LVIII

Jusqu'à présent les plans dont nous nous sommes occupé ont été définis par la double condition de passer par une droite donnée située dans l'un des plans des coordonnées et de faire avec ce même plan un certain angle. On conçoit quo la définition d'un plan peut être constituée par plusieurs autres moyens» et il convient, sinon de les passer tous en revue, du moins de s'occuper des principaux. Parmi ceux-ci.

un des plus importants est celui qui consiste à assujettir un plan à passer par deux droites données et i déterminer son directif à l'aide des éléments qui déflnissent les deux droites. SI9 comme dans ce qui précède, nous désignons par a ei A les angles qui nous ont servi de données ordinaiices pour le plan, mais qui sont encore inconnus, si nous appelons 6 ei p la longitude et la latitude de la première droite, 6' et (3' la longiiude et la latitude de la seconde drx)ite, on remarquera que, parce que le plan cherché doit contenir chacune des deux droites, il résulte de ce qui a été exposé à ce sujet dans l'article LV qu'on devra avoir les deux conditions

tangp = tangA sin ( 6 — a), tangP'= tangA sin( ô' — a),

à l'aide desquelles nous pourrons déterminer a et A en fonction des quantités connues 9, ^, 0', ^'. Si on les divise l'une par l'autre, on éliminera A, et il viendra

tangP sin(0 — «) Tangp' "" sin(e'-- «y

Développant les deux termes de la fraction qui forme le second membre et les divisant ensuite par cosoe, on a

tangp sinO— cos&tang« ^

ïângp? ~ siiiô'— cosô'tanga'

faisant alors disparaître les dénominateurs et ne laissant dans le premier membre que les termes multipliés par tanga, on trouve

langa(tang(3'cosd— tangPcosd')=:sin9tangP'^tangpsind',

et de là on déduit

sind tango'— tango sin^'

tang a = ^ -% -\^ ^-: •

^ cosôlangP' — tang(3cosô'

On peut remarquer, comme vérification, que, si les longitudes 9 et 0' sont égales, les deux droites sont dans un plan ayant même longitude qu'elles et perpendiculaire au plan des xy. Ce plan est donc celui qu'on cherche, et par suite a

doilâtre égal à ô. Cesl en elTet ce que donne la formule qui

se réduit alors à

tanga=: langô.

Supposons, au contraire» que ce sont les latitudes j3 et P' qui sont égaies. Dans ce cas, les extrémités de p et de P' seront situées toutes deux sur un même parallèle de la sphère, et, comme elles sont contenues l'une et l'autre dans le plan cherché, la droite cfui les réunit sera l'intersection de ce plan avec celui du parallèle; par suite, l'intersection de ce même plan avec celui des xjr sera parallèle a cette même droite.

Or cette droite est perpendiculaire au méridien qui divise en deux parties égales l'angle que forment entre eux les méridiens des deux droites données; d'où il suit que la trace cherchée devra être perpendiculaire, dans le plan des xy, à la bissectrice de cet angle. D'ailleurs celle-ci fait avec l'axe des x un

angle égal à ; par conséquent, l'angle a aura dans ce cas

pour valeur 1 — t d'où Ton conclut Onalement

tanga = — rot •

Voyons ce que, de son côté, la formule nous apprend à cet égard : l'hypothèse que j3' est égal à ^ la réduit à

sinO — sînô'

tanga = ^ Ki y

^ cosô — cos9'^

mais on sait qu'on a les deux relations suivantes : sinô — sine'= 2sin cos 1

cosô — cosfl' = — 2sin sin

Opérant la division et supprimant dans les deux termes le facteur commun asin > on trouve que tanga est égala

— col •» ainsi que nous venons de le constater.

La valeur de a étant ainsi connue, procédons à la détermination de celle de A.

Si, jfour abréger et simplifler les calculs intermédiaires, on

pose tanga = j^» on aura

rosflg = n sin«

Prenons maintenant une quelconque des valeurs de tang|3 ou de tang^', la première par exemple, on en déduira

^"^^■~sin(9-û()

Si l'on développe sin(d — a) et si Ton intraduit dans ce développement les valeurs ci-dessus de cosa et de sina, on aura

mais on a

N sin e = sin 0 ( cos 9 lang (3' — tang (3 cos 6' ), M oosô = cos0(sind lang^' — tangP sin9').

