C0SY

sinY--=:

y'i — cos»(YZj cos'(^X]

sin(YZ) y/ 1 -^ôs^(YZ) cos'(/X)

Maintenant qu'on substitue soit cos(YZ) et sin( YZ) dans la première des expressions ci-dessus, soit cosY et sinY dans la seconde, et l'on trouvera, de l'une et de l'autre manière» l'équivalent algébrique cherché de la direction, savoir :

fcos(rX)sîn(YZ)4-v^=^sln(/X)cos(YZ)-f-v^3r^gin(^X)sin(TC

y"! — cos*(YZ)cos>(/X)

On pourra d'ailleurs vériGer que la somme des carrés des

trois grandeurs qui multiplient les directifs i, y'— -i, ^— 1^~' est égale à l'unité.

Dans cet exemple, nous n'avons fait usage pour ^' et pour ^' que d'une seule valeur. Nous allons maintenant présenter une application dans laquelle ^' et 9' seront susceptibles d'en recevoir deux qui conduiront également au but qu'on se propose d'atteindre.

Admettons à cet effet qu'on se propose de déterminer la direction par les deux éléments Z et (XZ), c'est-à-dire par les angles qu'elle fait, d'une part avec Taxe des z, de l'autre avec le plan des xz.

Dans le second cas, traité à Tarlicle XXX, l'élément Z figure avec l'élément 2X ; mais il figure aussi avec l'élément X» dans le premier cas traité à l'article XXXI.

De son côté, l'élément (XZ) figure avec l'élément (XZ),

dans le premier cas traité à l'article XXX, mais il figure aussi avec l'élément YZ, dans le second cas traité à Tariicle XXXL

On pourra donc, d'après ce qui a été expliqué à l'article XXXII, combiner Z soit avec (isX), soit avec X et agir ensuite, au moyen de l'une ou de l'autre de ces combinaisons, sur celles qu'on obtient en associant (ZX), soit avec (XZ), soit avec (YZ).

De là quatre cas possibles ; mais il sera suffisant, comme application, de montrer qu'il y a concordance entre deux de ces cas pris d'ailleurs arbitrairement. La vérification complète pour les quatre combinaisons est une affaire de calcul que le lecteur trouvera facile après les explications dans lesquelles nous allons entrer.

Prenons d'abord pour ^ l'élément Z et pour v};' l'élément (zX), l'expression de la direction est alors

[cos(-3X) -4- v'^ sin (zX)] sinZ 4- y'— " ' «osZ. Prenons ensuite pour 9 l'élément (XZ) et associons-le

avec (XZj, qui représentera <p': cela conduit à une nouvelle expression de la direction» qui est

cos(XZ)[cos(XZ)-hv/^^"*sin(XZ)]-hv^^slnXZ.

De la comparaison de ces deux expressions qui s'appliquent à une même direction, on déduit les trois équations de condition suivantes :

cosZ = cos (XZ) sin (XZ j,

sin(XZ) = sin(zX)sinZ.

cos(zX)sinZ==cos(XZ)cos(XZ).

Ici les deux éléments inconnus qu'il s'agit de déterminer sont (zX) et (XZj. Or la première condition donne immédiatement

cosZ / cos*Z

SinfXZ)=: — vTT» ^*0U COS(XZ) = V/l ^r^f7^^^

v ; cos^XZ; ^— ^ y cos^(XZ}'

la seconde condition donne à son tour

. , -., sinfXZ) ,, , - «, / sm''(>

Qu'on substitue maintenant, soit sin(^X) et cos(2X) dans la première des expressions ci^essus, soit sin (XZ^ et cos(XZ j

dans la seconde, et l'on trouvera, par l'un ou par l'autre moyen, pour l'expression cherchée

(A) vsin'Z-~sin''(XZ)-4-v^^sin(XZ)-hv/^^"'cosZ.

Ces calculs sont d'ailleurs analogues à ceux que nous avons détaillés dans l'article précédent.

Passons maintenante une autre combinaison.

