T= OU I

Icosa-h y — I sina; \cosa 4- y — ' sina/

Or, en vertu des principes de la Trigonométrie, on doit toujours avoir

cos*a -f- sîn*a = i

ou, ce qui est la même chose,

(cos« -+- v'— I sina)(cosa — ^— i sina) =r i. On déduit immédiatement de là

= cosa — ^—i sin

cosa -h ^—1 sina et par conséquent

(cosa -f- ^— I sina)^" = (cosa — ^— i sina)".

Ce cas rentre donc dans celui de l'exposant positif, et par suite on le traitera par les mêmes moyens.

Or cosa — v^— I sin à est la direction conjuguée de la direction proposée. On déduit donc de là cette règle que la puissance négative — m d'une direction est égale à la puissance positive + m de sa conjuguée. Celte transformation de la direction en sa conjuguée étant donc préalablement opérée, on lui appliquera les principes relatifs aux exposants positifs, en tenant compte de toutes les observations ci-dessus présentées, et l'on écrira par conséquent

(cosa -+- ^— I sina)~"=: (cosa — ^— i sina)"

= cos ma -f- ^ — I sin ma.

On continuera d'ailleurs dans le second membre à ne rien préjuger sur les signes des deux termes, et on leur donnera ceux que la position de Texirémité de l'arc multiple de a prescrira de leur assigner. •

On déduit d'ailleurs de la relation

(cosa-h v'— ï sina)~" = (cosa— V'— ' sina)"

une règle opérative sur laquelle il est utile d'appeler l'attention du lecteur. Celte règle consiste en ce que, pour élever

un binôme de la forme cos a + ^^^ sin a à une puissance

négative, il suffit de changer le signe de ^^ et d'élever le binôme ainsi modifié à la même puissance positive. On pourra

encore remarquer que, — V'— i étant égal à v'—i , la règle peut s'énoncer en disant que, pour avoir égard à l'attribut négatif — I de l'exposant, il faut élever à cette même puissance — I les symboles direciifs du binôme, qui sont ici + 1 et

-h /^, après quoi l'effet de l'exposant numérique m s'ob-* tiendra suivant les principes de Moivre appliqués conformément au commentaire ci-dessus exposé.

Les diverses remarques que nous venons de faire sont en parfaite concordance avec les principes que nous avons établis, dans notre précédente publication, concernant la représentation de la direction par une exponentielle de l'arc. Il a été démontré à ce sujet que l'on doit avoir pour un angle quelconque

cosa-h v^— I sina — v''— i ' •

Or que l'on élève le premier membre à la puissance m, ou qu'on y remplace a par ma, le second reste invariable, d'où il suit que les deux formes que revêt ainsi le premier membre seront équivalentes, et c'est précisément là ce qui constitue la formule de Moivre.

On voit aussi, d'après cette même équation exponentielle^

que le changement de signe de yf^ équivaut, ainsi que nous venons de le constater, à prendre l'arc négativement. En effet»

le second membre devient alors — v^— i ; mais, en vertu de

la relation — v^— i = ^—\ , il prend la forme v^—i * , qui est précisément celle résultant de la négativité de a. Nous n'insistons pas davantage sur ces concordances; le lecteur pourra en poursuivre l'examen à son gré et sans difficulté.

Présentons une dernière observation, et appelons l'attention sur ce point, que ce n'est pas en recourant à des combinaisons analytiques, plus ou moins fondées sur l'analogie» que nous avons traité le cas de l'exposant négatif. Nous avons fait appel pour cela aux principes mêmes de la Géométrie qui

régissent la matière et nous avons suivi pas à pas leurs indicationSy seul moyen d'arriver à la connaissance des véritables rapports qui lient les deux sciences Tune à l'autre.

On remarquera d'ailleurs qu'en raisonnant comme nous l'avons fait nous nous sommes scrupuleusement conformé à la recommandation de ne jamais introduire dans les formules, sous les symboles trigonométriques, d'autre idée que celle de grandeur. Or c'est ce qu'on ne ferait pas, si, voulant de prime abord» et illégitimement à coup sûr, appliquer a l'exposant négatif les mêmes règles qu*à l'exposant positif, on prétendait que

(cosa -h ^— I sina)"**

doit être égal à

cos(— ma) 4- V— > sîn(— ma).

