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principes qui régissent les perpendicularités, le chemin dirigé OP sera égal à
OB-hv'-i AB-hV^^ PA;
mais les deux premiers termes peuvent s'écrire
0A(°S^/r7jîi
AB\ OAJ'
Texpression ci-dessus de OP dirigé devient donc
^,/OB , — AB\ I — v^r.
et ceile^i à son tour prend la forme
Or tous les rapports contenus dans le second facteur restant constants, quel que soit le point P qu'on aura choisi sur la droite» ce facteur jouit du privilège d'être immuable, et devient ainsi le représentant naturel de ce qu'il y a d'Invariable dans la droite, c'est-à-dire de sa direction. Quant au premier facteur OP, c'est l'élément continu, et celui-ci change, comme cela doit être, lorsqu'on passe d'un point à un autre.
Hais, si de la droite on passe au plan, les considérations géotnétriques qui se rattachent aux directions subissent de profondes modifications. Tandis qu'en chaque point de la droite l'idée de la direction est unique, il n'en est pas de même sur le plan, puisque, par chacun de ses points, nous concevons qu'on peut faire passer une infinité de droites et que ces droites sont très-diversement dirigées. Il faudra donc,
s*il existe en Algèbre une expression susceptible de nous donner l'idée et la mesure de ce qui se passe sur le plan, au point de vue directif, que cette expression jouisse de la propriété de convenir à la fois à toutes les directions des droites qui» passant par un même point du plan» sont contenues dans ce plan. De là résulte la nécessité que» dans cette expression, figure un élément variable comme le sont les directions de toutes ces droites ; mais en même temps, comme ces droites, quoique en nombre infini, ne sont pas quelconques, comme elles sont assujetties à être toutes contenues dans le plan considéré, il faudra qu'il se trouve dans l'expression en question un élément fixe propre à réaliser la condition en vertu de laquelle il n'y aura de directions acceptables que celles des droites qui ne sortent pas du plan. Ce n'est évidemment que lorsqu'on sera parvenu à soumettre une expression algébrique à cette double condition de constance d'une part, de variabilité de Tautre, que cette expression pourra devenir le représentant analytique des faits naturels en vertu desquels la conception géométrique du plan nous est acquise.
Quelque compliqué que paraisse ce programme au premier abord, on va voir que, non-seulement il n'est pas impossible d'y satisfaire, mais que sa réalisation peut s'obtenir sans difficulté.
Toutefois, pour aller du simple au composé, nous nous occuperons d'abord d'une catégorie de plans spécialisée par la condition qu'ils sont assujettis à passer par l'un des trois axes des coordonnées. Dans les articles suivants nous donnons l'exposé de ces premières recherches.
Nous supposerons d'abord que l'axe choisi est celui des Xn Un plan passant par cet axe est complètement défini en Géométrie, lorsqu'on connaît l'angle qu'il fait avec le plan des xy. Cet angle, d'après les notations admises à l'article XXIX, est représenté par le symbole (^Y).
Par un point quelconque du plan, menons une droite assu-
jeiiie à la seule condition d'être contenue dans le plan. Cette droite coupera l'axe des x et Tera avec lui un certain angle (X). Le directif de cette droite sera le même que celui d'une parallèle qu'on lui mènera par l'origine, et cette parallèle sera à son tour contenue dans le plan. Or nous avons vu à Tarticle XXX que, dans les conditions que nous venons de défi* nir, le directif, tant de la droite que de sa parallèle, a pour valeur '
cosX -H Lv^^ cos( j:Y) + v/^^ sin(:pY)] sinX.
Dans cette expression, l'élément (^Y) est invariable, puisque c'est lui qui définit et fixe la position du plan ; mais l'élément X changera suivant le choix qu'on aura Tait pour la droite, et l'on voit qu'il pourra recevoir toutes les valeurs comprises depuis zéro jusqu'à 27r; mais, dans tout le cours de ces variations, les droites successives, dont l'expression ci-dessus représente le directif, ne cesseront pas d'être contenues dans le plan. 11 résulte de là que cette expression, par la variation de X, convient à l'ensemble des droites qu'on peut mener par un point quelconque du plan et qui sont situées sur ce pian. Elle est donc, en ce qui concerne les directions, la reproduction complète de la propriété constitutive du plan en Géométrie, et, par suite, elle en est l'exacte représentation en Algèbre.
