V-i^'"'cos(YZ)4-v^sin(YZ

Or, comme on a

cosYZ::=sinYZ et sinYZ ^cosYZ,

on voii qu'en faisant la substitution on retombera exactement sur l'expression ci-dessus.

Une seconde manière d'exprimer la direction consiste à appliquer à la définition géométrique de cette direction la combinaison dés données suivantes. On prend d'abord rangle(X) qu'elle fait avec l'axe des x et l'angle [xX) que fait avec le plan de base le plan qui, passant par Taxe des x, contient cette direction.

' Dans celte circonstance, il faut concevoir qu'on projette U direction sur l'axe des x% l'angle de projection, qui est X, a son cosinus sur l'axe des x\ son sinus, qui est parallèle au plan des yz^ se projette évidemment sur ce plan suivant la direction déterminée par l'angle (xY). Cette direction particulière sera donc exprimée par

v'— I cos(xY) -4- v^— I sin{a:Y), et de là résulte pour l'expression cherchée

JsinX. ^

cosX -h [v^^ cos( JT Y) -4- v/^^sin{x Y)J sinX.

Si le plan qui contient la direction, au lieu de passer par l'axe des x, passe par l'axe des 7, et si Y est l'angle que la direction fait dans ce plan avec l'axe des /, le cosinus de l'angle Y sera dirigé sur l'axe des j, et aura pour expression

V~i cosY ; son sinus sera parallèle au plan des x^ et se projettera évidemment sur ce plan, suivant la direction déterminée par l'angle (/X), d'où l'on voit que, dans ce cas, la direction de la droite donnée sera exprimée par

^— I cosY 4- [cos(j^X) -h yf^y sin(^X)JsinY.

Enfin, si l'on fait usage de l'angle Z et si le plan qui contient la direction passe par l'axe des z, et fait par conséquent, avec le plan des xz^ un angle (2X), le cosinus de Z sera sur

Taxe des z et aura pour expression v— 1 cosZ ; son sinus, parallèle au plan des xy^ sera dirigé suivant

cos(2X) -4- V — I sin(;(X),

de sorte que l'expression, cherchée sera représentée par

V^^ cosZ-f-[cos(«XJ-f-/^sin(zX)]sinZ.

Dans chacun des cas que nous venons d'examiner, on remarquera que le plan qui, passant par l'un des axes, contient la direction, fait avec les deux plans des coordonnées passant par ce même axe deux angles qui sont complémentaires l'un de l'autre. Dans ce qui précède, nous n'avons fait usage que de l'un de ces angles ; mais on conçoit que Ton doit également arriver au but en faisant intervenir l'autre.

Par exemple, après nous être donné l'angle Y que la direction fait avec l'axe des /, nous avons combiné cet angle avec celui (/X). Supposons qu'on veuille maintenant recourir à son complémentaire qui sera (jZ). Le cosinus de l'angle Y sera toujours dirigé suivant Taxe des/ et aura pour représentation, tant en grandeur qu'en direction, v/— i cos Y ; quant à son sinus, il est aussi le même que précédemment et se projettera dans sa véritable grandeur sur le plan des xz. Sa direction ne peut également être autre chose que la précédente ; mais, tandis qu*avec l'angle (/X) elle était exprimée par

cos(jrX) 4-V — « sin(jX),

avet l'angle (.rZ), qui a son cosinus sur l'axe des z et son sinus parallèle à celui des x^ elle le sera par

\/— T cos(jZ) 4- sin(7Z).

I/expression cherchée de la direction sera donc

V^ cosY -h [v/^^ cos( jZ) -+- sin(/Z)J sin Y,

et telle est la forme qu'il faut lui donner dans ce cas ; mais on voit qu'au fond ces deux expressions sont identiques, en vertu des relations connues

cos(jZ j =: sin(/X), sin(7Z) = cos(/X). On se convaincra sans peine que ces diverses expressions

de la direction jouissent toutes de la propriété générale que la somme des carrés des grandeurs qui multiplient les indices

directifs i, v -- » ^^ V^— " est égale à l'unité.

