CHAPITRE XI

Enfin nous n'avons pas manqué de faire remarquer que, pour toutes les quantités qui jouiront comme les longueurs d'un attribut analogue à celui des direclions, la forme imaginaire sera tout aussi acceptable , tout aussi compréhen^ sible et applicable qu'elle l'est dans le domaine de la géométrie.

Cet exposé des doctrines essentielles sur lesquelles repose la théorie des formes imaginaires et de leur interprétation est le point de départ indispensable des recherches ultérieures auxquelles on voudra se livrer sur cette matière* Sans lui^ nous ne posséderions que des notions vagues , fort incertaines, fausses peut-être sur cet important sujet; nous serions privés de boussole^ ou, ce qui est plus fâcheux encore, nous serions mal dirigés et exposés à faire incessamment fausse route.

Hais une fois ces bases établies et bien comprises, il sera intéressant de les étudier dans leurs principales conséquences et de faire voir qu'elles ne se bornent pas à donner à Tesprit une satisfaction logique sur quelques points de doctrine incompris, mais qu'elles apportent dans la pratique de la science d'im* menses ressources et qu'elles étendent le champ des applications dans une proportion inespérée.

C'est la voie dans laquelle nous allons entrer immédiatement après la publication du présent ouvrage.

Nous ferons voir successivement comment les notions acquises permettent de concevoir et de vaincre les difficultés qui^ dans la résolution des équations, s'opposent à la construction de certaines racines même réelles , ^t comment elles permettent la représentation géométrique de celles qui sont imaginaires.

Nous dirons comment la forme imaginaire peut être utilisée pour la recherche des propriétés des nombres, même alors que ceux-ci doivent rester entiers. Comment cette forme, tout incomprise qu'elle a été jusqu'à présent, devient le type*.de la constitution de pareils nombres assujettis à satisfaire à certaines conditions d'élévation aux puissances, de divisions ou d'extractions de racines.

Nous procéderons à un examen plus complet des rapports principaux et accessoires qui lient la science de l'algèbre à celle de la géométrie, en attribuant aux variables indépen-

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dantes des fonctions^ non-seulement des valeurs réelles, mais des valeurs imaginaires.

Nous nous expliquerons enfin sur les directions considérées dans Tespace^ c'est-à-dire dans toute leur généralité. Nous ferons voir qu'il existe des ressources algébriques propres à représenter l'équivalence analytique de ces directions et à nous permettre d'explorer^ avec les ressources du calcul, les proprié* tés les plus générales^ les plus universelles de la science de rétendue considérée dans ses trois dimensions.

Tel est le programme des principales questions que nous nous proposons de soumettre à TappréciaUen des géomètres.