Prenant la différence, il vient

Nsin 9 — Mcos 9 =: ^ tangp( sin 0 cosÇ' — cosô sîn 9' )

et par suite

Substituant enfln pour V^MM* N^ sa valeur, on obtient directement l'expression suivante de tangA en fonction des données :

v^iang'P -h tang^P' — 2 tang(3 langfi^cos( 9 — 9') ^"^^ - sin(»-9')

Si maintenant, dans le directif du plan où figurent a et A, on introduit les valeurs obtenues pour les lignes trigonométriques

— 200 -^ de ces deux angles, il viendra, pour l'expression de ce dlrecUf,

/ — sîn(e-e')sin9 XN-^M^^iT

( cosy-fy/— I , ^ ^ -^ ] — ^

nP ^M'-4-N»sina)

V^sin"(0 — Ô')-+-M»^-N'

Nous avons /conservé, comme moyen d'abréviation, les symboles M et N ; mais, leurs valeurs en fonction des données étant connues, il sera toujours facile, dans les applications, d'écrire ce directif dans la forme même voulue par ces données.

On vériflera que la somme des carrés des coefficients de

I, >^— I , y^i esi égale à l'unité.

En foisant varier à volonté les éléments de longitude et de latitude qui servent à déflnir les deux droites, on pourra procéder a l'examen de lous les cas particuliers qui peuvent se présenter.

Ces recherches n'offrent généralement rien de compliqué ; mais il y a certaines spécialités pour lesquelles les éléments dont nous venons de parler arrivant à leurs limites attribuent à toutes les tangentes qui figurent dans les calculs précédents des valeurs nulles ou infinies, et qui quelquefois se présentent dès l'abord sous la forme indéterminée. Dans ces divers cas, ce n'est qu'à l'aide de discussions minutieuses et d'une nature assez délicate qu'on arrive à être fixé sur les valeurs qu'il convient finalement d'adopter. Nous croyons donc qu'il est nécessaire de montrer par quelques exemples comment ces discussions doivent être conduites.

L'hypothèse que les deux droites données sont successivement deux des trois axes des coordonnées nous a paru renfermer tout ce qu'il y a d'essentiel à exposer à ce sujet, cl nous allons procéder à son examen détaillé.

Admettons que nos deux droites sont l'une l'axe des x, Tautre l'axe deî> j, ce qui revient à supposer que S, ^ et p*

sonl nuls el que 0'= -• Dans ce cas, le plan chen-hé esl évi*

demn>ent celui des xjr; il faut, par conséquent, que le direciif de l'article précédent se ramène à Texpresslon d'une droite quelconque située sur ce plan des coordonnées. Nous allons voir que le calcul confirme en effet cette conclusion. Et d'abord, pour qu'il en soit ainsi que nous venons de le

dire, il Tant que le terme en v^-— i disparaisse. Or, si Ton remarque que ce terme a pour facteur y/M'-h N*, et que, lorsque j3 et P' sont nuls, il en est de même de M*H- N% on voit que cette première condition sera satisfaite et que, par conséquent» ce qui. restera de l'expression, après la radiation de ce terme, ne pourra être que le directif d'une droite située sur le plan des xy.

Quelle sera cette droite? C'est ce que nous allons examiner.

Il est évident que, d'après la définition de <p, ce sera celle qui fait un angle 9 avec l'intersection du plan cherché et du plan des xy\ mais, lorsque, comme c'est ici le cas, ces deux plans se confondent, la première idée qui se présente à l'esprit, au sujet de l'intersection, est que celle-ci devient indéterminée, et qu'il n'y a pas une droite contenue dans le plan des xy qui ne puisse être considérée comme jouissant de la propriété de représenter cette intersection. C'est aussi ce que

la formule semble indiquer dès l'abord, puisque l'hypothèse

que |3 et p' sont nuls donne pour la tangente de a la forme -;

mais, en examinant de plus près la question, on est conduit à modifier cette première manière de voir elà rejeter celte idée d'indétermination pour lui substituer celle que l'intersection dont il s'agit, bien loin d'être une droite arbitraire, a une direction unique spéciale et analytiquement définie. Voici sur quelles considérations s'appuie ce nouveau point de vue. Si, en conservant pour les deux droites données les longi-

tudes zéro et -9 nous leur attribuons des latitudes égales, et

d'ailleurs quelconques, nous rentrerons dans un cas déjà examiné ci-dessus et pour lequel nous avons reconnu que l'intersection du plan cherché avec le plan dos ^r est une per-

pendiciilaîre à la bissectrice de Tangle que forroeni les deux longitudes.