Pour les mêmes éléments Z et (XZ), nous pouvons prendre, pour ij/' correspondant de Z, l'élément X; et pour cp' correspondant de XZ, réiément (YZ). Dans cette hypothèse, la di^ rection sera exprimée, savoir :

- U8 - Pour Z et X» ptr

cosX -♦- /^ /sin'Z — cos'X + ^^ "' cosZ ;

Poup(XZ)et(YZ), par

sin(YZ) 4- /^ sin(XZ) -h /=1^ v^cos>(YZ) — sin^XZ).

De la comparaison de ces deux expressions» qui sont représentatives d'une direction unique» on déduira les trois équations de condition suivantes :

cosX = sin(YZ),

V^sin'Z — cos'X = sîn(XZ),

cosZ = ^cos' ( YZ ) — sin* ( XZ ) .

Ici les deux éléments inconnus qu'il s'agit de déterminer sont X et (YZ). La première condition nous apprend que les deux angles qu'ils représentent sont complémentaires l'un de l'autre. Cest ce qui résulte d'ailleurs de leur définition, puisque l'un est l'angle que fait la droite donnée avec l'axe des x, et que l'autre est celui de la même droite avec le plan des^z.

Pour l'expression ci-dessus en X et Z, il suffit de connatire cosX. Or la seconde des trois équations de condition donne

cosX=Vsin'Z — sin»(XZ).

Substituant donc cette valeur dans cette expression, celle-ci devient

VsittiZ — sin"^{XZ) H- V^^sin(XZ) h- ^^^ cosZ;

on retombe ainsi sur l'expression (A), telle qu'elle a été trouvée par le premier moyen.

La détermination de (YZ) s'obtient facilement par la troisième condition, de laquelle on déduit

cos( YZ) = Vcos'Z-4-sin»(XZ);

on aura par suite

sin(YZ)=Vsin"Z — sin»(XZ).

Sobstiluant ces deux valeurs dans Téquivalent de la direction exprimé en fonction de (XZ) et de ( YZ), on obtient pour la quatrième fois l'expression (A) ci-dessus«

Toutes les concordances annoncées dans ce qui précède sont ainsi vérifiées.

Les diverses expressions qui ont passé sous nos yeux reposant sur la base de faits et de principes géométriques incontestés^ il est nécessaire, si nous n'avons pas fait erreur dans nos raisonnements» que les conséquences que nous pourrons déduire de ces expressions soient identiques avec celles que des études antérieures ont déjà introduites et sanctionnées dans la Science.

A cet égard nous avons constaté, lorsque nous nous sommes occupé des directions planes, que l'équivalent algébrique de CCS directions et les règles à l'aide desquelles on passe de l'une à l'autre sont tout à fait d'accord avec les principes de la Trigonométrie rectiligne, de telle sorte qu'à vrai dire on pourrait prétendre, et Ton a prétendu, que nous n'avons fait que présenter sous une autre formç des vérités parfaitement connues avant nous. Nous nous empressons, quant aux principes, d'adhérer à cette affirmation ; les principes ne peuvent, en effet, qu'être immuables, quels que soient les moyens employés pour procéder à leur recherche ; mais, comme il y a dans cette forme, à laquelle on semble vouloir n'accorder qu'une médiocre importance, plus que de simples apparences, plus que de prétendues conventions, comme dans les moyens de calcul qu'elle met en œuvre il y en a un qui repose sur l'emploi d'une opération négligée jusqu'ici parce qu'elle était incomprise, comme, loin de prétendre, avec la plupart des géomètres, que cette opération est un non-sens> une chose qui n'existe pas, nous lui avons attribué au contraire le remarquable privilège d'être le représentant algébrique des faits géométriques qui se rattachent à la perpendicularité, comme enfin c'est là une idée nouvelle et non encore exploitée, il y ^vait un intérêt évident à s'assurer si ce nouveau moyen d'ac-

tioD, combiné avec ceux déjà connus et praiiqués, conGrmerait toutes les vérités admises ou les* contredirait. C'était là une épreuve dont il était important de connaître les résultats» puisqu'une seule contradiction constatée devait sufilreà faire rejeter nos interprétations. Or non-seulement cette contradiction ne s'est pas rencontrée» mais» dans toutes les circonstances» nous avons pu vérifier que le fonctionnement algébrique de cette opération était en complet accord avec les faits et les moyens géométriques que nous avons signalés comme se trouvant en correspondance directe avec elle.

