LUI

Pour compléter, dans ce qu'ils ont d'essentiel, les faits qui se rattachent à la coexistence de deux plans, nous nous proposerons de déterminer l'angle que ces plans font entre eux.

A cet effet, on peut remarquer que cette recherche se ramène immédiatement à celle de l'angle que font entre elles les deux perpendiculaires k ce plan, puisque cet angle est le même de part et d'autre. Or c'est un problème que nous avons traité à l'article XL, et il n'y aura plus qu'à rattacher la solution que nous avons obtenue aux données actuelles de la question.

Il a été constaté dans cet article que, si ^ et (3 sont la longitude et la latitude de la première droite, si 0' et P' sont la longitude et la latitude d'une seconde droite, si enfin ^ est l'angle de ces deux droites, on aura

cos^ = cosp cosp' cos(0 — &' ) -4- sin p sinp'.

Dans le cas actuel, la première droite étant perpendiculaire au plan dont la trace sur le plan des xx est déterminé

par l'angle a, sa longitude sera a -4- -• On verra de même que

la longitude de la seconde est a' + - 1 de sorte que cos( 0 — (?')

prendra la valeur cos(a — a').

En ce qui concerne les latitudes, il résulte également du fait de la perpendicularité que celle de la première perpendi-

culaire sera A -h -» et celle de la seconde A'-h -; de sorte qu'on aura

sin(3=:sin( A -^--WcosA, cosp= cosf A -h M=— sInA;

- I8i — on aura de même pour 3'

sin ,S' = sînf A' -h - ) = ces A% cos(3'= cos ( A' -h - )= — sîn A'.

Substituant toutes ces valeurs dans la formule qui donne cosi];, celle-ci devient

cos^j; = sin AsînA'cos(a — a') -h cos A cos A'.

Telle est la valeur définitive du cosinus de Tangle cherché.

Or nous pouvons encore ici constater l'accord qui existe entre les considérations directives et les faits géométriques.

En effet, Tangle ^ est celui qui figure en I dans les deux triangles sphériques mentionnés dans l'article précédent; mais, dans ces deux triangles, les trois angles sont : ou bien ij/, A, n — A', lorsque a est plus petit que a\ ou bien ^,7r — A et A', lorsque a est plus grand que a'; d'ailleurs, dans l'un et dans l'autre cas, le côté a — a' est celui qui est opposé à l'angle ^. Nous nous trouvons donc ici en regard de la propriété en vertu de laquelle les trois angles d'un triangle spbérique sont liés à l'un des côtés, et l'on aura en conséquence, d'après les formules connues, savoir :

Dans le premier cas,

cos^}/=:sinAsin(r — A') cos(a — a') — cosAcos(7: — A')>

et dans le second

oos4' = sin(7r— - A)sinA'cos(a — a') — cos(7: — A)cosA\

Or que, dans l'un et dans Tauire, on fasse, pour ?: — Aet pour t: — A', les remplacements légitimes en A et en A', et Ton retombera pour cos^ sur la valeur déduite ci-dessus des considérations directives.

La connaissance de l'angle ^ déterminé par l'intersection de deux plans donne les moyens d'avoir le dircctif d'un plan qui fait avec un autre un angle donné.

En effet, en désignant par C la valeur constante du cosinus

de cet angle, on aura

C = slftAsinA'cos(a — a!) -h cosA cosA';

et, comme on n'a qu'une seule équation pour déterminer les inconnues af et A' en fonction des données a, A et C, on voit que le problème est susceptible d'une infinité de solutions. On se donnera donc à volonté une des quantités od ou A' ; à l'aide de la condition ci-dessus, on prendra la valeur de l'autre, et on la substituera dans la forme générale du directif du plaa cherché. On obtiendra ainsi pour ce directif

(cos<p'-4-/^cosA'sin<p')(cos«'-h v/^sina') -f. y/— I sin A'sinç',

expression dans laquelle il entre deux variables indépendantes, d'abord 9' et ensuite a! ou A', suivant qu'à l'aide de l'équation de condition on aura éliminé l'une ou l'autre de ces quantités. La première variable 9' se rapporte dans chacun^ des plans possibles aux positions diverses des droites situées sur ce plan ; l'autre variable a' ou A' précise la position individuelle de chacun de ces plans.