£n conséquence, l'expression ci-dessus, dans laquelle (orY) est constant et X variable de zéro à 271, est le directif du plan.
On peut soumettre ce résultat à quelques vérifications. Chaque fois qu'on donnera à X une valeur fixe, l'expression directive ci-dessus deviendra celle d'une droite. Si, par exemple, on suppose que X est nul, la droite en question s'applique sur Taxe des x. En effet, pour X = o, l'expression
se réduit à + i. Si l'on donne à X la valeur -9 la droite vient
se placer dans le plan des xy^ et l'angle qu'elle y fait avec l'axe des y est précisément celui du plan donné. En effet,
l'bypolhèse X = - ramène l'expression ci-dessus a la forme
v'^cos(xY) + v'^^~'sîn(«Y),
qui convient exactement aux conditions que nous venons de définir.
Lorsque» au lieu de passer par l'axe des x^ le plan donné passe par celui des/, si Ton appelle (t'X) l'angle que fait ce plan avec celui des xy et si l'on désigne par Y celui que fait une droite quelconque qui y est située avec l'axe des y, le directif de cette droite sera
V^ cos Y 4- [cos(/X) 4- V^^"' 8in(rX)] sia Y,
et, en appliquant à ce cas des raisonnements analogues aux précédents, on arrivera à celte conclusion que celte expression, en y laissant (/X) constant et en y considérant Y variable de zéro à 27r, esl la représentation algébrique du direciif du plan«
Enfin, pour un plan passant par l'axe des z et faisant un angle (zH) avec celui des xZy le directif du plan sera
v/^ "'cosZ-f-[cos(zX)4- V---^sln(3X)] sinZ,
expression dans laquelle (^X) est constant et oii Z, qui représente l'angle que fait avec l'axe des z une droite quelconque située dans le plan, est variable de zéro i ar.
Dans le but de se familiariser avec l'emploi de ces nouvelles expressions, il est utile de présenter quelques observations sur les faits qui s'y rattachent le plus immédiatement.
Nous avons déjà constaté que, pour les plans passant par l'axe des :r, l'intersection avec le plan des yz a pour expression
V'~cos(a:Y) -+- V^^sin(j:Y).
On se convaincra, à l'aide de raisonnements analogues, que les plans passant par l'axe des j^ coupent celui des xz, suivant une droite dont le directif est
cos(rX)-f. v'^'^-'sinCrX).
qu'enfin les plans qui passent par Taxe des z coupent celui des xjr suivant une droite ayant pour directif
cos(^X) -4- v^— I sin(zX).
Ces diverses remarques ne présentent aucune difficulté.
Considérons maintenant deux plans passant, l'un par l'axe des X, l'autre par celui des y*, et proposons->nous de déterminer leur iniersection. Cette intersection sera une droite passant par l'origine, et son directif sera un cas particulier de chacun des directifs des deux plans.
Mais pour le premier plan la direction est exprimée par
cosX -4- [v'^cos( j?Y) -f- v^ ' sin(arY)J sinX; pour le second elle l'est par
V'— 1 cosY -f- [cos(jX) -h ^^ ' sin(jrX)J sinY.
Il faudra donc, pour Tintersection, que ces deux directifs soient égaux. De là résulteront des conditions à l'aide desquelles nous pourrons assigner les valeurs des angles X et Y •qui conviennent spécialement à cette intersection.
Ces conditions sont
cosX = cos(7X) sin Y, cos{arY) sinX = cosY, sln(^Y) sinX = sin ( jX) sin Y.
Comme à l'ordinaire, elles figurent au nombre de trois, mais nous savons déjà que l'une d'elles est comportée par les deux autres.
Divisant la dernière par la première, on a
^ sin(a?Y)
divisant ensuite la dernière par la seconde, on trouve
^ lang(j:Y) tengY= . 7 ^/' sin(jX)
On déduira de là les valeurs des sinus et cosinus de X et de Y en fonction de tangX et de tang Y.
