direction de la tangente commune pour ligne de base ; il faudra que le chemin dirigé 'Ic-hc& soit égal au chemin dirigé TT' + TV.
Cela posé, 0 étant l'angle que la ligne des centres fait avec la tangente du côté des deux circonférences^ le supplément ir — 6 de cet angle sera celui qu'il faudra prendre pour sa direction, qui sera
COS (w — 6)+ V — I sin (tt — 6),
ou
— cosô-hv'-— I sinÔ.
Hais corame^ d'après la figure, on doit la considérer comme marchant à rebours de son sens nature], il s'ensuit que, dans la question qui nous occupe, son chemin dirigé aura pour
