CHAPITRE XI

expression

d(co8G— V--Î8in6);

d'un autre côté, si Ton remarque que les deux rayons sont perpendiculaires à cette dernière^ l'équation du problème sera

rV^+d (cosO— v/=7 8ine)=Tr-f-f^V^;

on en déduit immédiatement

TT^=dcose, r—r^=d sine, et l'on trouve

Tr=V^d«— (r-i^)% sinÔ=î^.

La même construction pouvant évidemment s'exécuter des deux côtés de la ligne des centres^ on voit que le problème a deux solutions.

Si la tangente était intérieure, les deux rayons au lieu d'avoir même direction auraient des directions inverses; il n'y aurait donc qu'à changer dans l'équation du problème le

signe de v'^ pour l'un des rayons r ou r^; il en résulterait que la différence r — r^ se changerait en somme et Ton aurait

TT'=v/d*— (r'-+-r)% sine=±î^^^ avec deux solutions, comme dans le cas précédent.

Circonférence passant par un point donné et tangente

à une circonférence donnée.

Proposons-nous de faire passer par le point C une circonférence qui soit tangente à une autre circonférence , dont le centre est en 0 et dont le rayon est r.

Ce problème est susceptible d'une infinité de solutions.

Veut-on, par exemple, que le point de contact soit en T {fig. i), on mènera la droite. CT, puis le rayon TO. On élèvera à CT, par son milieu, une perpendiculaire PM, et le point M,

278 DB LA COMBDIAISON DB l'ATTRIBUT, BTCt

OÙ celle-ci rencontrera le rayon TO prolongé, sera le oentre de la circonférence cherchée.

Fig. i,

Appelons d la distance CO et prenons sa direction pour ligne de base^ soit 6 l'angle du rayon OT avec la ligne de base^ désignons par p la distance CT^ et par a Tangle de CT avec la ligne de base.

Les relations qui existent entre ces diverses quantités seroot données par Féquation

d+r(cos6+v''— I sine) = p (cosa+y^^sina),

de laquelle on tire

d+r cos 6 =p cos a, r sin 6 =p sin a.

On en déduit immédiatement

d + rcosO rsinô cosa=— ! , sma=: ,

puis^ prenant la somme des carrés^

p«=(p-4-r«+2drcos6.

Ainsi a et p seront connus en fonction des données r, d et 6, de sorte que tous les rapports à la considération desquels peut donner lieu la figure ci-dessus pourront être obtenus.

Veut-on^ par exemple^ le rayon HT! On remarquera que Tangle en T est égal à 6— a, et Ton aura

MTcos(e— a)=TP=^-

CHAPITBB XI. S79

OT) pour ayoir cos(0— a)^ multiplions la valeur de awapar 006 0, celle de sina par sinô et lyoutonsj il Tiendra

ces (0— a)= -i— ;

P donc

'"'==2(dcos6W et, remplaçant p* par sa valeur,)

^,,d»+f*+2drcosO

2(dcos6H-r)

Certes, nous sommes loin de prétendre que les procédés ordinaires de la géométrie ne sont pas susceptibles de nous faire connaître quelques-uns des rapports résultant d'une figure donnée : par exemple, dans le cas actuel, si Ton abaisse du point C une perpendiculaire sur HT , on obtiendra un triangle rectangle CQT, qui sera semblable au triangle THP, parce que Tangle aigu T est commun aux deux, on en déduit

TQ : CT :: pt : mt ou tq : ? :: ^ : mt,

nuds

TQ=QO+r=dco80+f,

donc

irr— P ^

2(dcos6+r)

ainsi que nous Tenons de le trouTcr.

Hais ce qu'on peut reprocher à ces procédés, c'est qu'ils ne sont la conséquence précise d'aucune règle, et qu'on peut quelquefois être longtemps à trouTer les plus simples, qu'on peut même, après beaucoup d'efforts, ne rien trouver.

Or, à l'aide de la théorie des longueurs dirigées, cet incouTénient n'existe plus, parce que la figure géométrique même étant traduite en algèbre, on possède ainsi dans cette science une relation entre les données équiTalentes à celle qui les unit en géométrie ; dès lors toutes les déterminations qu'il peut couTenir de faire, soit directement sur ces données, soit sur