En substituant ce qui concerne X dans la première des expressions ci-dessus, on aura pour le direciif de l'intersection
sin(arY) -t- [\f^cos{xY) -+- yC^^ sin(:gY)] tang(,rX) •
V'sin»(a?Y)-f-lang»(r'X.)
Sous cette forme» le directif porte l'empreinte du plan qui passe par Taxe des x.
Si maintenant on substitue dans la seconde ce qui concerne Y| le directif de la même Intersection sera
V^^sin(.rX)4-[cos(rX)-hv/^^sin(rX)]tanK(xY)
V^sinMrXl-^tang'lo^Y)
et Ton voit que, sous cette forme» l'expression porte Tempreinte du plan qui passe par l'axe des x*
Si l'angle (^Y) devenait droit» le premier plan se confondrait avec celui des xz, et l'intersection serait une droite située sur ce dernier plan faisant avec l'axe des x l'angle (/X). En effet» dans ce cas» le numérateur de la première expres-
■ ■ ^—l sion se réduit à i + v— i tang( jX) et le dénominateur devient ^i-htang'(7-X^ ou simplement — ^ ; par suite l'expression prend la forme voulue
cos(/X) 4- v'=^^sin(rX).
Dans la même hypothèse de l'angle (^Y) égal à un droit» il
faut que la seconde expression conduise exactement au même
résultat que la première. Or l'expression se présente déprime
abord sous la forme du rapport de. deux infinis ; mais» en y
remplaçant la tangente de (^Y) en fonction du sinus et du
sln(^Y) cosinus» le dénominateur se réduit à : — rr-; multipliant
cosIjtY)' '^
alors les deux termes de la fraction par cos(arY)» il reste pour le directif de l'intersection la même valeur que ci-dessus.
Si c'est l'angle (/X) qui devient droit» on vérifiera par des moyens analogues que, quelle que soit celle des deux exprès-
sions dont on voudra faire usage, la direcUon de l'iniersecUon devient, comme cela doit être, celle d'une droite située sur le plan ûesyz et faisant un angle (^Y) avec Taxe des y. . Si Ton combinait un plan passant par l'axe des x avec un autre passant par celui des i, ou deux plans passant Tun par l'axe des y, l'auire par celui des z, on obtiendrait les intersections par des procédés et des calculs en tout semblables à ceux qui viennent d'être exposés. Nous n'insistons pas davantage sur ces détails, au sujet desquels il sera très-facile au lec^ leur de s'éclairer par lui-même.
Ne manquons pas de faire remarquer» avant d'abandonner ce sujet, que si, dans les trois équations de condition ci-dessus» au lieu de prendre les valeurs de X et de Y en fonction de {xY) et de (/X), pour les substituer dans les directifs des deux plans, nous avions pris au contraire les valeurs des secondes quantités en fonction des premières et si nous avions fait les mêmes substitutions, nous aurions dû retomber sur le directif d'une droite faisant avec les axes des x et des jr les angles respectifs X et Y. Procédons à cette vériflcation.
La somme des carrés des deux dernières conditions donne
sin»X = cos»Y •+- sin'ljX) sin»Y,
d'où Ton déduit
. , „, Vsin'X — cos*Y
sm(/X) = :—^
^•^ ' smY
et, par suite,
, -.^ cosX cos(rX)= . ^] ^•^ ' sinY'
puis, prenant la somme des carrés des première et troisième conditions, on a
sin'Y = cos»X -f- sin»(x Y) sin»X.
De là on déduit les valeurs suivantes de sin(jrY] et cos( xYj:
. / vx i/sin»Y — cos"X , „, cosY
sin IxY) =^ r-v 9 cos(xY) = -t-^ •
^ ' sinX sinX
Substituant maintenant les sinus et cosinus de xY dans le
premier direcUf du plan» on trouve
cosX -4- /^cosY H- \J'-' I ' ^sin*Y — cos'X .
Substituant en second lieu les sinus et cosinus de ^X dans le second directif, il vient
cosX -h v/— I cosY -f- V— i v^sin'X — cos'Y.
Ces expressions, étant l'une et Tautre les représentants du directif de l'intersection, doivent être égales, et c'est ce qui a lieu, en effet» en vertu de la relation
sin» Y — cos*X = sin^X — cos» Y.
