CHAPITRE XI

et par suite

cos6^ = — C0S9 et a = rcos6-i-i^cos9;

d'où l'on voit que a étant égal à la somme de deux fractions de r etf^ cessera d^être possible lorsque a sera plus grand que

On déduit en effet de l'équation de condition primitive

2ar

équation en tout semblable à la précédente, sous la réserve que & et c sont remplacés par r et r^ et qui donnera par suite une valeur du cosinus plus grande que Tunité lorsque r + r* sera supérieur à a.

En troisième lieu, dans le problème où il a été question de mener par un point une tangente à la circonférence^ nous avons trouvé que^ si a^ est la distance du point donné au centre et si 0 est Tangle que fait avec la ligne du centre le rayon mené au point de contact, on a (page 274),

r cos6=-7.

Ce cosinus existera donc toujours tant que a^ sera supérieur à r; mais il deviendra plus grand que Tunilé et par conséquent impossible si a^ est plus petit que r, et en eff'et la tangente ne peut être menée lorsque le point donné est intérieur au cercle* Enfin lorsqu'il s'est agi de mener une tangente commune à deux circonférences de rayons r et r^ et dont les centres sont à la distance d Tun de l'autre, nous avons trouvé que le sinus de Tangle 0 que fait la tangente commune avec la ligne des centres a pour expression

et qu'il devient par conséquent supérieur à Tunité dès Tinstant que d est moindre que r — r^: c'est qu'en effet la petite circonférence étant alors située tout entière dans la grande une tangente commune ne peut plus exister.

286 DB LA GOMBIICAISON BB l'ATTRIBUT, ETC.

Ces faits étant ainsi constatés^ faisons-les suivre de quelques observations. Si Ton considère l'expression analytique relative à la construction du triangle a, fr, c (voir n"* II) , expression qu'on peut mettre sous la forme

a=b (cosy— V^sinY)-4-c (cosP-hV— i sinP),

on voit qu'à un point de vue général on peut dire qu'elle exprime le problème qui consiste en ce que la somme des produits de 6 et de c, par deux facteurs, soit égale à la quantité a. Si l'on désigne ces facteurs par x et y, Téquafion générale de ce problème, a? et y étant quelconques, serait donc a=:&x+cy. Hais supposer que x ei y sont quelconques,

c*est en fait leur attribuer la forme pH-çV~^> P^+îV — « j et Ton voit qu'on est ainsi conduit à une condition dans laquelle figurent quatre variables p, q, p', q\ ce qui donne une grande généralité à la question. Dans le problème de la construction du triangle, les conditions sont plus restreintes, parce que nous nous imposons l'obligation de ne pas modifier dans 6 et dans c, qui doivent rester constants, ce qui s'applique à l'attribut de continuité : alors nous ne pouvons prendfe dans

p+4 ^/—î, qui est la réunion des deux attributs, que ce qui se rapporte au directif, et de là vient la forme restreinte des facteurs qui, dans le problème en quesfion, multiplient b et c. A la vérité, si l'on ne juge que sur l'apparence, l'on trouve dans

le facteur cosY=i=^---rsinY deux variables, mais en fait il n'y en a qu^une, parce qu'elles sont liées entre elles par la re-

t lation

i cos*y-i-sin*y=i.

Cela posé, parce que lorsque cosy est plus grand que Tunité, il n'y a plus de direction possible, il faut que la forme

cosy-H\/ — I siny, qui est celle des directions cesse d'exister,

et que par conséquent V— ^> qui est le cachet essentiel des directions, disparaisse ; d'où nous sommes conduit à admettre

ghaphrb XI. S87

qu'il faudra que dans cette circonstance la valeur de sin y de- Tienne imaginaire; cette conséquence est d'ailleurs entièrement conforme aux principes développés dans la première partie, puisqu'en effet aucun sinus réel ne pouvant correspondre à un cosinus plus grand que l'unité^ il est nécessaire que l'expression du sinus devienne imaginaire. Or^ s'il en est ainsi^ si l'on a

siny=±(jLV--î en même temps que

cosy=i-He, la forme ci-dessus deviendra

i+edtK-,

laquelle ne pourra jamais être une direction.

On remarquera en effet que si Ton voulait que la valeur I -f-8 d'un cosinus appartint à une direction, en vertu de la loi générale qui régit les directions, il faudrait que le sinus correspondant fût égal à

d'où Ton déduit pour la valeur de ce sinus

dzV— 2e— 6* ou zfcV2e + e'v'--ï;

et cela prouve en effet, comme nous avions été conduit àTadmettre, que le sinus devient imaginaire. On voit que la valeur

de ce que nous avons appelé dif* ci-dessus est dz v^2e + e% que par conséquent i+edi^* devient

H-eztVâê+ïï.

Mais cette expression étant réelle ne saurait être une direction qu^à la condition de prendre la valeur + i ou — i . Or, il o'est pas possible que cette expression devienne + 1 ou — i sans que e soit égal ou à o dans le premier cas, ou à — 2 dans le second, et dès lors il ne serait plus vrai de dire que i-f-< est supérieur à l'unité positive ou négative.

Concluons donc de là que si un cosinus devient supérieur à Tunité, l'expression de la direction nous échappe> et que par conséquent la construction géométrique d'un triangle, c'est-à-

288 DE LA GOMBINAlSOlf DE l' ATTRIBUT^ ETC.

dire d'une figure^dans laquelle doivent figurer trois angles est impossible.

Toutefois^ en dehors de cette spécialité de considérations géométriques, qui consiste en ce quMl faut faire remploi exclusif de a, b, c, par voie de direction^ ce qui correspond en algèbre à multiplier 6 et c par des facteurs de la forme

on conçoit qu'on peut à l'inverse se proposer d'employer 6 et c par Yoie de continuité exclusivement, ce qui reviendra à les multiplier par des facteurs réels y qui en feront des multiples entiers ou fractionnaires, dont la somme sera égale à a. Or, la forme

cosa-hV—isina

est également propre à l'un et à l'autre de ces usages, mais sous la réserve que dans un cas, celui du directif, cos a et sin a seront réels, que chacun sera moindre que l'unité, et qu'ils seront liés par la relation

COS"a + sin'a=:i,

que ce seront, en un mot, les sinus et les cosinus tels qu'ils sont définis dans la trigonométrie.

Dans le second cas, -celui du continu, le cosinus sera seul réel et en même temps plus grand que l'unité ; le sinus sera imaginaire, et ils seront liés par la relation, que la somme de leurs carrés sera égale à i, de telle sorte que si Ton désigne

par les symboles Ci et S, V^ ces sortes de cosinus et de sious, on aura

C»*-*-{S,v^)*=i on C,»— S,*=i.

Les quantités C, et S, v^^ ainsi définies jouissent, par rapport au réel, de propriétés importantes, analogues à celles dont les cosinus et sinus ordinaires jouissent par rapport à l'imaginaire, mais nous ne saurions en faire ici l'exposition sans nous écarter beaucoup de notre sujet. Bornons-nous à quelques sommaires indications.