En opérant ainsi, en effet, on introduit sous les symboles cosinus et sinus la considération des directions en même temps que celle des grandeurs. Or, si alors on est en droit de dire que le cosinus de l'arc négatif •— ma est en grandeur et en direction égal à celui du même arc positif; il ne serait pas possible de prétendre qu'en grandeur et en direction sin(— ma) est égal à — sinma ; il faudrait, pour raisonner conformément

aux vrais principes, reconnaître que ce sinus est — v^ — i sinma, ce qui changerait la nature du résultat. Ce n'est donc que parce qu'on suppute d'une manière incomplète la direction du sinus qu'un raisonnement non autorisé peut revêtir l'apparence d'une justification.

Il a été établi à l'article XYI que, dans le plan des xs, comme dans celui des ^/, l'élément directif répondant à la somme de deux angles s'obtient en faisant le produit des éléments directlfs de chacun de ces angles considérés isolément. L'identité du procédé à mettre en œuvre pour ces deux plans conduit naturellement à penser qu'une propriété analogue à celle qui se trouve exprimée par la formule de Moivre, pour

les binômes de la forme cosa + V^^ sina» doil également

exister pour ceux de la Torme cosa 4- V— i sina, qui représentent les directions dans le plan des xz et qu'on peut par conséquent écrire

VCOsa-4-v^— I sin«/ =:cosma -h y — i

sinma.

H est facile de justifier cette assertion. En effet le premier membre de cette égalité est le produit de m directifs égaux,

chacun à cosa -f- sj—i sina. Ce produit correspond en conséquence à la direction qu'on obtient dans ce plan en ajoutant m fois l'arc a, c'est-à-dire à la direction de ma\ mais, comme celle-ci a précisément pour équivalent algébrique le second membre de l'équation ci-dessus, on volt que cette équation se trouve ainsi complètement justifiée.

En rapprochant cette propriété d'un fait constaté à l'article VIII, nous allons être conduit à une extension remarquable du théorème de Moivre.

Disons à ce sujet que, dans l'article que nous venons de rappeler, après avoir fait remarquer que les directions suc* cessives des angles a, 9.a, 3a, . . . sont exprimées par les puissances I, 9, 3,. . . du binômecosa + V— I sina, et que celles des arcs — a, — 2 a, — 3a, . . . le sont à leur tour par les puissances — I, —2, —3,... du même binôme» nous avons éié conduit à penser que celles des arcs perpendiculaires

aux précédents a/^, aav'— 1, 3a s/— i,... pourraient bien l'être par les puissances ^— i, 2^ — 1, 3^^— î .• . • de cosa -4- v^^ sina, et généralement, pour l'angle ma V— i,

par ( cosa -f- )f^ sina)" ' • Nous avons d'ailleurs changé ce soupçon en certitude par une démonstration directe de laquelle il résulte que, si la direction répondant à + a est représentée par la puissance i du binôme cosa + V~< sina, et si celle répondant à l'arc — a est représentée par la puissance — I du même binôme, il est nécessaire que la direction de l'angle a^~9 perpendiculaire aux deux précédents, soit à son

tour exprimée par une certaine puissance de cos a +v^*-i sina, et nous avons constaté que l'exposant de cette puissance est

précisément v/— i .

Cela rappelé, si Ton remarque que les directions répondant

aux angles a y — i sont précisément celles situées dans le plan

des xz^ lesquelles ont pour représentant cosa 4- v'— i sina, on en conclura que celte dernière expression doit être équivalente à (cosa + v/— 1 sina) et que par suite on doit avoir

\cosa-!-^— I sinay =(cosa -4- v'—i sinaj D'ailleurs, d'après ce que nous avons constaté au début du

I, (cosa -h^— I sinaj

présent article. \ cos a -h ^— i sin a y pouvant être remplacé

par cosma + v^— I sinma, on parvient définitivement à régalité suivante :

cosma -h V — I sinma -— (cosa 4- y — i sinaj

Cette propriété remarquable va nous permettre d'étendre le théorème de Hoivre au cas où l'exposant devient imaginaire de la forme m si— i et d'indiquer les règles opératives à l'aide desquelles celte extension doit être comprise et pra* tiquée.

11 résulte» en effet, de la simple inspection de la formule, que, pour effectuer l'opération qui consiste à élever le binôme

cosa-h ^—1 sina à la puissance m>J—i, il faut faire deux paris dans l'exposant, l'une ne contenant que ce qui est grandeur, c'est-à-dire m, l'autre s'appliquant exclusivement aux

signes d'opération, c'est-à-dire v^— i • La première partie produira exactement sur le cosinus et sur le sinus les mêmes effets que précédemment. La seconde partie, au contraire, n'exercera aucune action sur ces deux symboles trigonométriques, mais seulement sur le signe directif qui flgure dans le binôme, et aura pour effet d'élever ce signe à la puissanee

Or c'est exactement ainsi que les choses se passent lorsque

l'exposant est négatif. Nous avons vu que, dans ce cas» le cosinus et le sinus primitifs de a deviennent ceux de ma et que, quant au signe directif — i de l'exposant, il a pour effet

d'élever v^— i à la puissance — i .