Cette épreuve heureusement tentée pour les directions planes» il n'est pas moins utile de la faire pour les directions dans l'espace, et de s'assurer si l'emploi combiné des directifs

^— I , v^— I avec les autres opérations de calcul est oui ou non en concordance avec les faits géoniétriques connus.

Dans ce but» il nous faudra sortir de la Trigonométrie du plan et aborder celle de l'espace. Toutefois le développement de nos connaissances acquises en cette matière n'étant pas en ce moment suffisamment étendu» l'épreuve ne saurait être encore complète; elle le deviendra plus tard lorsque nous nous serons expliqué sur ce qui concerne les directions des plans. Quant à présent» nous allons faire voir que tout ce que nous venons d'exposer sur les directions des droites dans l'espace confirme et démontre au besoin les principes de la théorie des triangles sphériques rectangles.

Fig. 2.

A cet effet» soit prise une direction quelconque OC {Jig. 3),

et soit OB Taxe des x. Cette direction se projetant suivant OA sur le plan des xy^ l'arc CA = 6 sera sa latitude, et l'arc BA = c sera sa longitude ; désignons en outre par a l'arc CB qui mesure l'angle que fait la direction avec l'axe des x. On voit qu'on aura ainsi formé un triangle sphérique, rectangle en A, dont les trois côtés seront a, 6, c, parmi lesquels a est l'hypoténuse. Il est d'ailleurs visible que l'angle en B que font les côtés a et c, angle que nous désignerons par B, est égal à celui que fait, avec le plan des xy^ le plan OCB qui contient la direction et qui passe par l'axe des x.

Cela posé» si nous voulons représenter la direction par sa latitude et sa longitude, c'est-à-dire par les éléments ci^dessus déflnls (XY), (XY], nous aurons l'expression suivante:

cosé (cosc -4- y^— I sine) H- y^ — i sini.

Si nous voulons l'exprimer par les éléments X et (^Y), c*est-à-dire par l'angle a qu'elle fait avec l'axe des x et par celui B du plan OCB avec le plan des xy^ nous aurons la seconde expression {voir art. XXX)

cosa

(v^— 1 cosB -\-y[^\ 'sinBJsina;

mais ces deux expressions devant être égales, puisqu'elles

s'appliquent à la même direction, on aura les trois équations

de condition

cosa = cosé cosc,

cos( sinc = sinacosB,

sinfr = sinasinB.

Or la première exprime la propriété connue entre l'fiypoténuse et les côtés de l'angle droit. La troisième énonce celle qui lie l'hypoténuse à un côté de l'angle droit et à l'angle opposé à ce côté. Quant à la seconde, si on la divise par la première, on trouvera

tangc = tanga cosB :

c'est la relation qui lie l'hypoténuse à un côté et à l'angle non droit adjacent à ce côté.

Eûfin^ en divisant la seconde par la dernière, on a

coifrsinc = cotB»

relation qui lie les deux côtés de Tangle droit à Tun des angles obliques.

Il est évident que la première des relations dans laquelle entrent les trois côtés et qui est symétrique par rapport à 6 et à c est unique ; mais les trois autres doivent être doubles par suite des permutations simultanées qu'on y peut faire de b en c et de B en C. Nous pourrions donc, pour les admettre, nous en tenir à cette remarque; mais, puisqu'il s'agit ici de contrôle, il convient d'en poursuivre l'exercice jusqu'au bout et de montrer comment les analogues de ces trois dernières relations peuvent à leur tour être obtenues par les considérations directives.

