COS A

qui, en vertu de tang((x — tt) = tanga, est la même que celle ci-dessus.

Si, A' étant égal à - 9 on a pareillement a' = - > le second plan

devient celui des j2, et l'angle f est celui que font entre elles les intersections du premier plan avec ceux des a^y et des jz ; alors la formule générale, après qu'on a divisé les deux termes

de la fraction par tang -9 devient

ang^a — -j ^^^^

et par suite r»

cosA "^ cosA

ainsi que nous l'avons trouvé à l'article XL VII.

Revenons maintenant à la valeur ci-dessus de tangf ; si, pour abréger, on pose

iangA'sin(a ~ a') = M, sin A — tangA'cosA cos(a — a') = N,

N la valeur de tang 9 prend la forme t^^ et par suite on aura

C0S9 = • . ■> sm9 =

Ces valeurs, substituées dans le directif du premier plan, donneront pour le.directif de Tintersection l'expression suivante:

(cosg-h v/^sing)(M -h y/^NcosA) + \^^ ~'NsinA

On vérifiera que la somme des carrés des coellicients respectifs de I, v'--^, /^ est égale à l'unité.

Maintenant, pour avoir 9^ multiplions la première condition par — sina, la seconde par + cosa et ajoutons ; il viendra

cosAsin9 = — cos9'sin(a — a') -h cosA'sin9'cos(2 — a').

Remplaçant, à l'aide de la troisième condition, sin 9 par sa

valeur en fonction de <p\ on trouvera, toutes réductions faites,

, tangAsInfa — a')

° ^ tang A cos A'cos( a — a' ) — sin A'

Si, comme précédemment, on pose, pour abréger,

tangAcosA'cos(a — a') — sinA'=M', iangAsin(a — a')=iN',

on aura successivement

cos<p = T sinç =

Ces valeurs, substituées dans le directif du second plan, donneront pour le directif de l'intersection Texpression suivante:

( <^osa' -h )f^ s\na'){W -¥• )/^ N' cosV) -h v/~^~'N\sinA^

Il va sans dire que cette seconde expression de Tintersec* tion doit être équivalente à la précédente. C'est ce qu'on vérifiera facilement en égalant entre eux, de part et d'autre, les

coefficients respectifs de i, V— i , v^— i ; on obtiendra ainsi trois équations, et l'on reconnaîtra sans peine qu'elles ne sont autre chose que les trois conditions primitives.