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Nous avons déjà constaté, à l'article XXXV, que les principes directifs applicables aux droites dans l'espace confirment et démontrent au besoin ceux qui, d'après les considérations géométriques pures, constituent la théorie des triangles sphériques rectangles. Nous avons, en outre, promis au lecteur que, lorsque nous aurions traité de la direction des plans, nous serions en mesure de poursuivre et de généraliser cet examen comparatif et de l'appliquer à un triangle sphérique quelconque : le moment est venu de justifier cette assertion.

On va voir, en effet, en se reportant aux trois équations de

condition de l'article précédent, que celles-ci renferment en elles tous les principes de la Trigonométrie sphérique. Soient (Jig. 1 1) 0 l'origine et OX Taxe des x. Représentons

par OA la trace du plan qui fait un angle A avec celui des xy^ par OA' la trace d'un second plan qui fait un angle A' avec le même plan des coordonnées, et par 01 l'intersection de ces deux plans, les points A, A', l étant ceux où les trois droites coupent la sphère unité. On formera ainsi un triangle sphérique dont les deux côtés lA et lA' seront les angles o et©', ci-dessus et dont le troisième côté représentera la différence des arcs a et a! qui définissent les deux traces. Quant aux angles de ce triangle, celui en A sera l'angle donné A. celui en A' sera tt — A', enfin celui en I sera celui que forment entre eux les deux plans donnés.

On sait que dans un tel triangle les sinus des côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés. Or c'est évidemment cette propriété qu'exprime la troisième condition. A la mérité, dans celle-ci, c'est sinA' qui figure, tandis que dans le triangle c'est ?:— A'; mais, comme le sinus du supplémenl d'un arc est le même que celui de cet arc, on voit que cette circonstance n'infirme en rien la vérité de la proposition dont il s'agit ici.

Au seul point de vue des principes, nous pourrions à la rigueur nous borner à cette constatation, puisqu'on sait que toutes les formules propres aux triangles sphériques peuvent se déduire d'une seule d'entre elles; mai*^, comme ici il est surtout question d'un contrôle, il convient de faire voir qu'à leur tour les deux autres conditions conduisent, comme la dernière, à une seconde propriété connue des triangles sphériques.

Or de ces deux équations nous avons dt'duit la suivante :

^in o si n A

roscï>sin(« — a!) -h cosAsinç cos(a — a' ) = '- ' \, •

' T V ; langA'

£i) la divisant par sincp, elle devient

cot9sin(a — «')-+- cosA cos(a— a')= sînAcotA'.

Maintenant il arrivera de deux choses l'une : ou a sera plus petit que a', ou il sera plus grand que lui. La figure ci-dessus suppose qu'il est plus petit ; dans ce cas sln(a — a') devra être remplacé par •— sin(a'— a) ; d'un autre côié, on a

coiA'= — coUtt — A');

la condition ci-dessus, en y introduisant les éléments du triangle, prendra donc la forme

— cot9sin(a'— a)H-cosAcos(a'— a) — — sin A coI(7t~ A'j,

d'où l'on déduit

C0t9Sin(a'— a) = cosAcos(«'— a) -h sinAcol(r — A').

On reconnaît ici la formule qui, dans le triangle sphérique, lie deux côtés 9 et a'— a avec deux angles A et t: — A', dont l'un est opposé à l'un des côtés.

Si, au contraire, c'est a qui est plus grand que a^ la différence a— a' sera positive, et ce sera alors A' {fg. 19.) qui

Fiç. la.

figurera directement dans le triangle, tandis que Tautre angle sera tt — A. Or, comme on a

cosA =r: — cos(Tr — A),

et que d'ailleurs le sinus de A est le môme que celui de

r — A, il en résulte que la condition ci dessus, en y introduisant les éléments du nouveau triangle, s'écrira

rot9sin(a — a') — cos(7: — A) cosfa — a') = sin(;r — A)coiA';

d*où l'on déduit

cot<psin(a — «') = sin(7r — A)colA*4- cos(7r — A) cos(a — a'),

et Ton retombe ainsi sur la même propriété du triangle sphérique.

Enfin, pource qui concerne la formule qui, dans le triangle, lie les trois côtés avec un angle, on multipliera la première des conditions par cosa', la seconde par sina', et on les ajoutera. On obtiendra ainsi

c6s9COS(a~ «') — cosAsin9 sin(a — a') = cos9'.

Dans le cas de la première fîgure ci-dessus, où a est moindie

que (Z% on a

sin(a — a') = — sin(a'— a).

Quant à A opposé à l'angle o\ il se maintient dans le triangle tel qu'il a été primitivement défini, et Ton a, en résumé, la condition •

€0S<p'=:C0S9C0s(a' — «) -H cosA sinç sin(a* — a),

qui exprime, en effet, la propriété ci-dessus rappelée.

Dans le cas de la seconde figure où a est plus grand que a\ le troisième côté est alors exprimé par a-^af; mais l'angle opposé à <p' devient tt — A, et, comme on a — cosA égal à cos(7r — A), on voit que l'équation ci-dessus, en y introduis sant les éléments actuels du triangle, devient

eos(p'=::cos9 cos(a —«')-+- cos{7r — A)sin9sin(a — a';,

qui, encore dans ce cas, exprime la propriété connue en vertu de laquelle les trois côtés sont liés à un angle.

De ces considérations, que nous croyons avoir suffisamment développées, il résulte, conformément à ce que nous avons annoncé, que les trois conditions de l'article précédent, direc-

temenl déduites des considérations directives, renferment en elles tous les principes de la Trigonométrie sphérique, ce qui confirme de plus en plus l'accord existant entre les deux sciences.