A cet effet, supposons qu'on change le plan des xjr et qu'on prend à sa place celui OC A qui lui est perpendiculaire. Par rapport à ce nouveau plan, sur lequel OC représente l'axe des X, la droite OB deviendra une direction dont la latitude sera c et la longitude b. En conséquence, sa direction sera exprimée par

cosc(cos6 -h v'— « sinft) •+- v— ' sine.

D'un autre côté, la direction OB fait avec le nouvel axe des X un angle a égal au précédent. Quant au plan qui la contient et qui passe par cet axe, il fait avec le nouveau plan des coordonnées un angle précisément égal à C. En conséquence, la direction exprimée avec les données a et C sera représentée par

cosa -^ (v/--TcosC -h^— 1^ sînCJsîna.

Égalant entre elles ces deux expressions, qui s'appliquent

à la même direction, on en déduira les trois équations de

condition

cosa = cos6cosc,

coscsin6 = sinacosC,

sinc=^ sinasinC.

Ainsi que cela doit être» la première exprime la même relation que précédemment entre a, b, c. La dernière est l'analogue de sin6 = sinasinB. Puis divisant la seconde d'abord par la première, en second lieu par la dernière» on trouvera les analogues des deux autres.

Quant aux relations dans lesquelles entrent les deux angles B et C avec un des côtés» et qui sont au nombre de trois, on les déduira des deux groupes de conditions ci-dessus par des calculs d'élimination ordinaires et sur lesquels il est inutile d'insister.

En résumé, on voit que les formules et les considérations directives dont nous avons fait l'exposé sont en concordance complète avec les principes constitutifs de la Trigonométrie sphérique des triangles rectangles.

Avant de terminer ce qui est relatif aux directions des droites dans l'espace» nous ne saurions nous dispenser de présenter quelques aperçus comparatifs entre la théorie qui les concerne et celle qui s'applique aux directions planes.

Sur le plan les lois qui régissent les directions sont d'une grande simplicité. Pour un angle quelconque a» la direction

est exprimée par cosa + ^— i sinoc; pour un autre angle p»

elle le sera par cos^ -h^—i sinp^ et nous avons constaté que la direction correspondant i la somme a + p a pour valeur le produit des directifs respectivement afférents aux angles a et p. Ce point de principe domine» éclaire et simplifie toute la théorie des directions planes.

Les esprits qui ont une prédilection prononcée pour les considérations analogiques auraient désiré sans doute qu'un principe» sinon tout à fait équivalent» du moins similaire» existât pour la théorie des directions dans l'espace» et il est certain que la simplicité des calculs n'aurait eu qu'à y gagner ; mais un tel principe ne figure pas dans cette théorie» et, en réfléchissant aux différences très-accentuées qu'on rencontre entre les moyens géométriques à l'aide desquels on défini!

les direcUons de Tune et de l'autre espèce, on ne sera pas surpris que les analogies algébriques fassent déraut» alors que, dans ce dont elles devraient être la représentation, on ne con* siate que des divergences. Donnons à cette idée tout le développement qu'elle mérite.

Pour caraétériser géométriquement une direction plane, un seul élément suffit. Après avoir fait choix d'une droite, destinée à servir de point de départ pour la supputation des directions, il suffit de connaître l'angle que fait la droite ainsi choisie avec la droite donnée pour évaluer la direction de cette dernière. Cet élément angulaire est donc unique. De plus, dans l'ordre d'idées que nous venons d'indiquer, il est immuable, puisque tout autre angle que celui que nous venons d'indiquer s'appliquerait à une direction différente de la première. Ce grand principe d'unité et d'immuabilité, pour l'élément qui définît la direction dans le plan, nous permet non-seulement de comprendre ce que doit être la direction répondant à un angle double, triple, etc., d'un autre, mais encore de conclure que, par rapport à la première direction, chacune de celles qui correspondront à un multiple quelconque de l'angle primitif sera fixe et immuable comme l'est cet angle lui-même.

A cette première propriété, toute géométrique, vient s'en joindre une autre, dépendant des facultés propres à l'Algèbre, en vertu de laquelle le produit de tant de directifs qu'on voudra afférents à des angles quelconques a„ as, «3,. . . est égal au directif qui correspond à la somme de ces mêmes angles.

