COS A
résultat qui est en effet le même que le précédent. De cette valeur de tangi]' on déduira
, COS A . , cota
C0S4^=:— -=zi sinip =
^cos*A H- col' a V^COS*A -f- cot'a
valeurs doubles par suite de la présence du radical carré et au sujet desquelles le choix du signe sera déterminé après une discussion préalable sur les données a et A, ainsi que nous l'avons recommandé pour Tinterseclion avec le plan des xz. Dans le cas actuel, il résulte de la flgure que les angles a et A sont supposés aigus, de sorte que cos^]^ et sin^ * ont chacun le signe positif.
Cela posé, le directifdu plan, après l'annulation des termes multipliés par i, se réduit à
V— I (cosA sini}' cosa -h cosi]^ sina) -h ^^ sin A slrn)',
et tel est le directif de l'intersection avec le plan des yz ; on peut le mettre sous la forme
V^^^cos^'Ccos A langui' cosa H- sina) 4- V--» slnAsInJ',
et plus simplement, en y remplaçant tang^^ par sa valeur et effectuant les réductions.
V— ^-4-^^-'8lnAsln4..
stiia
Nous pouvons procéder à une vérification facile de ce résulut. En effet, l'arc QB étant la latitude de l'intersection, on devra avoir pour son directif
^^cos(QB) -h V^^^ sln(QB) ; Il faut donc qu'on ait
cos(OB) — ^''^ cl sin(QB)=sinAsinA.
sina ^ ^
Or, dans le triangle sphérique, la propriété relative à l'hypoténuse donne
cos4/ = cos(QB)cos(BD), d'où cos(QB) = ^?^;
d'un autre côté, en vertu de la proportionnalité des sinus des côtés aux sinus des angles opposés, on pourra écrire imoiédiatement sin(QB) = sinA sint];, d'où il résulte que les deux expressions du directif sont en effet concordantes. Enfin, si dans le directif
COSï]; , I ^f-^ . A . I
i/— I . ^ H- J— I sinAsintpy ^ sma ^ ^
on remplace cosvj; et sin^^ par leurs valeurs, on obtiendra, en fonction des données, l'expression définitive suivante pour le directif de l'intersection :
V — I cos A -f- V — ' sin A cosa Vcos* A sin'a -+- cos^a
Si le plan qu'on considère était défini par une droite qui, passant par l'origine, est contenue dans le plan des xz et par i*ang1e B qu'il fait avec ce dernier plan, les formules précédentes seraient remplacées par d'autres formules qu'il sera facile de déterminer en s'appuyant sur les principes ci-dessus développés.
Soient, par exemple ijig. g), 0 l'origine, OX et OZ les axes
Fig. 9.
des X et des z. Représentons par OÇï la droite donnée qui
sera» sur le plan des xz, la trace du plan cherché. Supposons ce dernier plan construit, et menons-y une droite quelconque OP' faisant avec OQ' un angle (f' et coupant la sphère unité en un point F. De ce point abaissons une perpendiculaire VA' sur OQ' ; si l'on désigne par (D le directif de OA' et par CD' celui de FAS la direction de la droite OP' sera exprimée par
(©(OA'j-t-tô'CFA') ou par (Dcosç'-hOO'sin^',
et, à Taide de lu variation de f \ qui pourra avoir lieu de zéro à 27r, cette expression appartiendra à toutes les droites contenues dans le plan, sous la réserve toutefois que CD et CD' seront choisis de manière à satisfaire à cette dernière condition.
Or, en ce qui concerne (D, si Ton désigne par ^ l'angle Q'OX, que fait la droite donnée avec l'axe des x, sa valeur sera
cos(3-4-v^— I sin|3.
Quant à CD', la détermination de cette direction a été faite à l'article XXXIX, où nous avons vu qu'elle est exprimée par
cosB( — sinp H- v^~ ""'cosp)-f- v^~slnB.
D'après cela l'expression générale (]b)cos9'+ CD'sin^' se particularise et revêt définitivement la forme suivante:
(cos9'-4- y — I 'cosBsin9'/(cosp-f- V^— i 'sln|3J H- v'--' siiiBsinç'.
Tel est le directif du plan dans lequel (3 et B sont les constantes fournies par l'énoncé, et où 9', qui peut varier de zéro à STT, est l'angle que fait avec la droite donnée une droite quelconque tracée sur le plan.