En outre, ce sont exactement les formes obtenues à l'article XXXI pour le directif d'une droite faisant l'angle X avec Taxe des x et l'angle Y avec Taxe des y. Il résulte bien de là que les concordances prévues sont en effet réalisées.
Les questions que nous venons de résoudre pour les plans contenant l'un des axes permettent d'apprécier et de mesurer tout ce qui concerne les plans qui, passant par l'origine, sont perpendiculaires aux plans des coordonnées. Il résulte, en effet, de cette perpendicularité qu'un plan de cette catégorie contient nécessairement Taxe qui est perpendiculaire au plan des coordonnées dont on s'occupe. On rentre donc dans le cas précédent, et il n'y aura plus qu'à chercher dans les données de la question la valeur des éléments qui figurent dans les expressions ci-dessus déterminées.
Par exemple, si la trace, avec le plan des xy^ d'un plan qui, passant par l'origine, est perpendiculaire à ce dernier, est définie par l'angle a qu'elle fait avec l'axe des x, cet angle sera précisément celui que fait le plan dont il s'agit avec celui des xz. Ce sera donc ce que, dans l'article précédent, nous avons appelé (^sX). Cela posé, si Z est l'angle que fait avec Taxe des z une direction quelconque tracée dans le plan en
question, cette direction sera exprimée par
V^^ cosZ -+- [cos ( « X ) -I- ^^ sîn (« X) ] sin Z,
et tel sera le directif du plan sous les conditions que i X y sera considéré comme constant et queZ y variera depuis zéro jusqu'à sTr.
Mais» d'un autre côté, si l'on appelle p la latitude d'une droite dont a est la longitude, cette droite, d'ailleurs contenue dans le plan considéré, aura pour directif
cosp(cos«-i-/^slna) -h ^f^ *sinp,
et telle sera l'expression de la direction du plan dans laquelle a sera constant et ^ variable de zéro à sti.
Or il est bien facile de reconnaître que ces deux expressions sont identiques, puisque, d'une part, a = jsX et que, d'autre part, l'angle ^ étant le complément de l'angle Z, on a les deux
égalités
cosp = sinZ, sinp = cosZ.
Il y a une autre catégorie de plans qui rentre également dans la première. Cette catégorie comprend ceux qui sont perpendiculaires à une droite tracée sur l'un des plans des coordonnées et qui passent par l'origine. Il est évident, en effet, que ces plans contiennent l'axe perpendiculaire au plan des coordonnées qu'on considère, de sorte que, comme précédemment, il n'y aura plus qu'à chercher, dans les données de la question, la valeur des éléments qu'il faudra introduire dans l'expression directive déjà déterminée.
Par exemple, si la droite donnée est située sur le plan des xy et fait avec l'axe des x un angle 9, une droite quelconque tracée sur le plan qui nous occupe, et dont A serait
la latitude, aura pour longitude constante Oh Sa direction
sera donc
cosaI cos(e 4- ^W v^~sin(0 -+- ^)1+ y'^'^'^sinA,
qui se réduit à la forme
cosA (— sinô -+- v^~ COS0) -i- V~i^ ' sinA,
comme nous Tavons trouvé à Tarticle XXXIX. Celle expression sera donc le direcUrdu plan, en y supposant 9 constant et A variable de zéro à air.
Mais, d'un autre côté, si {zX) est l'angle du plan considéré avec celui des xz, et si Ton appelle Z Tangle que fait une droite quelconque, située dans ce plan, avec Taxe des z, le directif du plan devra être
y/~ ' cosZ H- [cos(aX) -f- ^^s\n{z\)] sinZ,
dans lequel z\ est constant et Z variable de zéro a 2ir. Il faudra donc que celte expression soit identique avec la précédente. C'est ce qui a lieu en effet, puisque, d'une part, (^X)
est évidemment égal à 0 + -^||f.que, d'autre part, Z étant le
complément de A, on a les deux égalités
cosZ = sin A, sinZ = cosA.
Il y a donc concordance entre les divers points de vue auxquels on peut se placer dans l'examen de ces questions.
Généralisons maintenant le problème, et supposons que le plan considéré, au lieu de passer par l'un des axes et d'être, par conséquent, assujetti à être perpendiculaire à l'un des plans des coordonnées, passe par une droite quelconque, issue de l'origine, tracée sur l'un de ces plans, et fait avec celui-ci un certain angle.