On voit donc que, tandis que dans la Géométrie la succession des directions se fait par l'addition des angles qu'elles forment entre elles, dans l'Algèbre elle s'obtient par la multiplication des binômes directifs correspondant à chacun de ces arcs considéré isolément. On peut donc affirmer que l'arc géométrique est le logarithme de l'expression algébrique représentative de la direction, et que par conséquent les règles de la fonction logarithmique sont ici directement applicables. Telle est la grande loi qui, dans cette circonstance, lie l'AU gèbre à la Géométrie et qui sert de régulateur à toute cette théorie. D'ailleurs nous ne faisons ici que rappeler les prin-

cipes qui ont été développés et démontrés dans notre publication de 1869 et auxquels le lecteur pourra se reporter.

Or rien de pareil ne se rencontre dans les faits qui concernent les directions dans l'espace. Ici un seul élément angulaire est insuffisant pour définir la direction, il en faut toujours deux» et de plus ceux-ci, loin d'être immuables, peuvent être choisis de bien des manières différentes, ainsi que nous venons de le voir dans la série des articles qui précèdent. Dès lors la conséquence ci-dessus signalée que, dans le plan, Taddition des arcs employés pour définir les directions conduit toujours à une direction fixe et unique, disparaît complètement lorsqu'il s'agit de l'espace. Autant, au contraire, il y aura de manières de choisir deux éléments angulaires pour définir une pareille direction, autant il y aura de directions différentes répondant aux mêmes accroissements de ces éléments, soit qu'on considère ceux-ci isolément, soit qu'on les envisage dans leur dualité. Précisons ces idées par l'indication de quelques faits.

Ainsi que nous l'avons vu, une direction peut être définie par sa longitude cl et par sa latitude (3, l'angle ol étant situé dans le plan de base ou des x/, et l'angle p dans un plan perpendiculaire à ce dernier. Si maintenant, sans toucher à (3, j'ajoute à a un arc quelconque Ç, je pourrai, à l'aide de la variation de 5, parcourir en entier la circonférence située dans le plan des xy\ pendant ce temps, la droite donnée se déplacera, et, comme elle fait toujours le même angle (3 avec le plan de base, on voit qu'elle décrira une surface conique dont le sommet sera à l'origine, ayant pour axe l'axe des z et dont l'angle générateur, par rapport à cet axe, aura pour valeur le complément de p.

Cela posé, les deux directifs afférents aux longitudes a et Ç sont respectivement

cosp (cosa -4- v'^ sina) -+- /^ sinp,

cosp(cos5-f-^— I sin^) -^\f^ sinp, tandis que celui de la somme a + ^ est

cos(3[cos(a-f- D-^^—i sin(a-hS)] + V--ï sln^.

Or il n'est pas faeile de conceToir comment on serait a%ébriquement conduit à conclure le dernier des deux premiers. On pourrait dire à la vérité qu'on y parviendrait en conservant cos^ et sin^ tels qu'ils sont et en donnant pour coefQcientà la première de ces quantités le produit de ses coefficients primitifs ; mais ce serait là un moyen de calcul reposant en partie sur une convention» et la question de savoir si ce moyen pourrait être remplacé par une opération algébrique régulière et autorisée reste, pour nous du moins, à l'état de problème non résolu.

Supposons maintenant que c'est, au contraire, l'angle a qui reste constant et l'arc (3 qui reçoit une augmentation i}. Dans ce cas la direction ne sortira pas du méridien répondant à la longitude a, mais elle occupera dans ce méridien, et en raison de la variation de m, toutes les positions possibles autour de l'origine.

Dans cette nouvelle hypothèse, les deux direetib «ittmtta à ht longitude constante a et aux latitudes ^ ein seront respectivement

cosp(cosa-h v^— I sina) -+- \— i* sinp, COST} (cosa-f- V---Ï sîna) -+- ^ — i sinij, tandis que celui de la somme ^ + ?} est

cos(P -hï3)[cosa-*-\— I sina]-h v'— «^ sin(^-+-iî).

