CHAPITRE I

pour obtenir un résultat désiré, de même par l'imaginaire elle nous airertit que nous nous sommes placés dans l'ordre des choses impossibles, et, de plus, par la forme même de cette imaginaire, elle nous dévoile le comment et le pourquoi de nos contradictions.

La première partie de ce programme nous est assez bien connue, mais jusqu'à présent, ou nous ne nous sommes pas occupés de la seconde, ou nous ne TaTons entrevue qu'à travers d'épais nuages.

Envisagée à ce point de vue, Tétude delà forme imaginaire ne peut que présenter le plus grand intérêt ; elle sort du vague dans lequel elle est restée jusqu'à ce jour. L'idée se rationalise par des définitions vraiment mathématiques, et en se rationalisant dans son principe elle vient mettre entre nos mains l'élément de calcul indicateur et régulateur des méprises algébriques dans lesquelles nous serons tombés toutes les fois que nous aurons demandé à la science des rapports la justification de rapports impossibles avec la seule idée du nombre.

En dehors de ces considérations, dont l'essence est purement algébrique et abstraite, et qui ne s'appuient nullement sur les qualités diverses des êtres concrets dont nous pouvons nous proposer de faire l'étude algébrique, il y aura à examiner plus tard si, dans certains cas et pour quelques quantités, telle opération, impossible en abstrait, ne peut pas, à cause de la nature même de ces quantités mieux douées que ne l'est le nombre, être conçue et pratiquée pour elles, ce qui donnerait alors à l'imaginaire une forme saisissable, une représentation et une existence physiques qui contribueraient puissamment à dissiper toutes les incertitudes.

Cette considération, tout extraordinaire qu'elle peut paraître au premier abord, n'a rien cependant que de rationnel, et nous allons en faire comprendre la portée par un exemple fort simple.

Au point de vue arithmétique, l'équation 29*=^*, dans laquelle p et 9 sont des nombres entiers, est irréalisable,

par le motif que les carrés sont nécessairement des multiples de 2 d'un degré pair. U n'est donc pas possible à l'arithmétique

de réaliser i/2 sous la forme finie ^, et de nous conduire au-

trement que par approximation à cette valeur. Or, ce que Tarithmétique ne peut pas faire, les longueurs le pratiquent^ parce qu'elles jouissent du principe de la continuité dont l'arithmétique est privée^ et, à l'aide d'une opération fort simple^ avec la longueur adoptée pour l'unité, nous arrivons sur le point même où doit se terminer la longueur qui^ par rapport à celte unité, est le représentant de yfi» Voilà donc un exemple d'une opération impraticable en abstrait sous forme finie^ et que des propriétés inhérentes à certaines quantités permettent de réaliser physiquement sous cette forme.

D'après cela^ne sommes-nous pas en droitde nous demander si^ pour d'autres opérations irréalisables dans le domaine de Tabstraclion^pour V~i par exemple, il n'y aurait pastels êtres concrets jouissant de la propriété de reproduire, par certaines opérations que leur nature autorise, Féquivalent de celles qui sont figurées par ^~i .

Or, cette étude nous l'avons faite il y a bientôt trente ans S et nous sommes parvenu à ce résultat qu'en géométrie l'opération qui consiste à faire un angle droit est l'équivalent de l'impossibilité que v^^ représente. Lagrange, de son côté, n'a-t-il pas prouvé que les empêchements imaginaires qui constituent en abstrait l'impossibilité d'obtenir les valeurs numériques des racines de l'équation du troisième degré, dans le cas appelé trréduclible, revêtent une forme possible par les considérations concrètes, et se dénouent en réel en prenant le cosinus du tiers d'un certain angle dont la valeur est déterminée par les données de la question i

Hais, dira-t-on, comment et pourquoi tout cela peut-il se faire? Tout simplement, répondrons-nous, parce que la ligne droite, ou, si l'on veut, la géométrie, possède deux propriétés qui n'appartiennent pas au nombre : la continuité et la direction ; en vertu de la première elle peut pratiquer l'incommensurable, en vertu de la seconde elle pratique et réalise l'opé- ■ ■ ■^-^^— ■ ■ ■ ■ I ■ ■ ^— ^— ^p^— ^■^»»^^»^i^»^ ^^.^—

* Etudes philosophiques sur la science du calcul. Paris, 1841.