Nous admettrons, par exemple, que la droite donnée est située sur le plan des xjr(fig. 6) et que, 0 étant Torigine, elle y est figurée par OD. Celte droite représentera sur ce plan la trace du plan cherché. Supposons ce dernier plan construit, et menons-y une droite quelconque, faisant avec OD un
angle <p, et coupani la sphère unité au point P. De ce point, abaissons une perpendiculaire PA sur OD. Si Ton désigne
FIg. 6.
par (D le directif de OA, par 6^' celui de PA, la direction de la droite OP sera exprimée par
(D.OA -f-(D'.PA, ou par (D.cosç H-CÛ'sinç.
Dans cette expression, quel que soit 9, mais sous la condition que OP est située sur le plan cherché, (D et (D' sont constants; car CD est le directif de la droite fixe OD et dd' est celui d'une longueur qui, quel que soit le point P, reste toujours parallèle à elle-même. Les valeurs de ces deux constantes dépendront uniquement des données de la question ; il n'y aura que 9 qui variera avec la position de la droite choisie, depuis zéro jusqu'à stt.
Il suit de là qu'à l'aide de la variation de f cette exprès* sion convient à toutes les droites qui, partant de Torigine, sont situées sur le plan considéré et qu'elle est, par conséquent, le directif de ce plan. Nous n'avons donc plus qu'à lui donner sa forme définitive par l'introduction des valeurs de (D et de (£)', telles qu'elles résultent des données de la question.
En ce qui concerne 00, si l'on désigne par ex l'angle que fait OD avec l'axe des Xy sa valeur sera
cos« -h v^— I sina.
Quant à &, la détermination de cette direction a été faite à l'article XXXIX, et nous avons vu que, A étant l'angle du plan considéré avec celui des xy, sa valeur est
cosA(— sina H- ^— I cosa) -h ^^ slnA.
D'après cela, l'expression générale CD cosç -f- C£)'sin<p se particularise et devient
cos9(cosa -4-V— I sina)
-I-[cosA(— sina-4- v^^cosa) H- v^^ sinAjsinf, qui peut être mise sous la forme
(cosç-f- v^—i cosAsin9)(cosa-h v^— I sina)
. — v^ -+- V — I sinAsinf.
Tel est le directif du plan dans lequel a et A sont les constantes données par l'énoncé, et où cp, qui peut varier de zéro à aTT, est Tangle que fait avec la droite donnée une droite quelconque tracée sur le plan.
On vérifiera facilement que» lorsque a est successivement
égal a zéro ou à ~9 on retrouve les formules données ci-dessus pour les directifs des plans qui passent Tun par l'axe des ar^ l'autre par celui des y; lorsque, au contraire» c'est A qui est nul, l'expression devient
(cos9 -I- v^— I sinf )(cosa -f- ^— i sina)
ou
cos(9 -I- a) -h V— I sin(9 -h a),
qui est celle d'une direction quelconque du plan des xy.
Enfin» lorsque A est égal à -9 on obtient le directif d'un plan passant par l'axe des z.
Proposons-nous maintenant de chercher l'intersection du plan en question avec chacun des plans des coordonnées.
Et d'abord, pour le plan des xjr^ il faut que l'angle 9 soit constamment nul ; cela donne immédiatement» comme nous
le savions déjà,
cosaH- i/— I sina.
Passons maintenant à ce qui est relatif au plan des xi. L'origine étant placée en 0 (fig. 7) et OX représentant l'axe des x,
Fig. 7.
soit OD l'intersection du plan considéré avec celui des xy; supposons enfin que OQ représente l'intersection du même plan avec celui des xz ei que Q est le point où cette droite perce la sphère unité.