Ici, ces deux longitudes étant zéro et -9 la bissectrice en

question sera la droite inclinée à 4^ degrés. Or, tant que les longitudes ne changeront pas, cette droite sera invariable et il en sera, par conséquent, de même de la trace du pian cherché avec le plan des xy qui sera constante pour toutes les valeurs des latitudes, quelles qu'elles soient, dans Thypothèse toutefois que celles-ci restent égales entre elles. De là résulte le théorème que les plans contenant deux droites dont les longitudes sont zéro et - et dont les latitudes sont égales cooptai

tous le plan des xy suivant une droite fixe perpendiculaire à la direction de 4^ degrés. On peut donc considérer que ces plans sont successivement engendrés par la rotation de l'un d'entre eux autour de la trace en question, mode général de génération qui comprend, comme cas particulier, celui qui nous occupe en ce moment. Celui-ci renire donc dans la loi commune et doit être considéré comme ayant même trace que tous les autres. Aussi, lorsqu'on introduit d'abord dans la valeur de tanga le principe de l'égalité des latitudes, elle prend

, ^ sin^ — sin9' . ., ^ .

la forme -z, rr» laquelle a son tour se ramené, pour

COS0 — cos9' ^ ^

0 = 0 et 9'=:-^»à — t, qui est en effet la tangente de la perpendiculaire à la droite inclinée à 4^ degrés.

Revenant maintenant au directif du plan cherché, il nous restera à prouver, pour que les choses se passent ainsi que nous l'avons expliqué, que, /x étant l'angle que fait avec Taxe des X une droite quelconque située dans le plan des xy^ ce directif se ramène simplement à

cos/x -h v^ — I siufx.

A cet effet, on remarquera que ce qui reste du directif;, après

la radiation du terme en \ — \ qui a été annulé, est un pro- (iiiit de deux facteurs.

Le premier de ces fuciours a la forme

, sln(e — e')sln©

V'sui't 6 — 6' ) -I- M' -*- i\'

mais, parce que, d'une part, M' + N' est nul, parce que, d'autre part, sin(d-^d')y qui devient le sinus d'un angle droit, est égal à l'unité, on volt que ce facteur se réduit à

eosç -h v^ — I sîn 9.

Quant au second facteur, qui est exprimé par — ->

il se présente au premier abord sous la forme -; mais, si l'on

divise les deux termes de la fraction par N, il devient

f -h tangai/— I . ,

— P====— » et comme, dans le cas actuel, on a tanga= — 1 ,

VU- tang'a

on aura définitivement —=:. -^— \ , qui se rapporte bien

en effet à la direction ci-dessus indiquée pour l'angle a de l'intersection.

Mais l'angle f , ainsi que cela résulte de sa définition première, doit toujours être compté à partir de cette intersection. Si donc on appelle /x l'arc compris entre l'axe des x et Textrémité de 9 ainsi compté, on aura

fx 4- 45** = 9, d'où /x = 9 — 45**. Or le produit trouvé ci-dessus

(cos9 -f- v^— i sin9){ -= — 7=v/— ' )

répondant précisément à la direction de 9 — 4^ exprime» par suite, celle d'une droite quelconque rapportée à l'axe des x^, ce qui justifie toutes nos assertions.

Supposons maintenant que les deux droites données sont Tune l'axe des x^ l'autre celui des z ; il est évident qu'alors le plan cherché est celui des xz, el que, par suite, l'expression

- 2W — de son direciif devra prendre la forme

cosfji-h/^ sinfjt,

l'angle (i, variable de zéro à a?!, étant celui que fait avec l'axe des X une droite quelconque située dans le plan cherché. Nous allons voir comment le calcul va se mettre d'accord avec ces conclusions.

Étudions d'abord ce qui concerne l'angle a^ qui est celui que fait avec l'axe des x la trace du plan cherché sur celui des xjr. Ici cette trace ne pouvant être évidemment que l'axe des Xf il en résulte que tanga doit être égal à zéro. En effet* parce que la latitude (3 est nulle, la formule qui donne tangâc

se réduit à

sînôtanpjâ' . ^

langa = r ^ = tang0.

® cos^tangP' ®

Or» comme & est nul, on voit que a le sera également.

D'un autre côlé, il n'est pas moins évident qu'ici l'angle A que fait le plan cherché avec celui des xjr doit être droit. Or, si, dans la valeur de tangA, on supprime les termes multipliés par tangP qui est nul, il viendra

tangp'

° bin(0 — 6')

et, comme tang^' est inOni, tangA le sera aussi. D'ailleurs

I expression générale de langA étant ~ ^ __ ^/r > on voit que,

dans le cas actuel, y/M* -h N* est inflni.

