V--7cos0 4- v'— I sin

qui est en effet l'expression connue des directions dans le plan des jrz.

Ces explications sont le complément promis de celles que nous avons déjà données dans l'article XVI, lorsque nous nous sommes spécialement occupé de ce qui concerne les directions situées dans les plans mêmes des coordonnées. Ce que nous n'avons pu alors constituer qu'à l'aide de points de vue particuliers se rattache ainsi à la théorie et aux formules générales des directions.

Les détails dans lesquels nous venons d'entrer nous paraissent très-propres à faire comprendre la distinction essen-

tielle qui existe entre te plan des x^ ^^ ^^ deux autres; Dans ceux-ci les arcs parteat toujours de l'origine, tandis que dans le premier leur point de départ pris sur Taxe des x ^^ ®^^ distant d'un angle droit compté sur le plan de base. De là des différences géométriques provenant de ce que l'addition

de - à 0 se fait non dans un môme plan, mais dans des pians

perpendiculaires l'un à l'autre, ce qui doit naturellement conduire, au point de vue de l'Algèbre, à des fonctions d'une autre nature» et par suite à des règles de calcul différentes des premières.

M%is« pour être complètement édifié sur tout ce qui concerne ce si^et, il ne faut pas se borner aux seules considéra* lions que noua venons de faire valoir dans l'article précédent* On serait, en efflat, en droit d'objecter que si, dans le plan des x^f l'angle 0, à l'aide duquel on définit les directions qui appartiennent à ce plan, ne part pas de l'origine, et si, aXi point de vue de cette origine, l'expression véritable de cet

angle doit être - ■+- 9^— i, il est toujours possible de lui substituer un arc direct partant de l'origine et équivalent, tant en grandeur qu'en direction, à l'addition des éléments - ei 6 opérée par voie de perpendicularité. En outre cela peut se faire non-seulement pour les directions situées dans le plan des ^2, mais encore pour une direction quelconque, ainsi que nous allons l'expliquer.

En effet soient OC {Jig. 3) la direction donnée, ei OB sa pro* jection sur le plan des 07*; sa longitude sera l'arc AB, et sa latitude l'arc BC. Ces deux arcs s'ajoutent perpendiculaire-* ment, et, comme les règles de cette addition ne sont pas celles qui s'appliquent aux arcs qui s'ajoutent dans un même plan, on est conduit à dire que de là résultent, pour l'expression analytique de la direction, des conditions nécessairement différentes de celles qui régissent les directions planes.

Cette observation faite, menons un plan par la direction donnée et par l*axe des x. Ce plan coupera la spiière unité suivant un arc de grand cercle CA, et Ton pourra prendre cet

Flg. 3.

arc pour l'un des éléments a l'aide desquels on définira la direction. Or cet arc part évidemment de l'origine commune, et, comme toutes les additions qu'on lui fera dans son plan s'exécuteront suivant les règles de la Trigonométrie rectîligne, il semble qu'on est en droit de conclure que le passage d^une direction à une autre, pourvu que ces directions ne sortent pas de ce plan, devra se faire à l'aide des moyens et procédés applicables aux directions planes.

Au point de vue géométrique, cette conséquence est incontestable ; une fois la position du plan fixée, et elle le sera par l'angle qu'il fait avec celui des xyy le passage d'une direction à une autre dans ce plan se pratiquera par les mêmes opérations géométriques que celles opérées dans le plan de base.

Hais, au point de vue de l'Algèbre, les circonstances pourront ne pas se présenter avec la même simplicité. Il faudra bien, en effet, que, dans l'expression analytique de la direction, figure quelque chose qui indique qu'on est dans un certain plan plutôt que dans un autre. Or ce quelque chose pourra modifier, dans les calculs ultérieurs, la nature des résultats qui se sont primitivement produits, alors que ce nouvel argument analytique n'existait pas, ou du moins n'existait qu'à l'état de spécialité jouissant de facultés exceptionnelles et non générales. La représentation par l'Algèbre des procédés géométriques ne sera pas pour cela rendue impossible, mais elle

obéira à d'autres prescriptions que celles qui s'appliquaient particulièrement au plan des xy^ et cela parce que le nouveau plan s'en détache d'un certain angle, au lieu de se confondre avec lui.

