CHAPITRE TROISIÈME

REPRÉSENTATION ALGÉBRIQUE DES DIRECTIONS POUR LES PLANS. — RAPPORTS DES PLANS, SOIT ENTRE EUX, SOIT AVEC DBS DROITES, AU POINT DE VUE DIREGTIF.

SoMMAiaE. — XLI. Nécessité de se rendre compte des moyens géométrique» à l'aide desquels on procède à la détermination des plans. Eiemple» di««n et discussions y relatives. ~ XLII. Indication des principes à VtAâ» desquels il a été possible d'établir des analogies et des équifalenoea «Dire la Géométrie et l'Algèbre, en ce qui concerne les directions des divites. Conditions auxquelles devront satisfaire ces équivalences, si elles existent, pour ce qui est relatif à l'élément directif des plans. ~ XLIIK Détermination de l'équivalent algébrique de la direction des plans qui passent par les axes. — XUV. Intersection de ces plans avec le plan dcc coordonnées auquel ils sont perpendiculaires. Intersection de deux plans passant par deux axes différents. Double forme sous laquelle se présente le directif de cette intersection. Identité de ces deux formée. — XLV. Directifs des plans perpendiculaires aux plans des coordonnées ou perpendiculaires à une droite tracée sur l'un des plans des coordonnées. Les correspondances géométriques qui existent entre ces deux catégories de plans et celle dont il a été question à l'article Xl^lII se reproduisent exactement en Algèbre. — XLVI. Directifs des plans passant par une droite tracée sur le plan des aj et qui font stcc ce plan un angle donné. — XLVII. Intersections de ces plans avec ceux des coordonnées. Nouvelles concordances remarquables entre les faits géométriques et les principes «analytiques. — XLVUI. Directifs des plans passant: |0 par une droite tracée sur le plan des xz et faisant avec ce plan un angle donné ; 2^ par une droite tracée sur le plan des j^z et faisant avec ce plan un angle donné. — XLIX. Détermination des angles A, B, C que fait un plan donné avec les trois plans des coordonnées. ^ L. Vérification des formules précédentes et usage des valeurs de A, B, C pour obtenir le directif d'une perpendiculaire à un plan. — LI. Détermination du directif de l'intersection de deux plans. — LU. Concordances entre les formules déduites des principes directifs et celles qui, d'après les seules considérations géométriques, constituent la théorie complète de la Trigonométrie sphérique. — LUI. Détermination de l'angle formé par l'intersection de deux plans. — LIV. Directif d'un plan faisant avec un autre plan un angle donné. Examen du cas particulier où cet angle est droit. — LV. Conditions auxquelles doit satisfaire une droite pour être contenue dans un plan donné. •— LVI. Conditions auxquelles doit satisfaire un plan pour passer par une droite donnée. — LVIi. Détermination de l'angle que fait nn plan avec une droite donnée. ~

LYIII. Expression du directif d'un plan passant par doux droites données. — LIX. Examen des cas particuliers où les deux droites sont deux des axes des coordonnées. — LX. Limites entre lesquelles nous devons maintenir les 'présentes recherches. Grande rationnalité de la méthode directive. Supériorité de sa puissance productive sur celle des procédés ordinaires d'investigation.

Avant de procéder à la recherche des rapports qui» en ce qui concerne les plans, peuvent exister entre les deux sciences de rétendue et du calcul, il est indispensable de se rendre un compte exact des moyens géométriques à l'aide desquels on procède à la détermination des plans. Quand ces moyens seront connus et bien compris, il sera plus facile, d*abord, de s'assurer si des relations peuvent à cet égard exister. entre la Géométrie et l'Algèbre, et en second lieu de déterminer, au cas où elles existeraient en effet, quelle en doit être la nature et quelle en sera l'expression.

On sait qu'au point de vue géométrique tpois conditions sont nécessaires pour fixer invariablement la position d'un plan. Ces conditions consisteront, par exemple, dans la fixation de trois points par lesquels le plan devra passer, ou bien dans celle de deux droites qui se coupent, ou encore dans la détermination d*une droite et d'un point qui seront contenus l'un et l'autre dans le plan en question, \)u enfin à l'aide de toute autre combinaison équivalente.

La constatation de l'équivalence, que nous mentionnons ici, doit toujours être soigneusement faite, de manière qu'on soit toujours bien certain que les conditions données sont au nombre de trois et qu'elles ne sont ni inférieures ni supérieures à ce nombre ; car, dans la première de ces deux circonstances, la position du plan serait toujours indéterminée, et dans la seconde elle serait le plus souvent impossible.