Ces préliminaires ainsi établis, voyons ce que va devenir le

directif général du plan.

Si dans le terme en v— i on divise haut et bas par

\/M^-+- N* et qu'on ait ensuite égard à ce que cette dernière quaniiié est infinie, le numérateur et le dénominateur de la fraction qui multiplie sincp deviennent chacun égal à l'unité,

et par suite ce terme se réduit à v^— i sin(p; le reste du direciif se compose de deux facteurs dontl'un est - — -— ^^"1:

celui-ci divisé haut et bas par N prend la forme — -^ "^^

^i-h langea

et, à cause que tanga est nul, il se réduit à l'unité. Quant à l'autre facteur, son second terme étant nul, à cause du dénominateur inflni, il se réduit au premier terme, c'est-à-dire à cosf. L'expression du directif se trouve donc représentée par

COS9-4-V--* sintp,

forme dans laquelle 9 est l'angle variable que fait une droite quelconque avec la trace du plan cherché sur celui des xy. Or, cette trace étant ici l'axe des x mêmes, *bn voit que l'expression ci-dessus réunit par la variation de 9 toutes les qualités voulues pour représenter le plan des xz.

Admettons enfin que les deux droites données sont l'une l'axe des 7, l'autre Taxe des z. Il est évident que, dans ce cas, te plan cherché sera celui des yz et que son intersection avec le plan des xy ne pourra être que l'axe des ^. De là II résulte que les deux angles a et A seront chacun égal à un angle droit ; quant à Tangie <p, qui est celui que fait une droite quelconque située sur ce pian avec son intersection sur le plan des xy, ce sera l'angle de cette droite avec l'axe des 7, et, d'après cela, le directif du plan cherché ne pourra être que

Voyons comment ces diverses circonstances seront confirmées par le calcul.

Les valeurs de 9 et de [3 sont, savoir - pour le premier

angle et zéro pour le second, celles de Q' et de P' sont l'une

et lautre -•

Si, dans la valeur de tanga, on commence par supprimer les termes qui, multipliés par tang|3, deviennent nuls, il restera

tanga = tangdy

ce qui prouve qu'en effet l'angle a est égal à un droit. Si, en

même temps, dans la valeur de tangA on supprime aussi les termes qui, multipliés par tangjSy sont nuls, il restera

tango'

^"g^ = sin(e-y)'

et, parce que sin(6 — ff) est égal à l'unité, on voit que tangA sera inflni comme Test tangj3\ ce qui prouve, comme nous l'avons reconnu, que l'angle A esl aussi droit. D'ailleurs, parce que l'infinité de tangA entratne celle de

^M'-h N', on conclura de là, par les mêmes moyens qui ont

clé exposés dans le cas précédent, que le terme en v^— i

du directif se réduit à y*^' sîncp.

Le reste de ce directif est un produit composé de deux facteurs: l'un d'eux est — ^ . ; si i'oa divise haut et bas

m< .1 . j cola -f- 1 , , , ^

par M, il viftndra ~~ ^ mais, cota eianl nul, ce rteieur

Vcoi*a-+-i se réduit à v^— i.

Quant à l'autre facteur, son second terme est nul, à cause du dénominateur qui est infini ; il ne reste donc de ce facteur que le premier terme, c*est-:i-dire cosf . Le produit en question prend donc la valeur ^—i cos<p, et l'on obtient par conséquent, pour le directif cherché, l'expression

V— I C0S9 -H^— I sinç,

ainsi que nous l'avons annoncé.

Nous pensons qu'après toutes ces explications le lecteur sera parfaitement en mesure de procéder à une application, quelle qu'elle soit, de la formule générale qui exprime le directif d'un plan passant par deux droites données.

Quelque nombreuses que soient les questions que nous avons abordées dans le présent Chapitre, nous n'avons pas la

préieniion d'avoir épuisé tout ce qui se rattache à la direction des plans, considérée soit en elle-nnême, soit dans les rapports qu'elle peut avoir avec celle des droites ou avec celle d*autres plans. La fécondilé du sujet est telle que, pour le traiter dans toute sa généralité, il faudrait lui consacreV un contingent de développements autrement étendu que celui qui peut trouver place dans la spécialité d'un Chapitre.

