DE LA COMBINAISON DE L'ATTRIBUT^ ETC

leurs conséquences^ ne sont plus qu'une affaire de calcul qu'on traitera avec plus ou moins d'habileté, mais qu'on sera toujours sûr de mener à bonne fin.

Cette théorie substitue ainsi des règles fixes pour toutes les circonstances à des procédés quMl faut chercher dans chaque cas particulier et qu'on n'est pas sûr de trouver ; elle présente donc d'incontestables avantages.

Elle n'a pas d'ailleurs la prétention d'exclure les connaissances déjà acquises en géométrie et de vouloir que tout se fasse par elle seule. Tant que cela pourra être plus commode, ou fera usage de ces connaissances , qui donneront souvent des moyens d'arriver plus rapidement. Hais on la tiendra en réserve pour des cas difficiles dans lesquels l'intuition de la marche à suivre ne se présentera pas immédiatement à l'esprit.

C'est même avec la combinaison de ces divers moyens qu'U faudra désormais poursuivre les recherches géométriques^ utilisant ainsi ce qui est connu pour aller plus vite, et se servant de la nouvelle théorie pour déterminer Tinconnu par des procédés certains.

Circonférence tangente à deux autres.

Qu'il soit question, par exemple, de tracer une circonférence qui en touche deux autres dont les centres sont C et C^ et dont les rayons sont R et R^ Si je suppose le problème résolu et le centre et le rayon K trouvés, je remarquerai que, si du même centre, je décris une circonférence dont le rayon soit diminué du plus petit R^ des rayons donnés, cette circonférence passera par le centre C^ et sera tangente à une circonférence dont C serait le centre et dont le rayon serait R — R^ Il resuite de cette remarque que si, dans la figure précédente, je suppose que le rayon r est égal à R — R^^ je n'aurai qu'à augmenter le rayon MT de R' pour avoir la valeur de K. J'aurai ainsi immédiatement

K MT , n;d'+2d(R-R0cos9-KR-R0»

K M1-I-K- 2[(R-R0Tl-dco6e)] ^"

d- + 2dRcos9 + R' — R^' ~" 2L(R— R')-+-dcos6j

CDAPITRE XI. 28!

L'on voit donc qu'il n'a pas été nécessaire de recourir à la considération de nouvelles longueurs dirigées.

Les problèmes que nous venons de traiter nous conduiront à des conséquences utiles pour traiter la question suivante.

Déterminer le lieu de la rencontre de deux tangentes de longueurs égales menées à deux circonférences.

On vient de voir qu'on peut d'une infinité de manières mener une circonférence tangente à deux circonférences données. Si aux points de contact T et T^ {fig. 2) on mène des tangentes

à cette circonférence commune et si H est le point de rencontre on aura HT=MT^ Comme en outre ces lignes seront tangentes aux circonférences données^ on voit qu'il y aura une infinité de couples de tangentes à celles-ci qui jouiront de la propriété que leurs longueurs comprises entre leur point d'intersection et les points de contact seront égales. Il s'agit de savoir sur quelle ligne se trouvent placés tous ces points d'intersection.

Soient C et 0 les centres des deux circonférences données, f^ et r leurs rayons^ appelons d la distance des centres dont nous prendrons la direction pour ligne de base, plaçons enfin l'origine au point C ; désignons par 0 et 6^ les angles que font avecla ligne de base les rayons qui vont aux points de contact.

Il s'ensuit que la direction de OT sera

C08Ô-hV--ï sinO,

982 DE LA GOHBIIfAISON BB L'ATTRIBUT, BTC.

et celle de HT qui lui est perpendiculaire sera

V^ (cos 6 -h V— ï **Q 9)i

on en dirait autant des directions respectives de GT' et T^M.

Gela posé, il faudra que le chemin dirigé G0+ OT+TH soit égal au chemin dirigé CT^ + TM, puisque Tun et Fautre Tont aboutir au point H en partant de l'origine. Gela donne la relation

dH-(r4-TM v'^^ {cos6-4- ^^^sin 6)

=(1^+111 v/^(cosy4-v^=^«nO')»

d'où Ton tire

dH-rcose— TMsinezrr'cosO' — TMsinV, r sin 6 + TM cos6 =i^siny-HTM cosy.