La substitution de A' en fonction de a', et réciproquement, étant une simple recherche de calcul ordinaire, nous ne nou» y arrêterons pas.

Mais nous examinerons le cas particulier où l'angle ^ que font les deux plans est droit. La constante C qui représente cos^' est alors nulle, et l'équation de condition prend la forme

tangAtangA'cos(a — a') = — 1,

d'où l'on déduit

., coi A tangA'= -,

on aura d'après cela

• ., COs(a — a)

V^C052(a — a) -f- col' A

. ., cotA sinA':r —

vCOs'(a — a') -h cot^A

cl par suite le directif cherché sera exprimé par

/ , / — oos(a — a')sin9' \ / *, , . ,v

( C0S9'+ V — I - — l'.cosa' 4- ^—i sina')

\ v'cos»(a — a') -h COI' A/

^z; colAsincp'

ycos^a — a') -h col* A

Telle est l'expression directive d'un plan dont la trace sur le plan des xjr est définie par l'angle a' et qui est perpendiculaire à un plan défini à son tour par les éléments a et A.

Si, indépendamment de l'hypothèse que l'angle ^ est droit, on introduit celle, très-particulière, que les deux^ traces sonl

perpendiculaires l'une à l'autre, la valeur de «'devient a + -9

et il en résulte que, la différence des deux angles a et a! étani un angle droil, la valeur de cos(a — a') esl nulle. L'équation de condiiion se réduit alors à

cosA cosA' = o,

ce qui apprend que le cosinus de A' doit être nul, et que par suite l'angle A' est droit. Celte conséquence est d'ailleurs tout a fait conforme aux exigences géométriques.

D'un autre côté, la circonstance que cos(a — a') est nul réduit le directif à

cosç' cos( an- - j -h^—i sinf a -+- 7 j -f v^— 1 sincp',

c'est-à-dire à celui d'un plan, perpendiculaire au plan des x/, dont la trace sur ce dernier plan fait un angle droit avec celle du plan donné, et dans lequel l'angle variable 9' est celui qu'une droiie quelconque située dans ce plan fait avec la ligne suivant laquelle il coupe celui des coordonnées xjr. Tout cela se trouve en complet accord, soit avec les faits géométriques connus, soit avec les principes directifs ci-dessus établis.

Après nous être occupé des faits principaux qui se rattachent à la coexistence de deux plans, nous allons procéder à la recherche de ceux qui résultent des comparaisons qu'on peut faire entre la situation d'un plan et celle d'une droite.

Nous nous proposerons d'abord de déterminer à quels caractères on reconnaîtra qu'une droite est contenue dans un plan donné.

Si l'on se reporte aux considérations développées à l'article XLVI» et qui ont pour objet la détermination du directlf d'un plan, on reconnaîtra que l'esprit de la méthode que nous €vons employée consiste à trouver une expression algébrique commune à toutes les droites qui, en vertu des lois de la Géométrie, auront été reconnues comme jouissant de la propriété d'être situées sur ce plan. Il est évident, en elTet, que, si une pareille expression existe, par cela même qu'elle s'appliquera à chacune de ces droites, elle deviendra un symbole analytique propre à caractériser leur ensemble, c'est-à-dire le plan dans lequel elles sont toutes synihétiquement résumées.

Une telle expression devra évidemment contenir les données qui servent à définir le plan ; mais en outre, par cela même qu'elle doit convenir à l'infinité des droites qui y sont situées, elle devra aussi renfermer une variable indépendante ayant pour mission, à l'aide des valeurs arbitraires qu'on lui attribuera, de spécialiser chacune de ces droites.