Mais, à vrai dire, dans cette circonstance comme dans toutes celles analogues, l'importantxonsiste moins à accumuler un très-grand nombre de solutions préparées à l'avance qu'à présenter des méthodes propres à faire trouver ces solutions quand il devient nécessaire de les connaître. 11 suffit pour cela de se borner à l'étude détaillée d'un certain nombre d'applications convenablement choisies, résumant les principes essentiels de la théorie, et donnant une idée suffisamment étendue des méthodes proposées en ce qui concerne leur esprit, leurs ressources et leurs moyens.

Une fois celte connaissance bien acquise, il est peu de questions se rattachant à l'ordre de faits qu'une théorie embrasse dont la sagacité de l'analyste ne puisse espérer de trouver la solution, s'il sait suivre avec intelligence les voies qui lui ont été ouvertes et dont on lui a fait parcourir les artères principales.

Tel est l'objectif que nous avons eu constamment en vue, et nous croyons avoir satisfait dans ce qui précède aux conditions les plus essentielles de ce programme.

Qu'il nous soit maintenant permis de revenir d'une manière générale sur les idées dominantes de cet écrit et de donner un résumé de leur objet principal, de leur filiation, de leur utilité.

Nous nous sommes appliqué, dès le début, à présenter avec tous les développements nécessaires la conception qu'il faut se faire, soit de l'élément de continuité, soit de l'élément de direction dans les droites et dans les plans; nous avons étudié l'un et l'autre dans son isolement; nous avons cru que, parce que dans l'ordre naturel des choses il nous est permis d'avoir une idée nette et distincte de chacun, c'est-à-dire de concevoir, d'une part, la longueur sans considération de la direc-

lion, d'autre part, la direction sans considération de la longueur, nous avons cru, disons-nous, qu*il n*y avait rien* dUllogique à espérer, que dans leur représentation analytique ces attributs pourraient rester indépendants, comme ils le sont dans les manifestations géométriques qui nous en donnent l'image et la conception initiale. L'étude des ressources de l'Algèbre, les comparaisons que cette étude nous a permis d'établir entre les opérations de cette science et les procédés constitutifs de celle de l'étendue, les équivalences que nous avons pu constater à la suite de ces comparaisons ont justiflé nos prévisions et ont mis entre nos mains, dans le domaine de l'Analyse, des expressions propres à caractériser chacun de ces attributs dans toute l'étendue de leurs facultés.

Cette étude isolée et bien déflnie des propriétés de chaque attribut, du rôle qu'ils sont appelés à remplir Indépendamment l'un de l'autre, des fonctions spéciales et très-diverses qui sont dévolues à chacun, constitue le contingent d'idées nouvelles que nous avons cherché à introduire dans la Science et devient la base essentielle, et en même temps la plus naturelle, des rapports qui lient l'Algèbre à la Géométrie. Qui ne . voit, en effet, que, dès l'instant que nous possédons les équivalences analytiques des deux attributs qui constituent la science tout entière de l'étendue, il n'est pas une combinaison de ces attributs, et par conséquent pas un problème de Géométrie, dont l'énoncé ne puisse être reproduit en langage algébrique et que nous ne soyons en mesure d'explorer et de résoudre par les investigations de l'Algèbre.

Certes nous sommes loin de prétendre qu'il n'a été rien fait en cette matière ; nous savons fort bien qu'il existe une Géométrie analytique, et nous ne voulons rien retrancher à l'importance des services qu'elle a rendus à la Science ; mais nous croyons qu'elle n est pas constituée sur les bases les plus logiques et que, par suite de cette imperfection, sa fécondité se trouve resserrée entre de trop étroites limites Donnons quelques explications à ce sujet.

Dans l'état actuel des choses, on représente ordinairement, en Algèbre, les droites et les plans au moyen d'équations dans lesquelles l'élément continu de la longueur se trouve corn-

biné, rationnellement sans doute, mais sans règles fixes sbr le choix de cette rationnalîté, avec réiément de direction ; celuî<î est d'ailleurs évalué soit directement par l'angle» soit par les rapports qui en dépendent. Or, dans Tordre logique, des équations ne sauraient être considérées que comme des jugements portés sur les propriétés des objets dont on s*occupe, comme des conséquences déduites de ces proprLiUés, conséquences autorisées et justifiées par le raisonnement, mais qui, tout en exprimant d'incontestables vérités, ne sont pas Texpression générale et la représentation condensée de tout ce qu'il y a dans un attribut. Ces conséquences, au contraire, se spécialisent dans la considération du seul côté par lequel on a envisagé la question et auquel s'appliquent les équations indicatrices du jugement prrticulier qu'on a émis. En opérant ainsi, on ne saurait avoir la synthèse immédiate et complète des ap* prédations plus ou moins nombreuses que l'on pourrait faire au sujet d'un même attribut, si Ton se plaçait à d'autres points de vue non moins autorisés que le premier.