Supposons, en troisième lieu, que le plan considéré est défini par une droite qui, passant par l'origine, est contenue dans le plan des/js, et par l'angle C qu'il fait avec ce dernier plan.
Dans ce cas, soient 0 l'origine, OX et OY les axes des x et des X f représentons par OQ^ la droite donnée qui sera, sur le plan des/2, la trace du plan cherché. Supposons ce dernier
plan construit (fig. io)el menons-y une droite quelconque OP' faisant avec OQ^ un angle ^* et coupant la sphère unité au
point P"^. Do ce point, abaissons une perpendiculaire P'A" sur OQ". SI l'on désigne par (D le direciif de OA' et par & le directif de P^'A'', la direction de la droite OP' sera exprimée par
(î)(OA'')-f-cô'(P''A'') ou par (Dcos^/'-hdD'sint^';
etyà l'aide de la variation de ^' qui pourra avoir lieu de zéro a 211, cette expression appartiendra à toutes les droites con< tenues dans le plan, sous la réserve toutefois d'un ctioix convenable de (D et de (5^\
Qr, en ce qui concerne (D, si l'on désigne par y l'angle Q'O Y que feit OQ'' avec l'axe des 7, sa valeur sera
V^— I cosy 4- \J-~î siny.
Quant a (£)% la détermination de cette direction a été faite à l'article XXXIX, où nous avons constaté qu'elle est exprimée par
cosC(— ^^siny-h/^ cosyj-h sinC.
D'après cela, l'expression générale (Dcos^f'-f-CD'sîn^'' se particularise et revêt définitivement la forme suivante:
sinCsin4^'-h^^(cosycos^'— cosCsinysinJ'') *
H-y^— I (sinycos^p'-+- cosCcosysini^')*
Tel est le directif du plan dans lequel 7 et C sont les constantes fournies par l'énoncé et où 4^'» qui P^ut varier de zéro à 271, est l'angle que fait avec la droite donnée une droite quelconque tracée sur le plan.
Dans les deux cas que nous venons de traiter, comme dans celui dont nous nous sommes occupé à l'article précédent, les intersections avec les pians des coordonnées s'obtiendront par des annulations convenablement faites des termes qui, dans l'expression de la direction du plan, sont multipliés par
les éléments dlrectifs i, y^— i, ^~ \
A l'aide des formules que nous venons d'établir, nous nous trouvons en mesure de procéder à la détermination des angles que le plan dont il s'agit fait avec les plans des coordonnées.
Pour y parvenir considérons deux plans P et P' définis, le premier par les éléments <x et A de l'article XLVI, le second par les éléments ^ et B de l'article XLVIII, et supposons qu'ils viennent à se confondre en un seul et même plan ; il en résulte que les deux intersections priAfiitivement déterminées par P et par P' avec le plan des xy vont se superposer, et qu'il en sera de même de celles faites avec le plan des xz ; il en résulte aussi que le plan unique» conséquence de cette hypothèse, fera un angle A avec le plan des xjr et un angle B avec celui des xz, angle que nous allons déterminer.
Or l'intersection du plan P avec le plan des xy a pour directif
cosa -h ^— I sina,
et l'intersection du plan P' avec le même plan des coordonnées a pour direction
cos9'cosj3 — cosBsin9'sinpH- y — i sinBsin(p\
expression qui, à cause de tang9' = ^^» peut être mise
sous la forme plus simple
coscp'
-7--hV— I sInBsinç'.
D'ailleurs, dans l'hypothèse de la réunion des deux plans
en un seul, l'angle <p' qui est celui que font entre elles les îmerwKtloiis dii pian P', avec ceux des xy et des xz^ devient évidemment égal à son analogue ^ your le phn F ; supprimant donc l'accent devenu inutile, on devra avoir, pour le cas où les deux plans viennent à se confondre, les deux conditions
a , -. sina
coscp = cosp cosa, sinB = -: — >
^ ^ sm^
dont la seconde donne la valeur de sinB.
