CHAPITRE TROISIÈME

FORMULES DIRBCTIVBS POUR L£S DROITES DÉFINIES PAR d'acTRES ÈLÉMEmS QUE CEUX DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE.

SoHtfAiBS. — XXIX. Diverses catégories d'éléments qu'on peut choisir pour déflnir les droites; notations relatÎTCs à ces éléments. — XXX. Variétés obtenues pour les directift lorsqnVn rapporte la longitude et la latitude avi cliTcrs axes et plans des coordonnées; directif d'une droite définie par l'angle qu'elle fait arec l'un des axes et par celui que fait le plan de cet angle avec les plans des coordonnées qui contiennent Taxe en question. — XXXI. Directifs des droites définies, soit par les angles quelles font avec deux des axes des coordonnées, soit par ceux qu'elles font avec denx des plans des coordonnées. — XX XII. Procédé général pour obtenir l'expression des directifs correspondant à telle combinaison qu'on voudra des données ci-dessus. — XXXIll. Première application de ce procédé. — XXXIV. — Deuxième application. — XXXV. Accord des principes et des formules ci-dessus avec les propriétés connues du triangle spbérique rectangle. — XXXVi. Dans l'espace il n'existe pas, comme dans le plan, des opérations vraiment algébriques propres à faire passer d'une direction à une autre. — XXXVII. Les directifs des droites situées dans le plmn des xs jouissent à cet égard des mêmes propriétés analytiques que ceux des droites situées dans le plan des xxi il n'en est pas de même pour les directifs qui appartiennent au plan des^x. — XXXVIII. Kxsmen de la même question par un directif quelconque ; relation qui s'établit entre les directifs de deux droites à l'aide de l'angle qu'elles font entre elles, conséquences analytiques qui en résultent pour la question qui nous occupe. — XXXIX. Une droite étant donnée sur le plan des x,r, lui mener une perpendiculaire dans un plan qui, passant par cette droite, fait un angle donné avec ce même plan des xjr. — LX. Détermination de l'angle de deux droites à l'aide de leurs directifs.

On conçoit que la direction d'une droite est susceptible d'être Gxée dans l'espace par d'autres éléments que ceux de latitude et de longitude ci -dessus définis. On peut, par exemple, supposer que cette détermination est* faite, d'une part, à l'aide d'un plan qui la contient et qui passe par Taxe

des x; d*autre part, à Taide de l'angle qu'elle fait dans ce plan avec l'axe choisi. Il y a encore plusieurs autres combinaisons analytiques possibles entre les diverses données qui peuvent être employées pour la définition géométrique des directions. Or c'est là un sujet sur lequel il importe d'acquérir des idées précises, parce que» suivant les circonstances dans lesquelles on pourra se trouver, certaines de ces combinaisons seront plus favorables que d'autres à la solution des problèmes; mais, afin de mettre un peu d'ordre dans ces détails, il convient de s'expliquer sur la nature de ces données, et de préciser dans quel sens on doit les entendre et les faire intervenir.

Une première catégorie d'éléments, propres à fixer la position des directions dans l'espace, est celle des angles que cette direction (ait avec les trois axes» angles que nous désignerons d'une manière générale par (X), (Y), (Z). La direction donnée OP {voit la figure de la page 61) est un côté commun à ces trois angles; le second côté de chacun d'eux est successivement formé par l'un des trois axes. Les arcs qui leur correspondent sur la sphère unité partent toujours du point P et aboutissent aux points où les axes coupent ladite sphère.

Les grandeurs des lignes trigonométrîques de ces arcs dépendent uniquement de la grandeur de ces derniers et sont directement données par les Tables. Quant aux directions, celle du cosinus sera toujours celle même de l'axe auquel se rapporte l'angle dont on s'occupe. Cette direction sera par conséquent ±: i pour les angles (X] que fait la droite considérée avec l'axe des:r; ±:v'— i pour ceux (Y) que cette droite

fait avec l'axe des j; dbv'— i pour ceux (Z) qu'elle fait avec l'axe des z. Quant aux sinus, qui sont perpendiculaires aux directions des cosinus, c'est-à-dire aux axes, ils seront res* pectivenient parallèles aux plans des coordonnées, savoir : ceux des (X) au plan des yz, ceux des (Y) au plan des xz, ceux des (Z) au plan des xjr. Les directions de ces sinus seront donc toujours celles de droites passant par l'origine et situées sur ces plans, directions dont l'étude a été faite précédemment.