Déterminons ce qui concerne OQ, et procédons d'abord à cette détermination par les seules considérations géométriques. 11 s'agira ici de connaître la valeur de l'angle 9 que fait OQ avec OD, angle qui est mesuré sur la sphère unité par l'arc QD ; d'un autre côté, Tintersection de la même sphère par le plan des xz est représentée par l'arc QB ; ces deux arcs, joints avec celui qui passe par B et par D dans le plan des xx» déterminent le triangle sphériqueQBD, rectangle en B,dontQD est par conséquent l'hypoténuse et dont l'angle en D est égal à A. Dans ces circonstances, il est connu qu'entre lesxdiverses parties de ce triangle il existera la relation suivante :
tang(QD} cosA = tang(BD) ;
mais QD==9 et BD = r — a; il viendra donc
tangfTT — a) tanf^a
tang ? = — ^^—7 ■' = ^ :
°^ cosA cosA
telle est l'équation qui donnera la valeur de l'angle 9 en fonction des données de la question.
Si l'on voulait, en outre, connaître la latitude du point Q, on la déduirait du même triangle sphérique, en égalant le cosinus de l'hypoténuse au produit des cosinus des deux côtés
de l'angle droit, ce qui donne
008 (p = cos{QB)cos{Tr— a),
d'où l'on déduit
cos(QB) =
COSO (!0S(p
cos(îr— a) cosa
et il ne s'agira plus que d'y substituer pour COS9 sa valeur déduite de celle de tongf .
Mais nous pouvons obtenir la valeur de 9 par un autre procédé qu'il importe d'autant plus de signaler qu'étant une conséquence immédiate des principes directifs mêmes il constate une fois de plus l'accord de ces principes avec ceux déjà admis dans la Science.
Remarquons à cet effet que» dans le plan des jtjz, sur lequel se trouve l'intersection que nous cherchons à déterminer,
les directifs i et v — 1 doivent seuls être maintenus ; il résulte de là que, pour avoir 9, il sufOra, dans le directîf général du plan, d'égaler à zéro les termes qui sont multipliés par
^—t ; on obtient ainsi la condition
cosfsina + cosAsm9COSâe = Oy
de laquelle on déduit immédiatement, comme ci-dcssus,
tan^a
tang<p
cosA
Ces préliminaires ainsi établis, à Taide de celte valeur de tang<p, nous obtiendrons les suivantes :
cosA . tanpa
COS<p = -- r - --r-^rr^» SIH ^ =:
Vcos'A -+- taiig'a V^cos^A H- laii^'a
La présence du radical carré implique deux valeurs pour le cosinus et le sinus de f , et nous ne devons pas négliger de placer ici une observation importante au sujet de cette dualité. L'existence de ces deux valeurs s'explique naturellement par le principe de Trigonométrie en vertu duquel, à une même tangente correspondent deux arcs très-distincts dont
la différence est toujours it. Il est d'ailleurs évident, par suite
de la relation tang9=:^ — -i donl la généralité est bien rc-
cos<p °
connue, tant pour ce qui concerne les grandeurs que pour ce qui concerne les signes, que toutes les fols que la tangente sera positive le sinus et le cosinus auront même signe ; toutes les fois, au contraire, que la tangente sera négative, le sinus et le cosinus auront des signes contraires. Quel sera celui de ces signes qu'il faudra appliquer à l'un et à l'autre? Cela dépendra des valeurs particulières de a et de A et par conséquent des données de Ik question.
Par exemple, dans le ctes représenté par la Ogure, l'angle a est supposé moindre qu'ua droit, et il en est de même de A ; diaprés cela la tangente de>9 sera négative. Or, dans ces circonstances, il est connu que la tangente et le cosinus sont négatifs: il faudra donc appliquer le signe. — à cos<p et le signe + à sin<p.
Sans nous étendre davantage sur ces détails, que nous devions toutefois signaler à l'attention du lecteur, on voil par l'exemple que nous venons de donner que, dans chaque cas, il faudra soumettre les données de la question à une discussion particulière et préalable pour s'éclairer sur la positivité ou la négativité respectives des trois quantités tangcp, sln9,
COSf.
Ces choses ainsi entendues, si, dans le directif du plan, oa
supprime les termes multipliés par ^— i , que nous venons de reconnaître devoir être annulés, il restera, pour la direction de la droite qui forme son intersection avec le plan des xst l'expression
cosçcosa— eosAsinf sina-h v — « sinA sin9, qu'on peut mettre sous la forme
cos(p(cosa — cosA tang(psina) + y — * s\n\ sinf.
Remplaçant tangf par sa valeur, il vient
roso v^~ . . .
hv' — ï smAsmç;