On a vu à l'article XLVI comment, dans Tordre de données que nous avons adopté pour la définition du plan et qui sont d'abord l'angle a que fait avec l'axe des x sa trace sur le plan des xy et ensuite l'angle A suivant lequel il coupe celui-ci, on a vu, dis>je, comment les conditions qui viennent d'être énoncées se réalisent au moyen de l'expression générale

(DcosoH-CD'sinç,

dans laquelle (Q représente le directlf de la trace, CD' le directlf de la perpendiculaire à cette trace dans le plan donné, et 9

Tangle que fait avec celle même trace une droite quelconque située dans le plan. Be ces désignations il résulte que c'est dans (D et dans (D' que résident les quantités constantes qui caractérisent le pian (ces expressions, en effet, sont invariables avec lui) et que 9, qui peut prendre toutes les valeurs de zéro à 27r, est la variable indépendante spécifiant chaque droite en particulier.

De ces explications, que nous avons cru nécessaire de reproduire avec quelques développements, il résuite qu'une droite quelconque, considérée dans l'espace, ne pourra êlre contenue dans le plan donné que sous la condition que son direciif rentrera dans la catégorie des espèces du symbole général (Dcos(p + (X)'sin(p, et sera par conséquent équivalent à un des cas particuliers qui en font partie.

Or ce symbole, lorsqu'on y remplace (D et (D' par leurs valeurs en fonction de a et de A, prend la forme indiquée à l'arlicle XLVI, savoir:

(cos9 -4- v/— ' cosA sincp)(cosa-f- /^ sina)

-f V^— I slnA sin^.

D'un autre côté, si 0 et (3 sont la longitude et la latitude de la droite, son direciif sera

cos(3(cos0 4- V— I s'inO) -h ^— i^ sln{3,

et, puisqu*i] faut que ce dernier soit équivalent à une des valeurs que prend le direciif du plan dans le cours des variations de 9, la valeur particulière de 9 au moyen de laquelle celle équivalence sera réalisée se déterminera en écrivant l'égalité des deux expressions ci-dessus, ce qui conduit aux trois équations de condition suivantes :

cos9COsa — <*osAsin9 sina — ros^cosO, C0S9 sina -4- rosAsin9COSa =:fOSpsin6,

sinA sin9 ~ bin{3.

Nous savons d'ailleurs que l'une d'elles est toujours comportée par les deux autres, de sorte qu'en réalité on n'a que

deux conditions distinctes. De celles-ci on déduira, en fonction des données a, A, 0 et ^, les valeurs que devraient avoir coscp et sin9, et il ne s'agira plus que de s'assurer si ces valeurs, qui sont fixes comme le sont les données qui les déterminent, jouissent, en effet, de la propriété d'être le cosinus et le sinus d'un même angle. S'il en est ainsi, l'angle 9 existera, et la droite donnée sera contenue dans le plan ; mais, si ces valeurs ne satisfont pas à la condition que la somme de leurs carrés est égale à l'unité, l'existence de l'angle 9 sera inconciliable avec les conditions connexes, simultanément imposées par les données du plan et par celles de la droite, et par conséquent celle-ci ne sera pas située sur le plan. Cela posé, des équations ci-tlessus on déduit

slnô ^ ,.

smo = -7— 7» COS9 = cospcos(0 — a). sinA ^ . ^ ^ '

Or, en se reportant aux considérations géométriques qui s'appliquent aux triangles sphériques rectangles, on reconnaîtra sans peine que ces deux conditions sont satisfaites par un triangle de cette espèce dont 9 serait l'hypoténuse, dont f3 et 0 — a seraient les côtés de l'angle droit et dont A serait l'angle opposé au côté ^. Ce triangle étant d'ailleurs complètement déterminé par les seuls éléments A et d ~ a, s'il arrive que l'arc opposé à A et dépendant de ces éléments soit précisément l'arc donné (3, le triangle sera constructible avec les données de la question et les deux équations ci-dessus seront nécessairement satisfaites ; mais, si la latitude donnée ^ est plus grande ou plus petite que ne doit l'être l'arc obligé qui est opposé à A, le triangle ne pourra être construit, et par suite, les deux équations ci-dessus n'étant pas réalisables, la droite ne sera pas dans le plan.