Une troisième combinaison de données, qu'on peut employer pour la déQnltion géométrique de la direction, est celle qui consiste à faire usage de deux des trois angles que cette direction fait avec les axes. Supposons, par exemple, qu'il s'agit d'obtenir l'équivalent algébrique de la direction en fonction des deux angles X et Y qu'elle fait avec les axes des x et des /.

On remarquera d'abord que le cosinus de l'angle X est situé sur l'axe des x. Quant au sinus, si l'on désigne par /x son coefQcient directif, il sera représenté par /jisinX, et par suite la direction cherchée aura pour valeur

cosX -h jULsinX ;

mais, le sinus de X étant parallèle au plan des 72, il faudra que \). soit de la forme

y — I cosô -t- V— * sinô,

0 étant un angle à déterminer, de sorte que l'expression de la direction revêtira la forme

cosX -t- (^—i cosÔ -h \/— I sind/sinX.

D'un autre côté, le cosinus de l'angle Y se projettera sur

Taxe des y y et sera représenté par v/— icosY. Quant à son sinus, si }j! est son coefficient directif, il aura pour valeur /ix'sinY, et par suite la direction cherchée sera exprimée par

V — I cosY -h /jt'sinY ;

mais, le sinus de Y étant parallèle au plan des xz^ Il faudra que \j! soit de la forme

cos^' -f- V — i sin6',

ff étant un angle à déterminer. Il suit de là que l'expression de la direction revêtira la forme

/^cosY-f-{cos&'4- v^^i "'sîne'jsInY.

Ayant ainsi deux expressions pour la même direction, on les égalera Tune à Tautre et l'on en déduira les valeurs de 6 et de &\ Dans ce but, il faudra écrire que les quantités qui, de part et d*autre, multiplient les mêmes indices directifs

t,\/ — i et V— ' sont égales.

On déduit de là les trois conditions suivantes :

cosX = cos6' sin V, cos Y = cosô sin X, sindsinX = sin ô' sin Y.

On s'assurera d'ailleurs que la troisième condition est comportée par les deux autres. Quant aux deux premières^ elles donnent directement

^ rosY ^, rosX

COSO ==.-., cos 0' = -T-^TT >

sinX siiiY

d'où Ton déduit

sin 0 = " ;-v » sin 9' = :— ^

sinX sinY

Substituant ces valeurs dans l'une et dans l'autre des expressions ci^dessus, on aura, savoir : avec la première,

cosX -h v--^ ^os Y -f- V^ ' \/sin*X — cos' Y,

avec la seconde

cosX-*- V^^ cos Y -h V — 1 Vsin'Y^ cos'X.

Ces deux expressions doivent d'ailleurs être identiques. En effet, les termes réels et imaginaires simples y sont les mêmes; quant aux troisièmes termes, ils diffèrent par la forme, mais ils n'en sont pas moins égaux, puisque, quels que soient X et Y, on a toujours

sin'X — cos'Y ^ sin'Y - cos^X.

Si, au lieu des angles X et Y, on emploie les angles X eiZ, Texpression ci-dessus en X et d restera ; mais la seconde sera modifiée; car le cosinus de Z, étant situé sur Taxe des 2, sera

exprimé par y — ^ 1 cosZ et son sinus, étant parallèle au plan des xy^ le sera par

(cose'4- v/^sin0')sinZ;

la seconde expression de la direction sera donc

/— • yl~ cosZ -f- (cosÔ'h- \/^ sin9') sînZ,

De leur comparaison on déduira les valeurs des sinus et cosinus de 6 et de 0' qui, substituées dans Tune ou dans Tautre, donneront pour l'expression de la direction cherchée

cosX -h v^— I ^sin*Z — cos'X -f- ^—1 cosZ.

Enfin, en appliquant la même méthode au cas où les angles donnés sont Y et Z, on trouvera pour équivalent algébrique de la direction

V^sin'Z — cos^Y -t- sj—i cosY + \f^ cosZ.