Ces deux résultats sont facilement confirmés par les considérations géométriques. En effet on peut remarquer que les arcs f, p et a forment un triangle sphérique rectangle dont 9 est rhypoténuse; d'où l'on déduit que le cosinus de 9 doit être égal au produit des cosinus de ^ et de pe, ce qui justiOe la première condition. Quant à la secondé, si le lecteur veut bien se reporter à la première figure de l'article XLVII, où OQ représente l'intersection avec le plan des xz^ il reconnaîtra que, dans le triangle sphérique BQD rectangle en B, l'angle en Q formé par les arcs (^ = 9 et QB = tt ~ p est précisément l'angle B. Faisant donc usage de la propriété en vertu de laquelle les sinus des côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés, on aura
sinç: I :: sin(Tr — a): sinB;
d'où Ton déduit, comme ci-dessus.
smB = —. — bin9
Il ne s'agira plus maintenant que d'introduire dans. cette valeur de sinB celle déjà déterminée de S!n9 en fonction de a et de A, ce qui donne
sîn B = Vcos'A cos^ cl -h sin'a , d'où cosB = sin A cosa.
En faisant une substitution analogue dans la première condition, on en déduit
o cosA . ^ sin a sin A cosp = - ) sm p — - •
VCOs*Acos'a -^ sin'a ycos'A cos*« -+-sin*a
Passons maintenant à la détermination de l'angle C, que le plan considéré fait avec le plan des xy. A cet effet, soient deux plans P et P' déflnis, le premier par les éléments a et A de l'article XLVI, le second par les éléments y et C de l'article XL VIII. Lorsque ces deux plans se confondent, les deux intersections, primitivement déterminées par P et par P' avec le plan des xy^ vont se superposer ; il en sera de même de celles faites avec le plan des^z^ et alors C prend la valeur que nous cherchons.
Or l'intersection du plan P avec celui des xy a pour directif
cosa-H v'— i sina.
Celle du plan P' avec le même plan des coordonnées sera exprimée par le directif de ce plan dépouillé des termes en
V— 1 » ce qui donne
sInC sin ^' -h v^ i ( cosy cosij/' — cosC sin y sin ^* ) ;
mais, à cause de tangtp'= fs elle prend la forme plus simple
sinCsin.y + v^^^^'- ^ cosy
Si maintenant on suppose que les deux plans se confondent, l'angle v{;', qui est celui que font entre elles les intersections du plan P' avec ceux des xy et des^z, devient égal a 4^, et Ton a, par suite» les deux conditions
cos^J; , f^ rosa
sina = ^1 sinC = -T — r-
cosy siuy
On pourra, comme précédemment» vérifler l'exactitude de ces résultats par des moyens purement géométriques. On s'appuiera pour cela sur la seconde figure de l'article XLVII et sur les propriétés du triangle sphérique QDB rectangle en B, dont 4^ est l'hypoténuse et dans lequel le côté BD est le complément de CL et l'angle en Q est égal à C.
Introduisant maintenant dans les deux conditions ci-dessus
les valeurs déjà déterminées de sin^j^ eicosvp en foncUon de a et de A, on obtiendra les résultats suivants :
cosA cosy = =:?
VCOs*Asin*a 4- cos'a
sinC = ^ros»Asin*a -h cos'a, cosC = sInAsincc.
Les valeurs des angles A» B, C étant ainsi connues, nous pourrons nous en servir pour résoudre lé problème qui consiste à déterminer le directif d'une droite {>erpendiculaire à un plan.
Mais, avant de résoudre cette question, il ne sera pas inutile de soumettre ces valeurs à une. vérification. On sait que la somme des carrés des cosinus des trois angles que fait un plan avec trois plans rectangulaires entre eux est égale à Tunité, et que par suite la somme des carrés des sinus doit être égale à 2. Nous devrons donc avoir, si nous avons bien opéré,
sin'A ■+- sin'B -f- sin»C = 2.
Or, si Ton substitue pour sinB et sinC les valeurs ci-dessus, il viendra
sln*A H- cos*A(cos'a -4- sin'a) -f- cos'a -f- sin'a = 2,
condition qui est évidemment satisfaite.
Procédons maintenant à la détermination du directif de la perpendiculaire à un plan donné.