D'ailleurs, si dans le même triangle on a recours à la propriété qui lie les deux côtés de l'angle droit à l'angle A» on sait qu'on aura

lang(3 = langA sin(0 — a).

Telle est donc, en définitive, la valeur que doit avoir la tangente de |3 en fonction des trois autres données, pour que, le

triangle qui nous occupe étant constructible, la droite se trouve située sur le plan.

Cette conséquence, déduite de considérations purementgéométriques, est confirmée par l'Analyse. En effet, si, dans la première des trois conditions ci-dessus, on substitue les valeurs obtenues pour cos<p et pour sinf, elle devient

cosS cosiO — a) cos a — cos A ^— Ç sina=: cosôcosô. ^ ^ ' sinA ^

Divisant les deux membres par cos^, on a

cos(9 — a)cosa — cosô = r^»

^ ' ^ tangA

Le premier membre se réduit a sinasin(d — a); divisant donc toute Téquation par sina, on trouve comme précédemment

tangj3 = tangA sin(0 — a).

La substitution des valeurs de cos^ et de sincp dans la seconde condition donnerait la même valeur de tang^. On se convaincra enfin qu'on arriverait également au but en écrivant que la somme des carrés des expressions représentatives de coscp et de sinf est égale à l'unité.

Concluons donc qu'un plan étant défini par les données a et A, une droite, ayant pour longitude 9, ne sera contenue dans le plan que si la tangente de la latitude est égale à langA sîn(6-~a).

Or de cette valeur de tang^ on déduit les suivantes :

cosjS =— .

sin(3=:

V 1 -f- tang'A sin'( 0 — a)

tan^A sin((/ — a) ^i -h tang'A sin*( 6 — a)

Faisant donc, dans le directif de la droite, la substitution de ces valeurs, ce dlreclif devient

COS0 -+- V— » ^l"w H- \/— I langA sîn(C' — a) ^1 -+-tang*Asin'(0 — a)

On peut remarquer, comme vériflcation, que, si 0 prend la

valeur -9 cette expression doit devenir le directif de l'intersection du plan donné avec celui des/z. En effet, dans cettehypothèse, elle se réduit d'abord à

V^— I -+- V — « tang A cosa v'^i -i-;tang*A cos'a

Puis, multipliant haut et bas par cosA et remplaçant sous le radical sin'A par 1 — cos'A, on trouve

V^— î cos A -4- v—i sin A cosa

jr y

VCOs*A siii'a -+• cos'a

qui est en effet l'expression du directif de cette intersection donnée à la fin de Tarticle XLVII.

Présentons une dernière observation. Dans les termes où la question est posée, la longitude 0 de la droite donnée est une quantité fixe, et, par suite, l'expression ci-dessus, fixe à son tour, représente le directif de cette droite; mais, comme on en pourrait dire autant de toute autre droite ayant une longitude différente de S, il s'ensuit que, si Ton suppose 6 variable, cette expression conviendra indistinctement à toutes les droites situées sur le plan, de sorte qu'on est autorisé alors à Ja considérer comme le directif de ce plan. Dans ce cas, lu variable indépendante qui doit figurer dans tout directif de cette espèce, et qui précédemment était 9, devient maintenant 9. On pourra s'assurer, en effet, que les valeurs de sin(p et de COS9, étant substituées dans le directif du plan exprimé en 9, transforment celui-ci en l'expression ci-dessus, dans laquelle a et A continuent à représenter les constantes, mais où 6 va remplir désormais la fonction de variable indépendante.

Après avoir ainsi établi la condition en vertu de laquelle une droite est située sur un plan, occupons-nous de la question inverse qui consiste à assujettir un plan à passer par une droite donnée.