Ici encore, pour passer des deux premiers au dernier, il faudrait introduire une convention consistantà admettre qu'on

commence par faire abstraction du facteur cosce + V— i sina, commun aux deux cosinus, qu'on multiplie ensuite entre eux les deux direciifs ainsi simpliGés, après quoi l'on restitue le même facteur à la partie réelle du produit, qui est le cosinus de P + Y}. Or la question de savoir s'il existe des opérations algébriques régulières, produisant les mêmes effets que ce procédé conventionnel, paraît encore plus difGcile à résoudre dans ce cas que dans le précédent.

Enfin, lorsqu'on donne simultanément une augmentation à a

eià p, les directifs de {x, P) et de H, n) sont respectivement

cos|3(cosa -f- v^— I sina) 4- y^'^ sinp, cosyj(cos$ -f V— I sin^) -+- v/~ "'sinv?, tandis que pour celui de (a -f- $, (3 -+• y)) on trouve

cos((3-+-yî)[cos(«-+-5)-l-V^^sîn(a-f-^)]-hv/^^sin(P-f.yî).

Or, pour passer des deux premiers à celui-ci, il faudrait convenir : premièrement, de ne pas tenir compte des facteurs de cosj3 et cosY] et de multiplier entre eux les directifs ainsi simplifiés; deuxièmement, de donner pour coefficient à la partie réelle de ce résultat le produit des deux facteurs qu'on a d'à* bord négligés. On voit donc que les exigences convention* nelles ne font qu'augmenter, et, par suite, les difficultés du sujet prennent avec elles une plus grande importance.

Hais la question se complique bien plus encore lorsqu'on remarque que, les éléments angulaires propres à définir une direction dans l'espace étant variables, les mâmes augmentations l eiri introduites dans ces éléments conduiront, suivant le choix qu'on aura fait de ceux-ci, à des directions sans cesse "différentes. Au lieu donc de cette immuabilité de direction qui, dans le plan, résulte de l'addition d'une quantité quelconque ^ à l'élément régulateur primitif, et qui tient à ce que celui-ci est unique, on aura dans l'espace une diversité continuelle de résultats, diversité en rapport avec celle dont est susceptible le choix des données régulatrices de la direction. Il est bien difficile d'espérer qu'au milieu de si incessantes mutations on puisse parvenir à des règles précises et uniformes.

Si, par exempte, au lieu de définir la direction par la latitude et la longitude, on se sert de l'angle X qu'elle fait avec l'axe des x et de l'angle (^Y) que fait avec le plan des xy celui qui la contient et qui passe pour l'axe des x^ on remarquera que, par l'addition de ^ à X, on pourra faire acquérir, dans ce dernier plan, toutes les positions possibles à la direction ; positions généralement très-différentes de celles qui cor-

respondeni à ^ dans le cas cî-dessus, puisque les nouvelles sont dans un plan et les précédentes sur une surfacp conique.

D*un autre côté, si on laisse X constant et si Ton ajoute ri à {xY ), la direction» faisant un angle invariable avec Taxe des x, s'appliquera, pour chaque valeur de m, sur une des génératrices d'un cône dont le sommet sera à l'origine, dont l'angle générateur sera X et dont l'axe se confondra avec celui des x. Or ce sont là des directions très-différentes de celles correspondant à n dans le cas précédent, puisque, encore ici, les unes sont dans un plan et les autres sur une surface conique.

Que conclure de ces diverses observations, sinon que l'existence d'opérations vraiment algébriques propres à nous faire passer dans l'espace d'une direction à une autre est plus que douteuse, et que ce qui est si simple dans le plan, ce qui est alors si conforme aux règles autorisées du calcul ne paratt guère pouvoir se pratiquer à l'égard des directions considérées dans l'espace qu'à l'aide de procédés non-seulement conventionnels, mais variables à tout instant, suivant le choix qu*il aura convenu de faire pour définir la direction? Dans tous les cas, nous ne pouvons que constater ici notre impuissance personnelle.