L'ambiguïté du double signe, ci-dessus signalée pour le cosinus, sera toujours facile à lever. On remarquera à ce sujet que chaque plan des coordonnées divise l'espace en deux régions : pour le plan des xy^ et par conséquent pour les angles (Z), nous appellerons 5i</i^ri>i/r« celle qui est au-dessus de ce plan, du côté des z positifs, et inférieure celle qui est au-dessous. Pour le plan des xz^ c'est-à-dire pour les angles (Y), nous appellerons région d*avant celle qui est située du côté des jr positifs, et région d'arrière celle qui est située du côté opposé; enfin pour le plan des ^z, et par conséquent pour les angles (X), nous donnerons le nom de région de droite à celle qui est située du côté des x positifs, et région de gauche à celle opposée. Il résulte de là que la direction positive, pour chaque espèce de cosinus, appartiendra respectivement aux régions d'avant, de droite et supérieure, et la direction négative aux régions d'arrière, de gauche et inférieure.

Passons à une autre catégorie de données. Nous désignerons à cet effet par les symboles généraux (XY), (XZ), (YZ) les angles qu'une droite fait avec les Irois plans des coordonnées. Ces angles sont les complémentaires respectifs des angles (Z), (Y), (X) ci-dessus définis. D'après les explications produites sur la manière dont il faut supputer les lignes trigonométriques de ces derniers, on se convaincra facilement que, tant en grandeur qu'en direction, les cosinus et sinus de ceux-ci deviennent les sinus et cosinus des angles actuels. Nous pouvons donc nous dispenser d'entrer dans de plus amples détails à ce sujet.

C'est à l'aide des angles (XY), (XZ), (YZ) qu'une direction se projette sur les plans des coordonnées. Or on peut avoir besoin de faire usage des angles que cette projection fait avec les axes du plan sur lequel elle est située. Nous emploierons à cet effet la même notation, en soulignant par un petit trait celui des indices X, Y, Z afférent à l'axe par rapport auquel on doit prendre l'angle. Ainsi (XZ) représentera l'angle que fait avec l'axe des z la projection d'une direction sur le plan des xz^ de même (XY) représentera l'angle que fait avec l'axe des x la projection d'une direction sur le plan des xy. Nous sommes

d'ailleurs renseignés» par tout ce qui précède, sur ce qui concerne ces divers angles et les directions qui leur correspondent, puisque les uns et les autres sont situés dans les plans des coordonnées.

On peut enfin, dans la détermination des directions, faire intervenir la considération de plans sur lesquels elles se trouvent situées. Par exemple, une direction, que nous supposons toujours passer par l'origine, étant donnée, on peut concevoir qu'elle est géométriquement définie d'abord par le plan qui passe par elle et par l'axe des ^, en second lieu par l'angle qu'elle fait dans ce même plan avec cet axe. Il est donc aussi nécessaire que nous nous expliquions sur les angles que peut faire un plan avec les plans des coordonnées. Nous n'examinerons ici que le cas où le plan passe par l'un des axes, et nous compléterons ce que nous avons à dire à ce sujet lorsque nous nous occuperons plus spécialement de ce qui concerne la direction générale des plans.

Considérons donc un plan mobile autour de l'axe des x^ se confondant d'abord avec le plan des;rj, puis s'éloignant successivement de celui-ci, soit dans la région supérieure, soit dans la région inférieure. L'angle de ce plan avec celui des jz sera toujours droit; mais il fera avec les deux autres plans des coordonnées des angles variables qui, pour chaque position, seront complémentaires l'un de l'autre. Pour désigner ces deux angles, nous appliquerons la notation (^Y) à celui que le plan donné fait avec le plan des xy, et celle {xZ) à celui qu'il fait avec le plan des xz* Ces notations sont analogues aux précédentes, sauf le remplacement d'une des grandes lettres par une des petites, remplacement qui sert en même temps à donner l'indication de celui des axes par lequel passe le plan. D'ailleurs nous attribuerons la première place à la petite lettre indicatrice de l'axe par lequel passe ce plan.