La Géométrie nous enseigne que par une droite on peut faire passer une inGnité de plans, et que, par conséquent, le problème que nous cherchons à résoudre est iudéierminé. C'est ce que l'analyse va confirmer.

Si, conformément à ce que nous avons pratiqué jusqu'ici, nous désignons par a et A les éléments encore inconnus qui servent à définir le plan cherché, si, d'un autre côté, nous représentons par 0 et ^ la longitude et la latitude de la droite donnée, il résulte de ce que nous avons constaté dans l'article précédent que la condition nécessaire et suffisante pour que la droite soit contenue dans le plan, et pour qu'inversement le plan passe par la droite, est exprimée par l'équation

tang{3= langA sin(6 — a);

mais, tandis que précédemment A et a étaient connus et que B et p étaient dans leur dépendance, ici au contraire c'est 0 et ^ qui sont fixes et a et A qui sont les inconnues.

En conséquence, déterminant d'après cette équation la valeur de A, on trouvera

tanpâ

Telle est Tunique relation qui lie les inconnues a et A avec les données 0 et p, et il en résulte qu'en effet, ainsi que nous Pavons annoncé tout à l'heure, il peut passer une infinité de plans par une droite donnée.

Ces plans s'obtiendront en attribuant à a telle valeur qu'on voudra, ce qui revient à se donner arbitrairement leur trace sur le plan des xjr et à déterminer leur inclinaison sur ce

même plan des coordonnées, au moyen d'un angle dont la

f n n f 3 tangente aura pour valeur-^- -^--i-

sin/7 — a)

De cello valeur de langA on déduit les suivantes :

cosA =

sinA =:

V^sin'iô — a) + iang»p

Substituant donc dans l'expression ordinaire du direciiT d'un plan ces valeurs de cosA et de sinA, cette expression prendra la forme particulière

[. / sînfô — a)sîn9 1/ . . ^

cos<p 4- v^— I ■ ^ ^ Hcosa -h V — I sina)

V^inMO-aj-f-tang«|âJ^ ^

v'-i tan^j3sin9

v/sin»(0 — a) + tang^(3

qui sera celle de tous les plans jouissant de la propriété de passer par la droite donnée.

On voit que ce directif, ainsi que cela doit èlre, possède deux variables indépendantes a et 9, la prenriière a destinée «n flxer la position individuelle de chaque plan, la seconde 9 servant, une fois que le plan a été ainsi déterminé, à caractériser la situation des diverses droites qui y sont contenues.

Il importe de remarquer que, dans cette question, f conserve toute son indépendance, tandis que, dans la précédente, les valeurs déterminées pour sin9 et COS9 sont flxes et appartiennent tout particulièrement à Tangle que la droite donnée doit faire avec la trace du plan pour qu'elle soit contenue dans celui-ci.

Il suit de là, et c'est un moyen de vérification que nous ne devons pas négliger d'indiquer, que si, dans le cas actuel, on veut considérer f non plus comme une indéterminée, mais comme étant l'angle spécial que la droite donnée doit faire avec celle qu'on aura choisie comme trace du plan sur le plan

des xx; que si, par conséquent, on attribue à cosf et à sin9

les valeurs respectives co^^cos{9 — a), -r-^y l'expression

sin A

directive que nous venons d'obtenir devra finalement se ré-

soudre en celle de la droite donoée. C'est ce que nous allons constater.

En effet, dans ces circonstances, la substitution des valeurs de cos(p et de sln9 dans le directif ci-dessus donne

sin((? — a) -r-^ SIllA

cos^cosC© — a) -h V— I —=

X (cosa -h V— « sina) -4- ^— i -=

Vsin«{0— a) H-tang'P.

Vsin»(0~ a) -H tang'p

tanfiS Hais, parce que le radical a pour valeur . ~r i on voit que

l'expression se ramène immédiatement à

cos(3[cos(e--a)-+-^— I sin(6— a)J(cosa-4- V^^sina) -i- V— «sin^.