Il suftira, pour résoudre la question, de remarquer que les angles qu'un plan fait avec les trois plans des coordonnées sont précisément égaux à ceux que fait la perpendiculaire avec les axes respectivement normaux à ces plans. A l'aide de cette remarque, on voit que le directif cherché sera celui d'une droite faisant avec les axes des angles connus. Or c'est là un problème qui a été résolu à l'article XXXL Si, par exemple, on fait choix des angles A et B que la perpendiculaire fait avec Taxe des z et avec celui des /, on aura, pour la
direciion cl selon la formule qui figure à cet article,
^sin'A — cos'B -h y'^^ cosB h- \f^ * cos A.
Remplaçant cosB par sa valeur sin A cosa, le radical devient slnAsina, et Ton a définitivement pour le directif cherché
sin Asina-i- v^—i cosasinA -f- v^— i cos A.
Si l'on fait choix des angles A et C que la perpendiculaire fait respectivement avec l'axe des z et avec celui des x^ la formule qui figure pour ce cas à l'article XXXI donnera pour le directif cherché
cosC -h v/^ ^sin» A — cos'C ^- y^— i 'cos A.
Remplaçant cosC par sa valeur sinA sina, le radical devient sinA cosa, et Ton trouve pour le directif cherché
sinAsina+ ^— i cosasinA 4- y'— i cosA,
expression qui» comme on devait s*y attendre, est exactement la même que la précédente.
L'emploi des angles C et B, qui sont ceux que la perpendiculaire fait respectivement avec Taxe des x et avec celui des /, conduirait à la même conclusion.
Dans les applications de cette formule, on ne devra pas manquer d'avoir égard aux observations que nous avons développées à l'article XLVII, au sujet des doubles signes dont sont toujours susceptibles les termes radicaux. Ainsi que nous l'avons recommandé, cela devra faire l'objet d'une discussion préalable basée sur la nature particulière des données angulaires a et À.
S'il était utile d'exprimer ce qui concerne la perpendiculaire avec les éléments ^ et B, relatifs au plan des xz, il faudrait déterminer a et A en fonction de ceux-ci et substituer leurs valeurs dans le directif obtenu.
Or nous venons de voir qu'on a
cosB= sinA cosa;
cela fait déjà connattre la valeur du terme en V—M d'un autre côté nous avons trouvé
. ^ sintzsinA «sînasîoA
Sinp= —= ~ = r—gr y
v'cos' A cos'a -4- sin'a sinu
on déduil de là
sinasinA = sin{3sinB :
c'est la valeur du terme multiplié par t.
Enfin si l'on multiplie entre elles les valeors de cos^ el sinB déterminées à l'article XLIX^.on a pour produit cosA,
ce qui donne la valeur du terme en v-^' • L'expressloa cherchée sera donc
sin B sin p -f- ^— I cosB -h v--i cos^sinB.
Ce résultat pouvait être prévu à l'avance. En effet» si l'on permute entre eux les plans des coordonnées xy el xzy les quantités a et A deviennent ^ et B, et, comme Taxe des x ne change pas, le premier terme du directifsinA sina se trans* forme simplement en sinB sin^ ; mais l'axe primitif des x ^^
venant celui des z, le coefficient aciuel de y — i devra être
le précédent de V— i modifié quant aux .données, c'est-à-dire sinB cos^; enfin l'axe primitif des z se transformant en celui
des j, le coefficient actuel de ^—i devra être le précédent de
V — I également modifié quant aux données angulaires, c'est-à-dire cosB. Cela conduit directement à l'expression cidessus.
SI, enfin, on veut faire usage pour la représentation de la perpendiculaire des éléments y et C, on remarquera qu'on a
cosC=:sinAsita(x,
ce qui fait déjà connattre le premier terme du directif ; d'un autre côté, on a, d'après les formules de l'article XLIX,
cosA
C0Sy = -r-7T,
d'où Ton déduit
cosA = sinCcosy:
c'est la valeur du terme multiplié par ^— i
Enfin, si l'on multiplie entre elles les valeurs de sinC et de
siny» on trouve
sinC siny = sin A cosa,
ce qui fait connaître le coefficient du lerme en ^—i. L'expression cherchée est donc
cosC-f-^—i sinCsîny -h ^— i cosy sinC.