Pour se bien fixer sur ce point très-délicat de la théorie des direciionsy il n'est pas inutile de dire ici quelques mots de la conception générale qu'on peut se faire de leur représentation analytique. D'ailleurs cet exposé n'intéresse pas seulement la question actuelle: il est, en outre, très-propre à élucider et à simplifier un grand nombre de considérations qui se 'rattachent à cette théorie.

Convenons de représenter par la lettre Od un directif quel-

conque; ce sera, par exemple, un de ceux i, v— i» v~"i qui appartiennent aux axes, ou de ceux qui s'appliquent aux plans des coordonnées et qui sont de l'une des formes

COS0 -4- V— ï sinô, cos6-f-v^^ 'sînfi,

V^^ cosô -♦- ^~ ""* sinO,

ou enfin, plus généralement, le directif d'une droite dans l'espace.

Cela posé, considérons une droite quelconque OD [Jig. 4) dont le directif sera (D; prenons ensuite une seconde droite OC

Fig. 4.

également quelconque, et faisant avec laprécédente un angle f • Dans le plan COD de ces deux droites, menons par l'extrémité

de C une perpendiculaire €E sur ]a première. Il est incontestable qu'on aura

OC dirigé = OE dirigé 4- CE dirigé,

et par conséquent, si Ton représente par CD' le direciif de la perpendiculaire à OD, il viendra

OC dirigé = (D cos 9 -h (D' sin 9.

Il résulte de là qu'une direction quelconque est toujours susceptible d'être représentée par un binôme, dont le premier terme exprime le cosinus dirigé d'un certain angle et dont le second terme est le sinus dirigé du même angle. Telle est la conception la plus générale qu'on peut se faire d'une direction; les deux directifs (D et 0^ se trouvent d'ailleurs assujettis à la condition d'être perpendiculaires l'un à l'autre dans ua même plan.

Faisons quelques applications de ce principe général. SI, par exemple, la droite OD se confond avec l'axe des x, le di* rectif (D sera toujours égal à l'unité. Si, en outre, la droite OC venait s'appliquer sur le plan même des xjr, le directîf du

sinus serait simplement y^— 1; la direction serait alors exprimée par

cos^H- V— I sin 9,

et l'on aurait dans ce cas

Si la droite OD se confond avec l'axe des 2, et si, en outre, OC vient s'appliquer sur le plan des xz, la direction sera exprimée par

V— -» COS9 *+" sln9, et Ton aura dans ce cas

SI la droite OD se trouve dans le plan xz^ et si sa direction y est déterminée par la condition qu^'elle fait un angle a avec

Taxe des Xy son directif CD sera représenté par

cosa-f-y — I sina,

et celui CD', dans le cas où OC serait également situé dans le plan des xz^ aura pour valeur

, yf^\ ( , V/=T \

V— I Vcos«-4-v — « sIna/.

Ces divers exemples sont de nature à faire comprendre comment les expressions (£) et Œ>' sont autorisées à intervenir dans celle de la direction de OC considérée dans ses rapports de position avec OD.

Ces préliminaires ainsi établis, ne sortons pas du même plan CODy pour lequel Texpression de OC est

(Dcos(p -hCÔ'sinç,

et prenons dans ce plan une nouvelle direction OC résultant de l'addition de l'angle f' à Tangle <p. Le directif de l'angle 9', considéré isolément et rapporté toujours à OD, sera

(î)cos9'-f-(D'sin<p'.

Dans cette expression (£) et (£)' ont exactement les mêmes valeurs que précédemment, puisque la direction de OD et celle de sa perpendiculaire dans le plan con^déré sont inva* riables. Enfin la direction OC, répondant à l'angle 9 + 9', sera exprimée par

(Dcos(9 -4- ?') "+■ cO'sin(9 -h 9').

Cela posé, que faudrait-il pour que la loi algébrique qui réglera le passage d'une direction à une autre fût encore ici la même que dans le plan des xjrl II faudrait qu'on eût

((Dcos9-*-(D'sin9)((Dcos9'-4-(D'sln9^) = (£)cos(9 -+• 9') -+-(©' sin(9 -f-9'),

relation qui^ lorsque le premier membre est développé, devient

(D*cos9COS9'-f-(ô''sin9sin9'-f- (OJ0'sin(9 -¥■ 9')

= 6^cos{<f -4- 9') 4-(£>'sîn(9 4-9'),

et qu'on peut mettre finalement sous la forme

Ct)((D — i) cos{<p -h 9') -+-{(©* -4- (D'^) sinç sinç'

-4- (©' ((ô — 1) sin( (p -I- <p' } = o.

