DE LA COMBINAISON DE L' ATTRIBUT» ETC

or, quand r est égal à ^'^ la différence des deux termes qui fornnie la valeur du cosinus devient Funité. Cette différence sera donc plus grafiide pour les valeurs de r supérieures à — •

enverrait de même que, pour les valeurs -^^^ de r, la valeur

de cos ô est — I ; de sorte qu'elle serait négativement plus

grande que i, si Ton faisait usage pour r d'une valeur infé«

, 5 — d neure a •

Nous n'insisterons pas davantage en ce moment sur ce qui concerne les propriétés de Tellipse qui sont toutes contenues dans son expression algébrique. 11 sera facile au lecteur de déduire de cette expression telles conséquences qu'il jugera convenable; d'ailleurs nous aurons occasion de revenir sur ce sujet dans les publications qui feront suite à celle-ci. Nous allons maintenant déterminer l'expression de Thyperbole.

A cet effet, nous nous appuierons sur la propriété dont jouit cette courbe, que la différence des distances qui séparent un quelconque P de ses points de deux points fixes F et F, appelés foyers, est égale à une quantité constante t.

Si l'on désigne par d la longueur FF^ si Ton place l'origine en F et si Ton prend la direction de FF^ pour ligne de base, il faudra que le chemin dirigé d+PP soit égal au cbemin dirigé FP. Or si r est la longueur de FP et 0 l'angle de sa direction, si f^ et 0^ sont les éléments correspondants de F^P> on devra avdr

d + r' (cose 4- V^sin§') = r(cos 6 -+- v^^ sin o) ;

mais r — r^ étant égal à (, il s'ensuit que r^:=zr'-^t; par suite, l'expression ci-dessus devient

d -+- (r — <) (cos 6' -I- v/^ sin 00 = r (cos 6 + V^ sin e) .

Égalant séparément le réel et l'imaginaire, on trouve

d — r cos ô = — (r — t) cos O', rsin6=(r— OsinO',

GHAPITRB XI. 295

équations qui donnent, en faisant la somme de leurs carrés,

d* — 2drcos6-|-r"=r«— 2^r+<*, et par suite

éP—t' 2(dcos6 — ty

En conséquence l'expression algébrique de Thyperbole sera

Au reste on aurait pu passer de l'expression de Fellipse à celle de l'hyperbole en remarquant que la condition r + r^=s pour la première étant remplacée par r — i^ = t pour la seconde^ il en résulte entre s,r ei t la relation j = 2r— t; le rayon vecteur de l'hyperbole s'obtiendra donc en substituant à s cette valeur dans celui de l'ellipse; il viendra ainsi

j, (2r-<)'— d« 2{2r — < — dcosO) * d'où l'on déduit

2(dcosô — t)

ainsi que nous venons de le trouver.

Passons enfin à ce qui concerne la parabole.

Nous définirons cette courbe par la propriété qu'elle possède que chacun de ses points P est également distant d'un point fixe F appelé foyer et d'une droite fixe appelée directrice.

Abaissons des points P et F sur la directrice des perpendiculaires dont les pieds respectifs seront M et 0; prenons 0 pour origine, OF prolongé au delà du point F pour ligne de base, et appelons d la distance OF.

Il faudra que le chemin dirigé OH -H HP soit égal au chemin dirigé OF -h FP.

Si r est la distance de F au point P et 0 l'angle qui détermine la direction de PF, le chemin dirigé OF-h FP aura pour représentation algébrique

d + r (cos 0 + V^ sin 6);

si Ton désigne OH par y et si l'on remarque que la longueur

296 DE LA COMBINAISON DE L'aTTBIBUT, ETC.

HP d'après la définition est égale à r, le chemin dirigé OM+PM sera égal à y V— i + r; on aura donc

d + r(cos6 + V--l sin6)=y \'^-hf;

de là on tire

d-*-rcos6=:r et y=rsin6;

de sorte qu'on aura

d . d sin 6 r = ' et w = •

I — C08Ô ^ I— cos6

L'expression algébrique de la parabole sera donc

I — cos6

(cos 0 -h sf^i sin 0).

Nous limiterons ici ce que nous avons à dire sur la combinaison de l'attribut de continuité avec celui de direction : non que le sujet soit épuisé, mais nous croyons que les applications dont nous avons présenté le développement, et les observations qui les ont suivies^ sont suffisantes pour indiquer la voie à suivre dans ce genre de recherches et faire comprendre Tutilité qu'on peut retirer de ce nouveau mode d'investigations. Ces exercices de calcul sur la mise des problèmes en équation étaient un préambule nécessaire pour initier le lecteur à l'usage de formes et de procédés qui, une fois bien compris, facilitent singulièrement soit l'intelligence des fonctions diverses de Talgèbre» soit la recherche des propriétés de l'étendue.

Qu*il nous soit permis, en terminant, de rappeler que l'olyet essentiel du présent ouvrage est un exposé des principes à l'aide desquels il nous a paru possible d'obtenir et la conce|>tion de la forme imaginaire et sa réglementation rationnelle dans les calculs.

Nous avons voulu surtout, en le publiant, combattre les idées de non-sens, de non-existence, de convention, de parasitisme inexpliqué et par conséquent répulsif qu'on attribuée généralement et si volontiers à cette forme.