Ce résultat pouvait également être prévu à l'avance, en remarquant d'abord que, si Ton permute entre eux les plans des coordonnées xy et yz^ les quantités a et A deviennent, sur le nouveau plan des xy, y et C. En second Heu, les axes actuels des X, y* et z sont les axes primitifs j, z, x^ de sorte que, dans
le directif cherché, les termes en i, ^—i , v--« seront permutes comme suit: v— i , v — i » i ; ce qui donne
V'— I sinCsiny-f-^— 1^ sinCcosy 4- cosC,
expression qui, sauf Tarrangement des termes ajoutés, est la même que celle ci-dessus.
Nous entrerons dans de plus longs détails au sujet de ces permutations d'axes, lorsque nous nous occuperons de la transformation des coordonnées, dans une publication ultérieure, ayant pour objet une suite de recherches sur les rapports qui lient l'Algèbre à la Géométrie.
Les formules qui précèdent font connaître les conséquences les plus essentielles dépendant de l'existence d'un plan tci que nous l'avons défini. Examinons maintenant ce qui concerne la coexistence de deux pareils plans, et proposons^nous d'abord de déterminer leur intersection.
Nous avons vu, dans Tarticle XLVI, que, si un plan passe par une droite qui, située sur le plan des xy^ fait un angle a avec Taxe des x et que si l'angle de ce plan avec celui des xy est désigné par A, le directif du plan est
(cos9 -+- v^— I cosAsin(p)(cosae 4- v^— i sina)
— /z; ^ ^ -♦- V — ï sinA sinç,
l'angle <p étant celui que fait avec la droite donnée une droite quelconque passant par l'origine et située dans le plan.
Si Ion considère un second plan dont les données analogues seront oi et A' et si f' est l'angle que fait une droite quelconque située sur ce plan avec sa trace sur le plan des xy^ le directif d^ ce pian sera
(cosç'-H v^— I cosA'sin9')(cosa'-f- v'—" sina')
-f-V^— I sinA'sinf'.
Or, pour l'intersection, les deux droites déterminées par les angles 9 et 9' doivent se confondre en une seule, et de là résulte que, dans cette circonstance, il faut que les deux expressions ci-dessus soient égales. Cette égalité conduit à trois équations de condition au moyen desquelles on déterminera les valeurs de 9 et de 9' qui conviennent à l'intersection. Ces valeurs substituées ensuite dans l'un ou dans l'autre des dîrectifs des plans feront connaître la représentation algébrique de la direction cherchée. On obtient ainsi les trois équations suivantes:
cos9Cosa — cosAsin9sina=:cos9'cosa' — cosA'sin9'sina', cos9Sina 4- cosAsin9COSa = cos9'siha'4-cosA'sm9'cosa',
sinAsin9 = sinA'sino'.
A la vérité, on a trois équations pour déterminer deux inconnues, ce qui pourrait portera penser que le problème est généralement impossible ; mais on se convaincra facilement que la troisième condition est comportée par les deux autres,
et qu'elle s'en déduii immédiatement en prenant la somme de leurs carrés.
Procédons maintenant à la déterminalion de 9 et de 9'.
Pour cela, multiplions la première condition par — swaf, la seconde par + cosa' et ajoutons, il viendra
cos9sin(a-- cxf) -r sin9 cosAcos(a — «') = cosA'sino'.
Substituant dans celte équation la valeur de sin9\ déduite de
la dernière condition, et multipliant ensuite les deux membres
tangA'
par —, — r 9 on trouve
cos9smA
sin(ae — a ) . ^ — h tango - — ^ coiifa — a ) = iang9; ^ ^ sinA ®^ tangA ^ ^^ .
d'où l'on déduit, toutes réductions faites,
langA'sInfa — a' )
tanc[9 = — ; •
°^ sinA — tangA'cosAcos(a — a)
Nous pouvons soumettre cette formule au contrôle de deux vérifications. Si l'on suppose que a! est égal à tt et qu'en même
temps A' prend la valeur -« le second plan devient celui
des xz, de sorte que 9 représente alors l'angle que font entre elles les intersections du premier plan avec ceux des xy et des xz. Cet angle a été déterminé à l'article XLYII, et nous
avons trouvé que sa tangente est égale à —■• Or, dans
l'hypothèse actuelle, la valeur générale ci-dessus de tang9 prend la forme
tang-sin(a — tt)
TT
sinA— tang~cosAcos(a — 7:)
Divisant haut et bas par tang -9 le premier terme du déno-
1 'A * y tanpi'a — tt) minateur devient nul, et cette valeur se reduita — - — »
