OS

mais, parce que nous savons que, dans le cas particulier que nous avons clioisi, il faut que cosf soit négatif et sinf positif, nous écrirons définitivement

hv— « sinAsino.

Comme vérification de cette expression, on pourra remarquer, si Ton consulte la figure, que l'intersection OQ, dont la latitude est l'arc QOX, doit avoir pour directif

cosarc(QOX) -h v^— i"" sinarc(QOX).

Il faut donc que le cosinus de la latitude soit égal à ^—

^ ® cosa

et que son sinus ait pour valeur sinAsinf . La première égalité a été déjà constatée ci-dessus. Pour nous éclairer au sujet de la seconde, abaissons du point Q sur OD prolongé la perpendiculaire QG, puis celle QE sur OB et joignons £C. Nous formerons ainsi un triangle rectangle en E, dans lequel on aura

QE = QCcosEQC;

mais QC = $in<p, el l'angle EQC est le complément de A; il

viendra donc

QB:=sinf sinA,

ce qui confirme l'ideniiié prévue.

Enfin, si, dans le directif de l'intersection que nous venons d'écrire sous la forme

roso r-^/^« . . .

cosa

on substitue les valeurs ci-^dessus de COS9 et de sinf, on obtiendra l'expression de ce directif en fonction immédiate des données de la question. On trouvera ainsi

rosA I v^ sinAlanga

cosav^cos'À 4- langea ^cos'A H- tang'a

- 16* — qui, après toutes réductions, prend la forme déOnîiive

— cos A -+- y — I sin A sîn a Vcos'A cos' a -f- sin'a

Après ces développements sur ce qui concerne l'intersection avec le plan des xz, nous pourrons passer plus rapidement sur ce qui est relatif à la trace du plan considéré sur celui des yz.

Soient 0 l'origine {fig. S), OX l'axe des x, OB celui des y

et OD la droite donnée. Si OQ représente l'intersection cherchée, la sphère unité sera coupée par le plan considéré et par ceux des yz et des xjr, suivant les trois arcs respectifs QD, QB, BD formant un triangle sphérique rectangle en B et dont l'angle en D est égal à A. On aura donc dans ce triangle

tangBD = tangQD cos A ;

mais, BD étant le complément de a et QD étant égal à <{/, il viendra

cola = tang4' cosA, d'où tangi(/ = ^•

Cette valeur, qui résulte de relations purement géométriques, va être confirmée par des considérations puisées dans les principes directifs mêmes.

En effet la trace sur le plan yz ne doit contenir dans son

expression que les directifs y^— i et /^ . Il faut donc que, pour cette droite, les termes multipliés par i, dans le directîf général du plan, soient nuls. Cela donne la condition

cosij' cosa — cos A sin^sina = o.

de laquelle on déduit

1 — cosA tang^' tanga = o, ei par suile tangi]^ = - — - »