Si, par exemple, les trois points donnés étaient situés sur une même droite, tout plan passant par celte droite contiendrait les trois points, et par conséquent le problème serait indéterminé* Cela résulte de ce que les conditions sont alors

réduites aux deux seulement qui sont nécessaires pour la fixa* tion d'une droite. Si> au contraire, on voulait que le plan passât par deux droites données» comme la fixation de chaque droite exige deux points, on voit qu'il faudrait satisfaire à quatre conditions, ce qui est généralement impossible ; mais, lorsque les droites se coupent, ces conditions se réduisent à trois, parce que, le point d'intersection étant donné, il n'en faut plus connaître qu'un nouveau pour fixer la position de chaque droite. C'est ce qui arrive encore lorsque les deux droites sont assujetties à la condition d'être parallèles, parce qu'alors, l'une des droites étant déterminée par deux points, il n'en faut plus qu'un pour fixer sa parallèle.

Dans les divers exemples que nous venons de passer en revue^ la détermination du plan se fait, soit par des points, soit par des droites, soit par la combinaison des uns avec les autres ; mais on peut aussi faire intervenir pour cette détermination la considération d'autres plans et d'angles, et associer ceux-ci avec tout ou partie des éléments ci-dessus indiqués.

Par exemple» une droite étant tracée sur un plan donné, on peut assujettir un plan à passer par cette droite et à faire avec le plan donné un certain angle f • Il est facile de se convaincre qu'un tel énoncé n'impose ni plus ni moins que trois conditions et qu'il se ramène au cas dans lequel un plan est déterminé par deux droites qui se coupent. En effet, si par un point quelconque A de la droite on mène un plan perpendiculaire à cette droite, ce plan coupera le plan donné suivant une ligne qui sera l'un des côtés de l'angle f , l'autre côté de cet angle sera une droite dont la situation se trouve invariablement fixée par la valeur de 9 et qui, sous peine de ne pas satisfaire aux conditions de l'énoncé, doit être contenue dans le plan cherché ; la question est donc ramenée à faire passer un plan par deux droites qui se coupent au point A.

Hais, si le plan donné ne contenait pas la droite donnée. Il ne serait pas certain que le problème fût toujours possible. Pour nous éclairer à ce sujet, appelons R le point de rencontre de la droite et du plan ; par ce point, menons au plan une perpendiculaire, et considérons cette perpendiculaire comme j'axe d'une surface conique dont le sommet est en R et dont

Tangle générateur est le complément de l'angle <p. Comme le point R est sur la droite donnée, le plan cherché doit passer par ce point ; d'ailleurs ce dernier plan ne peut Taire un angle 9 avec le plan donné qu'à la condition d'être tangent a la surface conique ci-dessus. Cela posé, par rapport à ce cône, la droite pourra être dans trois situations difiérentes, savoir: elle sera ou extérieure au cône ou Intérieure, ou bien elle se confondra avec une de ses génératrices. Dans le premier cas, le problème sera résolu à l'aide d'un plan passant par cette droite et tangent au cône : on voit même qu'il y aura deux solutions ; dans le dernier cas, ces deux solutions se réduiront à une. On voit d'ailleurs que, dans ces deux circonstances, la question est ramenée à faire passer un plan par deux droites qui se coupent au point R; mais, lorsque la droite donnée se trouvera Intérieure au cône, tout plan passant par elle étant nécessairement sécant à ce cône, il n'y aura pas de solution possible. Nous ne pousserons pas plus loin l'examen de ces considérations, qui sont purement géométriques et que le lecteur pourra développer à loisir ; mais nous avons dû appeler l'attention sur ce sujet, afin qu'on ne perde pas de vue que, dans les recherches qui ont pour objet de déterminer les rapports qui peuvent exister entre deux sciences, il faut toujours s'éclairer au préalable sur les principes et sur les facultés qui font partie du domaine individuel de chacune de ces sciences. Ce n'est qu'après que cette connaissance est bien acquise qu'on est en mesure de se prononcer sur les relations et les équivalences qui peuvent exister de l'une à l'autre. Telle est la voie dans laquelle nous sommes entré dès le début de nos études sur les rapports de la Géométrie et de l'Algèbre et que nous allons continuer de poursuivre dans Texposé suivant, qui a pour objet tout ce qui se rattache à la direction des plans.

En ce qui concerne les droites, l'idée que nous nous faisons de la direction est inséparable de l'idée d'unité. La constitution de ces sortes de lignes est telle, en effet, que nous ne

pouvons les concevoir que sous la condition que l'élément directif y reste le même pour tous les points : l'élément continu seul, la longueur, y change lorsqu'on passe d'un point à un autre; mais le caractère essentiel de la droite, au point de vue de la direction, est l'invariabilité.

Il Tallait donc, pour que rAlgèbre fût apte à représenter la droite telle que la constituent les conceptions géométriques, qu'il se trouvât dans cette sclervjce une expression propre à convenir à tous les points d'une droite. C'est ce qui existe, en effet, et ce qui, en particulier, est d'une détermination trèsfacile quand on ne sort pas du plan. Ayant pris, en effet, un point quelconque P sur une droite passant par l'origine 0, et ayant abaissé de ce point unç perpendiculaire PA sur la ligne de base, le chemin dirige OP est géométriquement équivalent à la

somme des chemins OA + /^PA, somme qui peut s'écrire