Or, pour se renfermer dans Tordre logique dont nous venons de parler, tant que, dans un problème de Géométrie^ on se borne à donner une droite, un plan, on ne fait que poser des éléments, on ne provoque pas un jugement ; celui-ci viendra après coup lorsqu'il s'agira de suituer sur les condi« lions auxquelles la question proposée soumet ces éléments. Si donc on veut fidèlement reproduire, en Algèbre, ce qu'on fait dans la science de Tétendue, il faut, à chaque élément géométrique donné, s'astreindre à faire correspondre un élément analeptique équivalent^ ce qui se pratiquera par une simple expression et non par une ou plusieurs équations. En suivant cette marche et à l'aide de cette équivalence préalablement constatée, on aura fait dire à l'Algèbre tout ce que la Géométrie dit de son côté, de la manière qu'elle le dit elle-même, dans Tordre qu*il lui aura convenu d'adopter, et Ton aura évidemment établi l'assimilation entre les deux sciences sur ses bases les plus naturelles.

C'est à l'aide de la détermination algébrique des direciifs des droites et des plans qu'il est possible de satisfaire complètement à ce programme. Par Temploi de ces directifs, il

n*esl pas un détail d'un énoncé géométrique qui n'ait son équivalent en Algèbre ; la traduction de Tune de ces sciences dans l'autre se fait immédiatement; l'assimilation se poursuit jusqu'au bout par des procédés aussi simples, aussi directs que possible, et, lorsqu'elle est arrivée à son terme, on n*a plus, pour obtenir la solution, qu*à mettre en œuvre les moyens analytiques connus.

Nous ne nous dissimulons pas qu'à en juger par quelques expressions qui ont passé sous nos yeux, on pourrait craindre que ces sortes de calculs ne se présentassent quelquefois sous une forme un peu compliquée; mais ces complications n'Intéressent en aucune façon le côté théorique de la méthode ; elles n'ont d'autre inconvénient que celui d'imposer quelques longueurs à certaines applications pratiques. D'ailleurs ces inconvénients ne sont-ils pas avantageusement rachetés par le privilège que possède le procédé directif de conduire certainement au but? Dans les recherches géométriques ordinaires, une circonstance heureuse peut faire entrevoir dans une flgure certains rapports entre quelques-unes des données qui Indiqueront avec simplicité la solution d'un problème ou la démonstration d'un théorème ; d'autres fois, au contraire, on étudiera longtemps un tracé géométrique sans y rien découvrir qui soit propre i faire obtenir le résultat qu'on recherche, de sorte que souvent rinsuccès peut se trouver au bout de beaucoup de sagacité et de patience.

Par le procédé directif, il n'en est pas ainsi; avec plus ou moins de calculs, on est toujours certain d'arriver. Ce procédé constitue donc une ressource très-précieuse, puisque avec lui les solutions deviennent certaines, tandis qu'avec les moyens géométriques ordinaires elles ne sont que probables.

Qu'on ne s'imagine pas d'ailleurs que nous voulons préconiser l'idée qu'il faut faire du directif en tout et pour tout. Un tel exclusivisme est loin de notre pensée. Nous dirons au contraire que, dans une science quelconque, il faut savoir se servir de tous les moyens utiles, quelles que soient les théories qui ont servi à constater leur légitimité. L'homœopathie, par exemple, aura beau faire, il est fort douteux qu'elle parvienne à détruire cet imposant ensemble de faits acquis par des ob-

servations, des études, des méditations laborieusement poursuivies pendant trois mille ans. De son côté, rallopathie*aurait tort de croire que le dernier mot a été dit sur la constitution des sciences médicales et que tous les moyens proposés en dehors d'elle doivent être rejetés.

Employons donc, suivant les circonstances, tantôt le procédé ordinaire, tantôt le procédé directif ; dans certains cas même» combinons-les ensemble : ce sera presque toujours ce qu'il y aura de mieux à faire pour allier la simplicité des moyens avec la certitude d'obtenir le résultat cherché.

Au reste, ce qu'on doit attendre du directif ne peut être bien apprécié que lorsque ses combinaisons avec le continu auront été étudiées, el c'est ce dont nous allons maintenant nous occuper.