CHAPITRE II

fois que^ pour résoudre certaines questions, la nature des opérations qu'il faudrait exécuter sur des quantités très- réelles soit telle que l'algèbre n'a aucun moyen de nous indiquer le résultat de ces opérations, et qu'elle doit se borner à nous en faire connaître les indices. Ce n'est pas au delà de cette impuissance qu'il faut chercher à élendre le sens du mot imaginaire. Telle est la seule conclusion raisonnable que puisse autoriser l'analyse que nous venons de faire de ce qu'il faut réellement voirdans le signehabituellementemployépourreprésenter l'imaginarité. Mais l'usage l'emporte en toutes choses, et si nous avons nous-même recours à l'expression de grandeur ou de quantité imaginaire, il devra toujours être entendu que ces quantités restent réelles, qu'elles sont ce que leur nature leur permet d'êlre, mais qu'alors elles se trouvent soumises à des opérations dont Falgèbre fait connaître la nature, mais dont elle ne saurait, dans son langage, énoncer des conséquences.

Si les choses no devaient pas être comprises suivant Tordre d'idées que nous venons de développer, n'est-il pas évident que, dès l'instant que l'imaginarité se manifeste, il faudrait cesser tout calcul? On ne comprendrait pas en effet ce que pourraient produire les procédés du mécanisme algébrique apphqués, quel que fût leur nombre et leur variété, à des choses auxquelles Tesprit refuse toute raison d'exisler.

Mais s'il n'y a pas de grandeurs imaginaires, si l'idée de grandeur doit toujours élre subsistante dans l'esprit, s'il y a seulement des opérations impossibles, mais d'ailleurs définies dans leur mode d'impossibilité, on peut espérer que, dans le cours ultérieur des calculs, il se présentera d'autres opérations inverses des premières, anéantissant celle-ci et nous débarrassant désormais de la nécessité de les prendre en considération. Les recherches pourront donc continuer sur les grandeurs qui n'auront pas disparu, quoique frappées d'un sigue d'opération impossible, et conduire à des résultats après lesquels il aurait été certainement déraisonnable de courir si ces grandeurs étaient devenues de fantastiques idéalités.

Qu'on nous permette quelques comparaisons. Parce qu'un

nœud fait à une corde empêche celle-ci de nous rendre certains services, on ne sera certainement pas autorisé à prétendre que cette corde est devenue imaginaire ; parce qu^un engourdissement viendra suspendre Tusaged'un de nos membres^ ce membre ne sera pas pour cela réputé imaginaire. Or de même qu'en pratiquant sur le nœud certaines opérations^ je pourrai parvenir à le faire disparaître, et qu'en agissant sur l'engourdissement, il me sera possible de rendre au membre malade, sinon la totalité, du moins une partie de ses fonctions, de même il y a telles opérations en algèbre susceptibles de débarrasser les quantités réelles de l'obstacle imaginaire qui momentanément les paralyse^ et de nous donner, après cette élimination, la connaissance d'utiles rapports qui lient entre elles ces quantités.

En se plaçant à ce point de vue, on conçoit sans peine qu'il n'y a rien d'illogique à ne pas s'arrêter dans les calculs dès que l'imaginarité se manifeste; et, non-seulement les études théoriques sur les expressions compliquées d'imaginaires se justifient, mais on est conduit à penser que les géomètres qui s'en sont occupés auraient pu les étendre et les compléter avec plus de fruit, s'ils n'avaient pas été arrêtés quelquefois par la pensée que l'utilité de leurs travaux, sans être complètement déniée^ pouvait à bon droit être suspectée par les autres : et qui sait si, dans certains moments, elle ne Ta pas été par euxmêmes ?

Complétant nos idées à cet égard, nous ferons remarquer que quand on a obtenu le nombre^ ou, pour mieux dire, l'expression algébrique qui satisfait à une question, tout n*est pas fini. Il faut encore mettre ce résultat en œuvre ; or il peut fort bien arriver, ainsi que nous l'avons déjà dit, qu'il soit nécessaire pour cela d'exécuter certaines opérations, qui> étant précisément inverses de celles que nous ne pouvons exécuter, font disparaître celles-ci et nous ramènent par conséquent dans l'ordre des choses possibles où nous pourrons trouver quelque utile indication.

Ce que nous disons ici n'est pas une vaine supposition. Admettons., par exemple, qu'on se soit proposé de chercher quel