Or, si l'on veut que cette équation ait lieu, quels que soient les angles <p et 9', il faudra que les coefficients qui multiplient les fonctions de ces deux quantités soient nuls, ce qui s'obtiendra en posant

De la première condition, il résulte que, le directif (d devant être égal à i, la loi en .question ne peut exister que pour des plans passant par l'axe des x. D'un autre côté, la seconde condiiion exige que CD" soit'égal à — i, ce qui ne se réalise, ainsi

que nous l'avons vu, que pour les valeurs y — i et y — ' de &. Cette analyse met donc complètement à jour les raisons pour lesquelles la loi dont il s'agit s'applique aux deux plans des xy et des xz^ et elle nous fait voir en même temps par suite de quelles circonstances algébriques elle ne saurait convenir à d'autres plans que ceux-là.

La considération sur laquelle nous venons de nous appuyer, et de laquelle il résulte qu'une direction quelconque OC peut toujours être rapportée à une direction donnée OD {voir la figure précédente), lorsqu'on connaît d'ailleurs l'angle 9 qu'elles font entre elles, mérite une attention particulière, parce qu'elle se reproduira souvent dans nos recherches : elle soulève l'importante question de mener dans l'espace une perpendiculaire à une droite donnée.

On remarquera à ce sujet que dans l'expression

(DCOS9 -f- OO'sino,

qui a fîguré dans le précédent article, le coefGcient O qui multiplie C0S9 est le directif de OD, et doit par conséquent

être toujours considéré comme connu, puisque OD est une direction complètement et explicitement définie. Quant à (D% sa détermination résulte de ce que la direction qu'il représente est perpendiculaire à OD et qu'elle est située dans le plan OCD; mais sa valeur n'est pas immédiatement exprimée comme l'esl celle de Q, et, pour l'obtenir, il est nécessaire d'effectuer certains calculs. Nous nous expliquerons plus tard sur l'indication générale de ceux-ci. Pour le* moment nous simplifierons la question en supposant que la droite OD, au lieu d'être quelconque, se trouve située dans le plan des xy.

Le problème que nous nous proposons de résoudre consiste donc à déterminer la direction d'une droite perpendiculaire à une autre droite tracée sur ce dernier plan des coordonnées.

Ce problème est, comme on sait, susceptible d'une Infinité de solutions. Si, en effet, au point de vue géométrique, on fait passer par l'origine un plan perpendiculaire à la droite donnée, toute droite située dans ce plan sera perpendiculaire à la proposée. Il est donc nécessaire, si Ton veut que la question soit déterminée, de s'imposer une nouvelle condition.

A cet effet, nous supposerons que par la droite donnée on mène un plan faisant un angle A avec celui des xy et nous déterminerons celle des perpendiculaires qui se trouve située dans ce plan.

Si 0 est l'angle que fait la droite donnée avec l'axe des x^ la direction de cette droite sera

cosS -h v^— 1 sinô.

Quant à sa perpendiculaire, dans le plan considéré, sa latitude sera évidemment l'angle A, et sa longitude sera celle de sa projection sur le plan xy. Or, cette projection étant dans ce dernier plan perpendiculaire à la droite donnée, il en résulte

que la longitude cherchée aura pour valeur l'angle d + -• De

ces déterminations on conclut que la direction de la perpendiculaire ci-dessus définie sera

cosaI cos(0 4- ^I 4- v^^slnf (? + - j U- /^ ''sinA,

expression qui prend la forme

cosA(— sinO + |/— I COS0) -f- /^^ sInA.

Si, au lieu de se irouver dans le plan des xy^ la droite don« née élail située sur celui des xz^ sa direction serait représentée par une expression de la forme

. / — ^ • cosTî-hy — I smyj,

dans laquelle y? est l'angle que fait la droite avec l'axe des x. Faisant passer par cette droite un plan quelconque et B élant l'angle de ce plan avec celui des xzy la perpendiculaire con*tenue dans ce plan aura pour latitude rapportée aux xz l'angle B ; le sinus de cette latitude aura d'ailleurs une direc* tion parallèle à Taxe des y. Quant à la longitude» ce sera celle de la projection de la perpendiculaire sur le plan des xz. Or, cette projection étant & son tour perpendiculaire à la droite donnée, il en résulte que la longitude cherchée aura pour

valeur y? + - • La direction de la perpendiculaire en question

sera d'après cela

cosB cosf Vî -h -W v^— I "'sinf.yî -h- j 1-4- y^^sinB,

expression qui prend la forme

cosB ( — sinrî -4- ^ — I cos>î/-4- sj-^i sinB.