En portant son attention sur les trois formes que nous venons d'obtenir, on remarquera entre elles certaines analogies sur lesquelles il n est pas inutile de donner quelques détails. Et d'abord, dans chacune d'elles, les cosinus des deux angles qui servent à la déterminer, considérés tant en grandeur qu'en direction, forment contamment deux des trois termes qui la composent. Quant au troisième terme, il consiste en un radical carré de composition uniforme dans les trois cas et qui occupe successivement la troisième, la deuxième et la première place. Or, si à l'aide de la condition connue

cos'X -4- cos'Y -f- cos^Z = i

on remplace, dans chaque radical, le terme négatif qui y figure, et qui est toujours le carré d'un cosinus, on trouvera que ce radical se réduit à cosZ pour la première forme, à cosY pour la seconde et à cosX pour la dernière. De telle sorte

qu'après ces transformations les trois expressions revotent le type unique

cosX H- v'— ï cosY -+- v^— I ' cosZ.

Il devient apparent alors que les trois termes qui le com posent sont précisément les projections dirigées de la droite donnée sur les axes, et par suite leur somme doit nécessairement exprimer cette droite tant en grandeur qu'en direction. Nous sommes ainsi conduit à une confirmation très-remarquable des principes qui nous servent de régulateur dans cet ordre de recherches.

SI, au lieu de définir la direction par les angles qu'elle fait avec les axes, on emploie à cet usage les angles qu'elle fait avec les plans des coordonnées, on aura une quatrième catégorie d'éléments propres à en faire connaître l'expression ana* lytique. D'ailleurs la considération que les angles XY, XZ, YZ sont les complémentaires respectifs des angles Z, Y, X fait immédiatement comprendre que ce cas se ramène trèsfacilement au précédent.

En effet, ayant reconnu, par exemple, qu'avec les données X et Y t'équivalent analytique de la direction est

cosXh- ^— 7 cosY4- v^— I v^sin'X — cos*Y,

on le transforme immédiatement, par la voie des compléments, ainsi qu'il suit :

sin(YZ) -+- v^^sin(XZ) -h v^^^"' v^cos»(YZ)- sin»(XZ);

c'est, au reste, ce qu'il est facile de vérifier en suivant la même méthode que précédemment.

En effet, par rapport à l'angle YZ que fait la direction avec le plan des 7-^, celle-ci sera de la forme

vcos(YZ)-H|ULSin(YZj,

fi ei V étant les directifs du sinus et du cosinus de YZ; mais le sinus est parallèle è Taxe des or, par conséquent on a |[x = i. Quant au cosinus, il est situé dans le plan des j^ et aura pour

directif une expression de la forme

V — i cosfl H- V'— « sin0;

il viendra donc pour l'expression de la direction

( yf^ ces 0 'V- v^~ sîn ^ ) cos (TZ) 4- sin ( YZ ).

D'un autre côté, par rapport à l'angle XZ que fait la direction avec le plan des xzy celle-ci sera de la forme

v'cos(XZ)4-a'sin(XZ),

Ik' et v' étant les dlrectifs du sinus et du cosinus de'XZ ; mais le sinus est parallèle à l'axe des y^ par conséquent on a

|x'= v^— !• Quant au cosinus, il esi situé dans le plan des xz et aura pour directif une expression de la forme

cosO'h-v^— i sin 6'; il viendra donc pour l'expression de la direction

(cosO'-+- v^^^'^sinôOcosfXZ) -+. v^^sin(XZ). Ces deux directions devant être équivalentes, on aura

sinYZ = cosÔ' cos( XZ), sin(XZ) = cosô cos(YZ), sin B cos( YZ ) = sin 6' cos( XZ) ;

cette troisième condition est comportée par les deux autres. Quant à la première et à la seconde, on en déduit les valeurs suivantes pour d et d' :

^ smXZ .. sinYZ

cos B = ^7^> cos B' = -.->

cosYZ cosXZ

et, par suite,

. ^ v'^cos'YZ-^sin'XZ , ^, v^cos^XZ — sln»YZ

sme = ^ r^Tj^ 9 sin0' = — «=

cosYZ cosXZ

Substituant ces valeurs dans Tune ou l'autre des expressions ci-dessus, on aura celle de la direction. En opérant, par

exemple, sur la première, on trouvera» comme nous l'avons constaté ci-dessus,

sin YZ -f- \/^ sinXZ -+- V~^"' v/côs»YZ — ^îïïôCZ .