On remarquera d'ailleurs, pour le cas où l'exposant est positif, que le signe directif qui accompagne m étant + 1, l'élévation à la puissance + 1 laissera intacte, comme cela doit être, la forme primitive du binôme, dan$ lequel il n'y aura d'autre changement que celui de la multiplication de l'arc a par m.

Nous pouvons nous dispenser d'insister sur le cas où l'exposant m V— I devient négatif; car, ayant déjà constaté à l'article XVI que

(cos-ha v'— I sina}~* = (cosa — v/— i sina)"^*,

on en déduira

cosa-f-y' — isinaj = (cos« ■— ^ "~"' sinaj

On ramènera ainsi le cas de l'etposant imaginaire négatif i celui du positif, et l'on appliquera les règles propres i ce dernier cas.

Nous aurions encore d'autres observations à présenter au sujet de la formule de Moivre. Après avoir exposé, comme nous venons de le faire, les extensions légitimes dont elle est susceptible, nous devrions nous expliquer sur certains faits de calcul qu'elles autorisent et sur la nature des résultats auxquels conduisent ces calculs. D'un autre côté, il sera nécessaire de prémunir le lecteur contre les entraînements des Inductions analogiques qui se présentent très-naturellement en cette matière ; mais, outre que cette digression, venant à la suite de celle ci-dessus, nous écarterait trop du but essentiel que nous poursuivons dans cet Ouvrage, savoir la détermination proprement dite des directions des droites et des plans dans l'espace, il y aura tout à gagner à attendre, pour reprendre ces questions, que le contingent de nos connais-

sances sur cet important sujet ait acquis le développement nécessaire. Nos conclusions pourront alors être plus nettement Tormulées et mieux comprises.

Au reste, la nécessité de ces discussions incidentes est la , conséquence naturelle de la nouveauté du sujet que nous traitons et des enseignements rectificatifs que son étude met à jour à chaque instant. Parmi les idées reçues sur les imaginaires et surtout sur les imaginaires exponentielles et trigonométriques, il y en a tant qui ne reposent que sur des hypothèses qu'il n'est pas étonnant qu'il y ait beaucoup à reprendre dans les conceptions largement conventionnelles qu'on s'est faites à cet égard. Citons-en un dernier exemple» après lequel nous reprendrons l'étude proprement dite des directions.

Mettons à cet effet en présence les conséquences si simplement déduites des faits et des lois géométriques ci-dessus exposés, et celles qu'il faudrait leur substituer si l'on s'en tenait aux croyances généralement adoptées.

Admettons pour un instant que nous fussions complètement privés des connaissances que nous venons d'acquérir sur la signification des formes imaginaires employées comme exposants. Au lieu de raisonner comme nous avons pu le faire» quelle ressource nous serait-il resté pour interpréter cette circonstance algébrique? Celle de supposer que les règles établies pour les exposants réels continuent d'être applicables, ainFi qu'on l'a admis jusqu'à ce jour aux exposants imaginaires et de dire en conséquence que la valeur de

(cosa-hV~isina) doit être égale à

cos(mav^— i)-f-V^— I sîn(ma^— i);

puis, employant, pour ces sortes de cosinus et de sinus les valeurs analogiquement admises» savoir :

- 97 ~ nous aurions obtenu le développement

c'est-à-dire une quantité réelle et égale à e-^, résultat inconciliable avec les faits acquis et parfaitement démontrés que l'expression

(cosa -+- v'^^sina)

est la représentation algébrique de la direction à laquelle on parvient par la répétition de m fois l'angle a dans le plan des xz.

Ainsi, parle procédé usueU on aurait une grandeur pure et simple qui prendrait place sur Taxe des x^ tandis que par le nôtre on est conduit à une direction située dans le plan des xz et faisant un angle moL avec le même axe. On le voit, il n'est pas possible d'arriver à une disparate plus complète.

Le lecteur jugera, d'après ces dét^iils ajoutés à tous ceux qui précèdent, combien il règne de confusion dans toute celte partie de l'Algèbre.

Revenons maintenant à nos recherches sur les directions.