Enfln, si la droite donnée est située sur le plan des yz^ et si V est l'angle fait avec l'axe des/, sa direction sera

y— t cosv -4- v-^' sinv.

Faisant passer par cette droite un plan et C étant l'angle de ce plan avec celui des 7*2, la perpendiculaire à la droite dans ce plan aura, par rapport aux ^2, une latitude égale à C et dont le sinus sera parallèle à l'axe des x. Quant à sa longitude, ce sera celle de sa projection sur le plan des yz^ et, comme cette projection est perpendiculaire à la droite donnée, il s'ensuit

que la longitude cherchée aura pour valeur v + -• En conséquence la direction de la perpendiculaire en question sera

coscfv^^cosf V -»- ^) -4- V'^^ sin ^v -f- ^)1 -h sinC, expression qui prend la forme

cosC V — \f^ sin V -4- yf^ ' cosv j + sin C.

Telles sont les formules a Taîde desquelles on pourra déterminer les directions des perpendiculaires à des droites situées sur un quelconque des plans des coordonnées.

Nous verrons plus tard, lorsque nous nous occuperons des directions qui concernent les plans, que ceci nous donnera les moyens d'écrire l'expression de la direction de plans perpendiculaires à des droites tracées sur les plans des xy^ des xz et des yz.

Les solutions des problèmes qu'on peut se proposer sur les directions des droites sont, comme on sait, singulièrement facilitées par la considération de plans passant par ces droites ou faisant avec elles certains angles déterminés* Pour peu qu'on se soit occupé des questions de la Géométrie de l'espace, on a pu se convaincre de la vérité que nous venons d'énoncer. C'est par ce motif que nous reporterons l'exposé des recherches que nous avons à présenter à ce sujet après celui qui concerne la détermination des directions des plans. Il ne faudrait pas croire toutefois que, sans ces auxiliaires, les problèmes soient insolubles ; seulement les développements qu'ils exigent alors sont plus compliqués. Nous n'y insisterons donc pas en ce moment ; mais, pour donner une idée des moyens & mettre en œuvre avec les seules ressources qui sont actuellement à notre disposition, nous traiterons une des plus importantes questions qu'on puisse se proposer au sujet

des directions des droites considérées dans Tespace, celle qui consiste à déterminer l*angle de deux droites.

Nous supposerons que ces deux droites passent par Torigine 0 et qu'elles percent la sphère unité aux points P et P'. I^ figure étant très-simple, nous pouvons nous dispenser de la tracer: ix et j3 seront la longitude et la latitude de la première droite, a! et (3' la longitude et la latitude de la seconde.

Cela posé, si Ton joint le point P avec le point P', on pourra

écrire

OF dirigé + PP' dirigé = OP dirigé,

condition que nous mettrons sous la forme

OP dirigé — OP' dirigé = PP' dirigé,

et dans laquelle tout est connu dans le premier membre*

Si maintenant on remarque que OP et OP' sont égaux à l'unité et si Ton désigne par iq et Ua longitude et la latitude de PP', cette équation deviendra

cos(3(cosa-h^^^sina)-+- v^^ sin^

— cosP'(cosa' -h v^— isina') — v^^^ * sin^'

= PP'[cosÇ(cosyî -f-v'— 'sinyî)-4-v^^ sinJ^J.

De là on déduit, en égalant respectivement le*réel au réel et les imaginaires aux Imaginaires, les trois équations de condition suivantes :

cos(3 cosa — cos(3' cosa' = PP'cosÇ cosïî, cosp sina — cos^' sin «' = PP'cosÇ slnyï, slnp — sinP'=PP'sinÇ.

Prenant la somme des carrés de ces trois équations, il vient

2— a[cos(3cos(î'(cosacosa'H-slnasina')-hsin(3sin(î']=(PF)%

et plus simplement

2 — 2 [cosp cosP' cos(a — a') -4- sinp sin(3'] = (PP')» ;

mais, si dans le triangle OPP' on désigne par cp Tangle en O

qui est précisément celui des deux droites» et si l'on ne perd pas de vue que OP et OP' sont chacun égaux à l'unité, il est connu qu'on aura