Faisant la somme des carrés et opérant les réductions, il vient

(P4-r*-H2d(rcos6— TMsin6)=r'% d'où Pon déduit

TMsin6— rcos6=

Or, si du point M on abaisse sur GO la perpendiculaire HP, il est facile de reconnaître que TM sin 0 et r cos 0 sont les projections respectives de TH et de OT sur la ligne de base, et que leur différence est par conséquent égale à la distance OP. Mais, la valeur de cette différence étant indépendante de 0, il s'ensuit qu'elle sera la même pour tous les couples de tangentes égales, et que par conséquent le lieu cherché est la ligne HP. Gette ligne est ce qu'on appelle Vaxe radical des deux cercles.

Nous ne nous arrêterons pas aux conséquences résultant de ces propriétés, pour la résolution du problème qui consiste à trouver une circonférence tangente à trois autres, car, nous le répétons, notre but n'est pas ici de courir après la recherche des propriétés géométriques; les questions que nous avons traitées ont eu pour unique objet d'initier le lecteur dans la forme des procédés à suivre pour appliquer la nouvelle

CHAPITBS XI. 283

théorie aux spéculations de la science de l'étendue. Or nous pensons que ce que nous Tenons de dire^ complété par des applications personnelles que chacun pourra entreprendre à son gré^ sera très-suffisant pour rendre ces procédés familiers. Nous reviendrons d'ailleurs sur toutes ces choses lorsque nous nous occuperons de la représentation algébrique des courbes autres que les cercles^ et lorsque^ dans un écrit qui suivra celui-ci^ nous apprendrons à construire géométriquement les racines des équations.

Avant d'aller plusjoin^ il est nécessaire de présenter quelques explications sur une observation importante. Dans les calculs des longueurs dirigées, comme dans tous ceux qu'on tait en algèbre, il peut et il doit se rencontrer des cas d'impossibilité. Il est naturel de se demander comment ils se révéleront. Or on conçoit facilement que Texistence d'une longueur deviendra impossible lorsqu'il nous sera interdit de la placer sur aucune direction, et il en sera évidemment ainsi toutes les fois que le cosinus ou le sinus de la direction qui concerne cette longueur seront plus grands que l'unité positive on négative. Dans ce cas, cette direction n'étant pas réalisable, nous nous trouverons dans l'impossibilité d'opérer. Tel est le caractère algébrique au moyen duquel nous reconnaîtrons qu'il y a dans les données d'une question géométrique une contradiction. Soumettons cette idée au contrôle de quelques vérifications.

Nous avons vu que la construction d'un triangle dont l'un des côtés a pari de l'origine et est situé sur la ligne de base, dont les deux autres côtés sont 6 et c, et qui a pour angles ^> P> Y) se fera à l'aide des relations (voir page 262)

a — 5 cos Y=c cos p, 6 sin y=c sin p.

On déduit de ces deux équations, en faisant la somme de leurs carrés,

a^-hb^—c*

i84 DE LA GOMBINAISOlf DB L'aTTRIBUT, ETC.

tant que a est plus petit que b-hc, cette valeur de cos y est inférieure à Tunité, mais si a est plus grand que b-hc^ si on a a=6-4-c-h*, elle devient

2 (6 H- c 4-*) 6 ~ 2{b-hc-^k)b

2ck-hk*

■"'■^2(6-hc-hA)6'

et est par conséquent plus grande que i.

Il en serait de même de cos ^, car, en vertu de la relation ddessus, on a

cos 6 = i = ;

'^ c 2ac

or, cette expression n'étant autre chose que celle de cos y dans laquelle b remplace c et réciproquement^ la conséquence sera la même que précédemment^ puisque cette conséquence dépend d'une hypothèse faite sur b-hc, qui est une fonction symétrique de 6 et de c.

Au reste si Ton considère l'équation primitive

a = 6 cos y + c cos p,

on en déduit que nécessairement a doit être toujours moindre que 6 + c pour que le problème soit possible, puisqu'il est assujetti à être égal à la somme de deux fractions de b et de c. En second lieu, lorsque nous avons traité la question de rinterseclion de deux circonférences de rayon r et r', nous avons trouvé que a étant la distance des centres^ 6 et O' les angles que font avec la ligne de base les rayons qui vont à on point commun^ on doit avoir (page 275)

r cos 6 = a H- r^ cos 6',

d'où

a=r cos6 — r^cosô';

mais si f désigne Tangle supplémentaire de b', on aura