D'ailleurs cos(0 — a) -f- yj—i sîn(9 — a) ayant pour valeur

cosô -h^ZTJ" sinô cosa 4- v'—* sina

l'expression se simplifie encore et devient, après qu'on y t opéré toutes les réductions,

cos(3(cosO -h /^sine) -f- v'—^ sinjâ,

forme sous laquelle on reconnaît en effet le directif de la droite donnée»

Dans la catégorie des questions auxquelles peut donner lieu la coexistence d'une droite et d'un plan, une des plus importantes est celle qui consiste à déterminer l'angle qu'un plan fait avec une droite.

Pour la résoudre, imaginons que par l'origine, point que nous supposons toujours être commun soit aux droites, soit aux plans considérés, nous menons une perpendiculaire au

plan donpé, puis par cetle perpendiculaire et par la droite faisons passer un plan. Il résulte des condiiîons auxquelles ce dernier plan se trouve assujetti qu*il sera perpendiculaire au plan donné, et comme» d'ailleurs, il contient notre droite, Tangle cherché ^i sera celui que la droite fait dans ce plan avec l'intersection ; mais, parce qu*il contient aussi la perpendiculaire au plan donné, il s'ensuit que l'angle cherché sera le complément de celui que cette perpendiculaire fait avec la droite donnée.

Nous sommes ainsi ramené à trouver l'angle de deux droites, question déjà traitée à l'article XL, et au sujet de laquelle il ne nous restera plus qu'à rattacher la solution obtenue aux données actuelles de l'énoncé.

Il a été constaté dans cet article que, si d et |3 sont la longitude et la latitude d'une première droite, si 0' et P' sont la longitude et la latitude d'une seconde droite, si enHn ^' est l'angle de ces deux droites, on aura

cosi^' = cospcosP'cos(ô — fl')-4-slnpslnp'.

Dans le cas actuel d et p sont connus: ce sont les éléments de la droite donnée. Quant à 6' et P', qui sont les éléments directifs de la perpendiculaire, nous avons constaté à l'article XLIII que, si, comme dans ce qui précède, le plan est défini par les angles a et » on aura

En conséquence, les valeurs respectives de

cos( 0 — 6'), cos(3', sinp'

seront

sin(6— a), —siii/X, -+- cosA.

Substituant ces valeurs dans celle de cosv};', il viendra, cosvj; = — cosp sin A sin (0 — ae) H- sin ^ cos A,

et, parce que Tangle cherché ^ est le complément de ^\ nous aurons finalement

sinij; = — cos^sln A sln(9 — a) -+■ sin p cos A.

On remarquera que, si la droite était située sur le plan donné, l'angle ^ serait nul ; il faut donc, dans ce cas, que le second membre de l'équation ci-dessus se réduise à zéro. Or la condition nécessaire pour que la droite soit dans le plan est

tang^ = tangA sin(ô — a),

de laquelle on déduit

sin(e-«) = iîn4.

^ ' tangA

Substituant cette valeur dans l'expression de sln^'» le premier terme du second membre devient

— cosÔ sin A - — ^ » c'est-à-dire — sinB cos A. *^ tangA ^

Il est donc égal et de signe contraire au second terme, et par suite la valeur de sin^^ est en effet nulle.

Si la droite donnée est située sur le plan des xjr^ sa latitude ^ est nulle. Alors le sinus de l'angle qu'elle fait avec le plan est mesuré par la distance perpendiculaire à ce plan comprise entre celui-ci et le point où la droite vient couper la sphère unité. Cette distance est l'un des côtés de l'angle droit d*un triangle rectangle dont sin(0 — a) est l'hypoténuse et dont l'angle aigu opposé au côté sin ^ est À; on aura donc

sin(|; = sin A sin (d — a).

Or on voit immédiatement que telle est, en effet, la valeur que donne la formule lorsqu'on y suppose que la latitude ^ devient nulle.