CHAPITRE II. a

accrédités^ comme ils sont acceptés par tous ceux qui font de Talgèbre^ nous voulons rechercher quel peut être le rôle de rimaginaire dans la science telle qu'elle est comprise et pratiquée^et non dans une science, mieux constituée peut-être, mais qui ne serait pas celle que tout le monde admet aujourd'hui.

En conséquence ; que les principes algébriques soient des "vérilés établies, qu'ils soient des axiomes, qu'ils méritent même les reproches adressés à certains raisonnements, nous ne discuterons pas actuellement sur ces points. Nous nous en tiendrons seulement aux conséquences qui font autorité, et qu'on ne pourrait méconnaître sans se mettre en dehors de l'algèbre même.

C'est dans ces conditions que nous allons rechercher s'il est possible d'avoir sur les expressions imaginaires des notions plus précises que celles que nous possédons aujourd'hui; après quoi nous dirons quelle doit être Tinfluence de ces recherches sur l'état de nos conceptions scieniiflques.

Quelle idée doit-on se faire de l'expression y^^ ? De quelle nature sont les propriétés que cette expression peut faire acquérir aux nombres réels avec lesquels elle est associée ? C'est ce que nous nous proposons de rechercher.

^après les définitions usuelles et admises dans la science, V~i est une expression qui, élevée au carré, doit donner pour résultat — i. Or, comme en ce qui concerne la grandeur il n'y a que le nombre i qui, élevé à une puissance quelconque, puisse produire Tunité, nous voyons que ce n'est pas en dehors de l'unité que nous devons chercher la solution du problème. D'ailleurs, au point de vue le plus général de la science des nombres réels, l'unité, en tant qu'elle doit rester elle-même comme grandeur, ne peut recevoir d'autre modification d'état que celle résultant de Tinlervenlion des signes + et — ; mais l'un et l'autre élevé au carré donnent 4- 1 , nous sommes dès lors obligé de conclure qu'il n'existe rien, dans le domaine du réel abstrait, dont l'élévation au carré puisse produire l'unité négative.

Nous devons en conséquence reconnaître que V--ï est inexécutable, qu'il n'y a aucune expression en algèbre qui soit sus*

12 DBS F0&IIS8 IHAGINAIBES.

ceptible de représenter le résultat de Topération qui consiste à extraire la racine carrée de — i. C'est pour cela qu'à cette expression, qui ne saurait avoir de représentation dans la science du réel» on a donné le nom d'imaginaire; et^ ne pouvant ainsi lui attribuer aucune traduction, aucun équivalent algébrique, on Ta laissé subsister dans la forme même suivant laquelle se révèle son existence; de sorte que, lorsque volontairement ou involontairement il doit être question d'elle dans le calcul, on lui donne pour représontnnt l'indice même de l'impossibilité de sa réalisation, on écrit V--ï^

Mais on peut et on doit remarquer que tout n'est pas également impossible ou imaginaire dans cette expression.

Enefiret,j'yvoisd'abord l'unité; or nous avons tousuneparfaite intelligence de l'unité, soit qu'on la considère comme nombre, soit qu'on la considère comme étalon de la mesure des grandeurs. J'y vois ensuite le signe de la soustraction accompagnant cette unité : mais les géomètres, sauf un très-petit nombre d'opposants, savent que ce n'est pas là, tant s'en faut, un signe absolu et radical dimpossibilité. Ce n'est que lorsqu'à celte combinaison très-intelligible du nombre ou de la grandeur avec l'opération soustractive je veux appliquer l'opération radicale, que rincertitude vient assiéger l'esprit, que l'impossibilité se manifeste, que l'imaginaire parait. Il n'y a donc ici d'imaginaire qu'une opération et non une grandeur; celle-ci continue de subsister dans sa réalité, elle ne cesse pas d'être comprise, même avec son attribut négatif; mais ce qu'on ne comprend pas, cequi vient arrêter les ressorts de Tintelligence, c'est l'extraction de la racinecarréeappliquée à la combinaison de la grandeur avec le signe de la soustraction. Aussi serait-il beaucoup plus rationnel, pour représenter l'imaginaire, de se borner à l'expression de l'opération impossible^ d'écrire ^^ au lieu de yj^i ; de même que pour représenter l'état négatif on n'écrit pas — i x A, mais simplement — A.

On verrait clairement par ce moyen que l'idée de grandeur n'a rien à faire ici, et que la seule chose qui soit imaginaire, c'est une opération.

11 n'y a donc pas de grandeurs imaginaires ; il ne saurait dépendre de l'algèbre que ce qui existe réellement doive être relégué dans le monde des fictions. Hais il peut arriver quelque-