Il résulte des propriétés géométriques connues que les angles (^Y), (xZ) sont précisément ceux que fait la trace du plan donné sur celui des yz, d'une part avec Taxe des 7, d'autre part avec l'axe des z. Cette observation aura son utilité lorsque nous nous occuperons de déterminer l'équivalent algébrique de la direction des plans»

- lOi -

Pour un plan passant par l'axe des/» I*angle de ce plan avec celui des xz sera droit. Son angle avec le plan des xy sera désigné par (jX) et avec le plan des yz par ( jZ). Ces angles seront ceux que fait la trace du plan donné sur celui des xz^ d'une part avec l'axe des x^ de l'autre avec l'axe des z.

Enfin, pour un plan passant par Taxe des js, l'angle de ce plan avec celui des xjsera toujours droit; son angle avec le plan des zx sera désigné par (zX), et avec le plan des zy par ( 2 Y). Ces angles seront ceux que fait la trace du plan donné sur le plan des xy^ d'une part avec Taxe des x^ d'autre part avec l'axe des/.

Ces préliminaires ainsi élablis, procédons à la recherche des <liverses formes que pourra revêtir l'expression algébrique d'une direction suivant la catégorie de données dont on aura voulu faire usage pour la définir géon^ctriquement.

Il est facile de se rendre compte que la première détermination à laquelle nous avons procédé, par la latitude et par la longitude du point P, a consisté à faire emploi des angles ( XY) et (XY\ que nous avons respectivement désignés par (3 et

par a. En faisant usage des nouvelles notations, on se convaincra sans dificulté qu'elle correspond au symbole général

cos(XY)[cos(XY}4- v^~sin(XY)]-4-v/'-^'^sin{XY).

Si, dans le même ordre d'idées, on fait usage des données (XZ) et (XZ'j, ce qui revient à projeter la direction sur le

plan des xz el à se servir de l'angle (XZ j que fait cette pro* jection avec Taxe des .r, on comprendra que le cosinus de (XZ) sera dirigé sur ce plan suivant la direction déterminée par l'angle (XZ], laquelle a pour équivalent

cos(XZ)-f-v/~i sin(XZ), el que sin (XZ) sera parallèle à l'axe des /; on aura donc pour

l'expression cherchée

cos(XZ)[cos(XZ) H- v'^^"' sin(XZ)] + v/^sln{XZ).

Enfin, si Ton se sert des données (YZ) et ( Y^)' ^^ V^^ ^^' vient à projeter la direction sur le plan des /z, et à se servir de Tangle (YZ) que fait cette projection avec Taxe des 7* Je cosinus

de (YZ) sera situé dans ce plan sur la direction déterminée par Tangle (YZ), laquelle a pour équivalent

^— icos(YZ) -+-^-1 sin(YZ)

et le sinus du même angle (YZ) sera parallèle à l'axe des x; l'expression cherchée sera donc

cos(YZ)[v^~cos(YZ)-4-v'~^~'sin(YZ)]-hsin(YZ).

On vérifiera que, dans toutes ces expressions, conformément au principe général établi à l'article XXI, la somme

des carrés des trois grandeurs qui multiplient i , ^ — 1 , v'-- 1 , est égale à l'unité.

Il est à peine besoin d'insister sur la substitution des données (XY), (XZ), (YZ) à celles (XY). (XZ)» (YZ), puisque

les premiers de ces angles sont, dans chaque cas, les compléments des autres, ce qui apprend qu'il suffira dans les formules de remplacer les sinus et cosinus d'une catégorie par les cosinus et sinus de l'autre. Bornons-nous à montrer comment les choses se passent dans un des trois cas ci-dessus examinés, le dernier par exemple. Si, au lieu de (YZ), on emploie (YZ), le cosinus de ce nouvel angle sera situé sur l'axe

des z et son sinus sera parallèle à l'axe des/. II résulte de là que la direction de la projection sur le plan des yz sera représentée par