C0S9 = (PP

comparant cette équation avec la précédente, on en déduit immédiatement

cos<p = cos(3 cosji' cos(a — a') -+- sin(3 sin(3':

telle est, en fonction des données, la valeur du cosinus de l'angle cherché.

Cette analyse nous donne les moyens non-seulement d'évaluer l'angle de deux droites, mais en outre de connaître le directif de PP', c'est-à-dire d'une corde quelconque de la sphère dont les extrémités P et P' sont données.

La connaissance de ce directif dépend, en effet, de la détermination de K et de n. Or la dernière des trois équations de condition donne immédiatement

. ^ sinfi — sinS'

mais nous venons de voir que PP' est égal à y^a — 2 COS9; il

viendra donc

. ^ sinô — sînû' sinÇ= ^ Lm

y/2 —2 COSCp

et il ne s'agira plus que de remplacer cosf dans cette expression par la valeur ci-dessus, pour obtenir sin^ en fonction des données p, p', a, a'.

Quant au cosinus du même angle, il sera donné par la formule

^ ^ / (sinp -sin(3S' cosÇ = \/ I— ^ — ^^

Faisant maintenant usage de cette valeur de cosÇ, dans les deux premières équations de condition, celles-ci donnent pour

cosiQ et sinT), après avoir remplacé PP' par Va — 2Cos(p , savoir :

oosôcosa — oosS'cosa' C0S7Î =

v/2-- 2cos(p — (sinp — sin^')»

oosôsina — cosS'sîna' sinyj = ^ ^ —

^2 — 2 cos<p — (sinjâ — siii^')*

On peut faî re disparaître f de ces expressions et les obtenir, ainsi qu*il suit» en fonction des seules données de la question :

cos S cos a — cos S' cos a'

COSn == r r

sinyj =

^cos'p -h cos'j3' — 2 cos(3 cosP' cos(ûk — a' )

cos ^ si n a — cos(3'sina' Vcos*p -f- cos^ji'— 2COSJ3 cos^'cos(a — a')

Les autres questions très-diverses qu'on peut se proposer sur les directions des droites seront traitées avec tout le développement qu'elles comportent, lorsque, après nous être expliqué sur les directions des plans, nous procéderons aux études qui ont pour objet la combinaison de l'élément continu de la longueur avec celui de sa direction, ce qui embrasse évidemment tous les cas possibles de la Géométrie.