CHAPITRE XI

Notre but a été d'établir que, loin d'être un non-sens, elle doit être comprise et acceptée comme une opération impossible.

Qu^elIc n'est pas Tindice du néant de l'existence, mais seulement celui d'une entrave à certaines réalisations.

Qu'elle ne saurait être considérée comme une convention, non -seulement parce qu'on ne dit pas par qui, comment et pourquoi cette convention aurait été introduite dans la science, mais encore et surtout parce que c'est au contraire malgré nous et à la suite des raisonnements les mieux justifiés qu'elle intervient et s'impose dans les calculs.

Qu'enfln il n'est pas possible de voir en elle une superfluité inexplicable^ alors qu'elle a pour mission de nous apprendre que ce que nous avons demandé à Talgèbre n'est pas^ dans certains cas, exécutable par elle, etqu'en outreipar la forme mémo suivant laquelle l'algèbre nous fait connaître son refus de concours, nous sommes édifiés sur la nature et sur les causes des contradiclions dans lesquelles est tombé notre esprit sans même en avoir conscience.

Retenons bien que les diverses formes opératives entières^ dont se compose le domaine du réel, constituent la théorie de ce qui est toujours exécutable sur les quantités quelles qu'elles 8oient,sous las^ule réservequ'il sera bien établi au préalableque ces quantités sont tributaires de l'algèbre, et nous avons expliqué en quoi cela consiste.

Mais c'est pour ces formes seules qu'il faut réserver cette universalité d'exécution. Car si elles cessent d'être entières, si elles deviennent fractionnaires, et à plus forte raison radicales, tout en continuant de faire partie de ce qu'on est convenu d'appeler réel, elles ne seront pas moins prohibitives, dans certains cas, que peut l'être la forme imaginaire ; elles le seront seule* ment d'une autre manière qu'elle; et cela se conçoit, car ne faut-il pas que la forme de Timpossibilité pratique soit toujours en concordance directe avec celle de l'impossibilité opéralive qui la signale.

Si toutes les quantités dont s'occupe l'algèbre étaient iden* tiques, si toutes avaient les mêmes propriétés que le nombre, la théorie de ce qui est réalisable serait une, sans distinction possible, tout aussi bien que celle de ce qui ne l'est pas»

Mais cette uniformité de constitution des quantités n'existe

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pas. Celles-ci n'ont pas été tontes jetées dans le même moule ; elles jouissent de propriétés plus ou moins étendues, plus ou moins diversiflées; et cela suffit pour faire comprendre que là où la nature aura placé plus de facultés, il y aura nécessairement plus de possibilités et de réalisations.

C'est là une idée avec laquelle nous sommes parfaitement familiarisés pour le réel. Nous savons en effet que certaines di- Tisions, certaines extractions de racines impraticables et incon* cevables pour la pluralité proprement dite, qui ne peut procéder que par voie de repétition, se pratiquent et se conçoivent fort bien pour les quantités qui, avec la faculté de la répétition, possèdent celle de la continuité.

Avertis, par ces premiers faits d'expérience, que l'impossible pour certaines quantités peut quelquefois devenir compréhensible et praticable pour d'autres, n'est-il pas naturel que l'esprit humain se soit mis en quête de savoir si ce qui arrive pour quelques impossibilités n'arriverait pas aussi pour d'autres, pour celles en particulier qui revêtent en algèbre la

forme /— i, et plus généralement celle a-hb /— i.

C'est au développement de cette idée que nous avons consacré la deuxième partie de cet ouvrage, et, sans entrer ici dans des détails qui ne seraient qu'une répétition de ce qui a été longuement exposé, nous dirons substantiellement que c'est dans la considération des directions géométriques que cette conception a trouvé sa justification.

Nous avons établi en effet que /^ est }a représentation algébrique de la direction perpendiculaire ou de l'angle droit;

que cpsa-f-/^ sin a est la représentation algébrique de la direction détermiqée par l'angle « ; qu'enfin a -h b v^ q^i peut toujours se mettre sous la forme r(cosa+|/^^sina) est la représentation algébrique de la longueur r dirigée suivant l'angle «. De sorte que, à l'aide de cette dernière expression, on obtient en analyse, par voie d'association sous forme de produits, l'équivalence exacte des deux éléments essentiels, toujours associés à leur tour en géométrie, la longueur et la direction. Inversement, il n'y a pas en algèbre un cas particuUer

de la forme iniaginaire à + 6 /^ dont la géométrie ne puisse nous donner une représentation matérielle, une image visible.