CHAPITRE 11. J

doit être le côté d'un carré soumis à la condition que sa surface ajoutée à une surface donnée produise une somme égale à une autre surface donnée.

On procède aux opérations nécessaires pour résoudre la question, et Ton trouve que le côté du carré cherché est représenté par a^yj — i, c'est-à-dire par la quantité très-réelle a, mais sur laquelle il faudrait au préalable pratiquer l'opération indiquée par v^—i; nous arrivons ainsi aune impossibilité manifeste.

Hais, parce que dans cette circonstance, ce qui importe, c'est moins le côté du carré que sa contenance, parce que cette contenance s'obtiendra en multipliant a\j-~\ par lui-même; parce que cette mulliplication entraînera celle de sj— i par V--î, parce que celle-ci est précisément l'inverse de l'opération radicale; que par conséquent elle la fera disparaître, et qu'après cela le seul signe d'opération accompagnant a* sera le signe—, c*est-à-dire celui de la soustraction; parce qu'en&n cela indique que la surface a* au lieu d'être ajoutée devra être retranchée, on comprend que, dans ce cas, la présence d'une solution de la forme a V^ peut fort bien ne pas être un indice d'impossibilité absolue, au point de vue de l'espèce de question qu'on se propose de résoudre, mais simplement celui d'un redressement très-compréhensiblo dans les termes de l'énoncé; on voit enfin très-clairement dans cet exemple que la grandeur continue de rester ce qu'elle est, et que les entraves s'introduisent et disparaissent par le simple jeu des opérations, parce qu'elles sont elles-mêmes des opérations.

Pour ne pas interrompre le cours des idées, nous avons pris ici une expression imaginaire toute faite et nous avons examiné son influence sur l'énoncé de la question ; nous nous expliquerons plus tard sur la considération inverse de celle-ci, c'est-à-dire sur le point de départ et sur les causes de la présence de l'imaginaire dans les solutions des problèmes algébriques.

Quant à présent, nous ferons remarquer que tout ce que nous venons de constater ici pour un exemple particulier est

susceptible d'être généralisé. Toutes les fois en effet que, pour satisfaire à une question^ il faudra que le résultat obtenu soit élevé au carré, une solution de la forme asi— i sera acceptable et compréhensible, à l'instar des solutions négatives ordinaires; cette circonstance sera Tindice que le carré dont on doit faire usage, au lieu d'être ajouté, devra être retranché, ou, pour mieux dire, devra être pris dans un sens in verse de celui qui est indiqué dans Ténoncé : ce qu'on peut énoncer brièvement en disant que Timaginaire v~ est le négatif des carrés transporté sur leurs racines; et Ton trouve encore ici une nonvelle confirmation de Tidée que Timaginaire ne saurait être autre chose qu'une opération.

Or ce principe peut recevoir une foule d'applications dans l'étude des sciences. Pour convaincre le lecteur à cet égard, il suffira de faire remarquer qu'une de ses conséquences les plus immédiates est que, dans la mécanique rationnelle, on devra dire qu'une vitesse imaginaire correspond à une force vive négative et par conséquent bien réelle; dès lors un grand nombre de solutions qu'on pourrait être tenté de considérer comme imaginaires, en optique, en acoustique, dans la théorie de la chaleur, de rélectricilé, etc., seront tout aussi acceptables^ tout aussi compréhensibles que peuvent l'être les solutions négatives ordinaires.

Voilà donc un premier pas fait sinon vers la compréhension de l'imaginaire en lui-même, du moins sur certaines circonstances propres à justifier sa présence dans les calculs, sur la nature des interprétations auxquelles il peut nous conduire quant à ses effets ultérieurs. Ce n'est pas tout sans doute, mais n'est-ce pas quelque chose, n'est-ce pas beaucoup ?

Nous nous bornons en ce moment à ces simples explications. Plus tard, nous en développerons la suite avec tous les détails nécessaires.

11 résulte de tout ce qui précède que les études algébriques qu'on peut entreprendre sur les expressions imaginaires n'ont rien d'illogique et d'inutile, non-seulement parce qu'en vertu de sa forme, qui est en même temps une définition, V— i est tributaire de l'algèbre, mais encore parce que, par Tcffet