Cette application nous paraît suffisante pour confirmer le principe que le cas actuel se déduit du précédent, en procé* dant par la voie des compléments.

Avec les nouvelles données, le principe de la somme des carrés devient

sin»(YZ) -4- sln«(XZ) -f- sîn»(XY) = i.

Si l'on en fait usage pour remplacer — sIn'XZ sous le radical, on trouve que celui-ci se réduit à iinXY : l'expression de la direction devient ainsi

sIn YZ -4- v^^sInXZ + v^*^~' sIn (XY).

C'est qu'en effet ce sont alors les sinus des angles donnés qui représentent les projections dirigées de la droite sur les trois axes, et, par voie de suite, leur somme doit être, tant en grandeur qu'en direction, la représentation algébrique cherchée.

Avec les quatre catégories de données représentées par les symboles (X), (XY), (XYj, (^Y) on pourrait procéder, dans

le but de définir la direction, à des combinaisons de deux d'entre elles, tout autres que celles dont nous venons de faire usage. Le nombre de ces combinaisons nouvelles serait considérable, et l'examen de ce qui les concerne exigerait de minutieux détails ; aussi est-il intéressant de montrer qu'avec les résultats acquis et consignés dans les deux articles qui précèdent, et même dans le premier seulement, il sera possible, à l'aide d'une méthode générale» de déterminer les formules de direction qui conviendront à telle combinaison de données qu'on voudra s'imposer.

On remarquera à ce sujet que, dans les cas que nous venons

d'éludier figure Tensemble des quatre types (X),(XY), (XY],

{xY). Ain^i, dans Tarticle XXX, nous avons combiné Tangle (XY) avec la longitude (XY), et puis Tangle (X)avec celui (xY). Dans l'article suivant nous nous sommes occupés du cas où l'on veut faire usage de deux des angles (X) ou de deux des angles (XY).

Il est donc certain, même en nous bornant a l'article XXX, que nous sommes en possession de formules dans lesquelles figure chacun des quatre symboles ci-dessus. Or on va voir que cela sera suffisant pour résoudre tous les cas.

Supposons, par exemple, qu'on veuille combiner une quelconque, des formes symboliques (XY] avec une quelconque

de celles qui appartiennent à la catégorie (^Y). Quel que soit l'élément ^ choisi parmi ceux (XY), on trouvera, dans le premier cas de l'article XXX, une formule dans laquelle entrera cet élément. Il y sera associé avec son correspondant de la catégorie (XY) que nous désignerons par ^'. Cette formule sera donc une certaine fonction de ^ et de Y Que nous désignerons par F,(ij;, Y).

En second lieu, quel que soit l'élément <p choisi parmi ceux (^Y). on trouvera, dans le second cas de l'article XXX, une formule dans laquelle entrera cet élément. Il y sera as> socié avec son correspondant de la catégorie (X) que nous désignerons par <p'. Cette formule sera donc une certaine fonction de 9 et de 9' que nous désignerons par ¥t{<p, f').

Cela posé, comme les deux fonctions F| et F, représentent la même direction, il faudra qu'elles soient égales. Or cette égalité, en vertu des trois espèces de termes essentiellement distinctes auxquelles elle s'applique, conduira à trois équations de condition à l'aide desquelles on déterminera les valeurs de Y ^^ d^ ?' 6" fonction de ^ et de 9. Substituant alors, soit ^' dans F, (^, ^'), soit 9' dans F2(9, 9'), on obtiendra l'expression cherchée de la direction.

On pourra remarquer à la vérité qu'il est surprenant que nous ayons ici trois équations de condition, alors qu'il n'y a a que deux inconnues à déterminer ; mais cela s'explique par cette circonstance, que Tune de ces trois équations est tou-

jours comportée par les deux autres» et il est facile de s'en rendre compte.

En effet la fonction Fi{^, Y) sera de la forme générale

et, parce que c'est une direction, il faudra lui appliquer le principe

aî-h6î-hc; = i, d'où c,=: v^i — aj — />J.