Ce n'est, très-exceptionnellement, que pour les directions situées dans le plan des xz qu'il est possible de faire usage des règles applicables aux directions planes. Cela tient à ce que dans ce plan, aussi bien que dans celui des xjr^ un seul élément suffit pour définir la direction, savoir: l'angle qu'elle fait avec l'axe des x; cela tient en outre à ce que cet angle se compte toujours à partir de Torigine commune des arcs, qui est la même pour ces deux plans des coordonnées. Dans ces deux circonstances, les arcs s'ajoutant à la suite les uns des autres sur une même surface plane, les règles trigonométriques qui régissent ces additions sont également applicables aux deux plans considérés. D'un autre côté, au point de vue

de l'Algèbre, l'attribut directif ^— i, qui caractérise Tare per-

pendiculaire partant de l'origine^ n'entraîne dans l'expression analytique de la direction que le simple changement de v^^^

en y/~i y et nous avons constaté que cela ne fait pas obstacle à l'application de la loi en vertu de laquelle le directif de la somme de deux arcs est égal au produit des directifs de chacun de ces arcs. Tout devient donc similaire entre le plan des xz et celui des xy^ la Géométrie et rAlgèbre se trouvant en parfait accord sur tous les points.

Mais il n'en est pas de même pour le troisième plan des coordonnées, celui desjz. A la vérité, dans ce plan considéré isolément» un seul élément suffît pour définir la direction, savoir l'angle 9 qu'elle fait avec l'axe des /; mais il se présente ici une différence essentielle avec ce qui concerne les deux autres plans des coordonnées : elle consiste en ce que, dans ceux-ci, les arcs dont on fait usage sont toujours comptés à partir de l'origine commune de tous les arcs, qui est l'extrémité de l'axe des Xj tandis que, dans le plan des yz^ les arcs 9 partent de l'extrémité de l'axe des ^; de telle sorte qu'au point de vue de cette origine commune ceux-ci, à leur point de départ, en sont distants horizontalement de la valeur d'un angle droit. Leur véritable représentation algébrique doit donc être soumise à deux conditions : l'une exprimant leur perpendicularité sur le plan des ar/, l'autre définissant la distance de leur point de départ à l'origine commune. La première est satisfaite par le facteur v'— i accolé à d, la seconde

le sera par l'addition de -• Il suit de là que, pour le plan

des yz^ l'expression de l'arc employé pour définir la direction

ne doit pas être seulement Byl—i\ agir ainsi ce serait évidemment confondre ce qui concerne ce plan avec ce qui s'ap^ plique à celui^des xz ; mais la confusion disparaît et une distinction trèsHfiette s'établit entre les deux cas, lorsqu'on donne aux angles qui caractérisent le dernier leur véritable expression -.-f- Bsl—i •

D'ailleurs, au point de vue analytique, nous allons voir que cette manière de procéder est tout à fait conforme aux prin-

cipes exposés dans l'arUcle XVII, et conduit à Terpression connue des directions dans le plan des yz.

Dans cet article, en effet, nous avons supputé ce que sont en grandeur et en direction le cosinus et le sinus de Tangle

a + p v/— I . Faisons-en l'application au cas actuel. La direction cherchée s'obtiendra évidemment en ajoutant le cosinus

dirigé de Tare - -4- 6 ^—i au sinus dirigé du même arc.

Or la valeur générale du cosinus de a 4- (3 \/— i étant, quant

à sa grandeur, cosa cos^, ce produit deviendra cos- cos^ et

sera par conséquent nul. Nous n'aurons donc pas à nous en occuper, et il ne nous restera qu'à avoir égard à ce qui concerne le sinus qui, à lui seul, doit nous donner la solution. Quant

à la grandeur de ce sinus, sa valeur générale v'i— cus^acos'^ se réduit ici à l'unité. Sa direction a pour expression générale

V^— I cospsina-f- y^— i sin^ ^i — cos'acos'P

et devient dans le cas actuel

V^— I cos6 sin- -+- i/— i sinô

ou simplement