D*un autre côté, la fonction Fa (9, 9'], qui exprime aussi une direction, sera de la forme

cLt -4- ij v^— I -+- c, v'— 1 »

et l'on devra avoir

Or,lorsque de ces deux expressions, qui concernent la même direction, on aura déduit

a, = au bi •= 6„

la troisième condition Ci = Ca, en vertu des valeurs ci-dessus de e, et de Ci, sera toujours satisfaite, étant une conséquence évidemment nécessaire des deux premières. On sera donc en droit de la supprimer; mais il sera souvent utile de la conserver pour la facilité des calculs ultérieurs.

Il importe de faire observer que, de la nature des explications qui viennent d'être données, il résulte qu'il n'est nullement nécessaire que les deux éléments ^' et <f' correspondant à i{/ et à 9 aient une valeur plutôt qu'une autre ; il suffit, quels qu'ils soient, qu'ils fassent partie de l'expression autorisée d'une direction dans laquelle 4^ et 9 figurent. Expliquons notre pensée par un exemple : supposons à cet effet que ^ est dans la catégorie des éléments (XY), et 9 dans celle des éléments (X). Je pourrai, en vue de vj), recourir à toute expression directive dans laquelle ^ entrera, quel que soit l'autre élément ^* qui complétera cette expression. Il sera donc permis de prendre la combinaison de (XY), soit avec (XY), qui est le

- lu -

premier cas de rariicle XXX, soit avec celle (XZ), qui esi le deuxième cas de Tarticle XXXI. De même, en vue de f , je pourrai prendre ou la combinaison (X) el ( jtY), qui est le second cas de Tarticie XXX. ou bien celle (X) et (Y), qui est le premier cas de Tarticle XXXI. De quelque combinaison qu'on ait fait choix, et par suite quels que soient les seconds élé* ments ^' et 9' qui s'y appliquent, on cherchera, à l'aide des équations de condition, les valeurs de ^' et f ' qui sont la conséquence de ces choix, et Ton agira avec eux, pour déterminer les directions, suivant les règles ci-dessus exposées.

Cette observation peut avoir une importance réelle dans la pratique: elle fait voir que non-seulement on pourra arriver au but par les formules de l'article XXX, mais par toutes autres contenant les éléments obligés, ce qui, dans certains cas, sera de nature à simplifier les calculs.

Montrons maintenant par quelques exemples comment ces opérations doivent être pratiquées.

Supposons d'abord qu'on demande d'exprimer une direction à l'aide des éléments ( YZ) et (/X).

On cherchera d'abord la formule qui contient (YZ), et on

la trouvera parmi celles qui figurent au premier cas traité dans l'article XXX. Cette formule est

cos(YZ)[/=7cos(YZ)H-v'^^sin(YZ)]-Hsin(YZ).

Ici les deux éléments ^ et ^ sont respectivement (YZ] el(YZ).

On cherchera ensuite ta formule qui contient (7X), et on la trouvera parmi celles qui figurent au deuxième cas du même article; cette formule est

s/^cos( Y) -f- [cos(rX) -4- \/^'^sin(/X)]sinY.

Ici les deux éléments 9 et 9' sont respectivement (rX) ei (Y).

De la comparaisan de ces deux expressions, qui s'appliquent toutes à la même direction, résulteront les conditions suivantes s

sin(YZ) = cos(rX)sinY,

cos(YZ)cos(YZ) = cosY,

cos(YZ)sin(YZ)=:sin(/X)sinY.

Nous savons déjà qu'une quelconque de ces conditions est comportée par les deux autres ; mais, pour la commodité des calculs, nous les conserverons toutes trois.

Si l'on multiplie la seconde par sin(/X) et si Ton ajoute ensuite son carré au carré de la troisième, l'élément (Y) disparaîtra, et il viendra

cos»(YZ)[cos«(YZ)sin'(7X) + sin>(YZ)]=sin'(rX);

d'où l'on déduit

cos(YZ)== ^'"<^^> ,

y^l — C0S'(YZ)C05'(7X)

et ptr suite

cos(rX)sinfYZ)

^1 — cos'(YZ)cos»(7X)

Ces valeurs ainsi obtenues» on déterminera facilement celles de cosY et de sinY, qui sont

cos(YZ)sin(>-X)