I.XI

Les faits analytico-géométriques dont nous venons de présemer le développement dans les Chapitres précédents con-

stiluent les bases d'une théorie destinée, croyons-nous, à éclairer d'un nouveau jour les recherches qu'on peut se proposer de faire sur la science de l'étendue considérée dans toute sa généralité.

Tandis que jusqu'à présent on a dû, dans ces recherches, isoler l'une de l'autre la considération de la longueur de celle de la direction ou de l'angle, et s'occuper séparément de la détermination du continu et du dlrectif, par des procédés non définis et variables dans chaque cas, désormais l'Algèbre, suivant pas à pas les indications de la Géométrie, reproduira dans ses expressions l'équivalent de la longueur dirigée, et, liant entre eux ces équivalents par des équations, conformément aux indications des énoncés mêmes, nous donnera, par la résolution de ces équations, les moyens de déterminer à coup sûr, à l'aide des données, toutes les inconnues d'une question.

Est-ce à dire pour cela que cette théorie se trouve d'ores et déjà constituée dans tous ses détails et soit immédiatement apte à entrer en fonction. Nous sommes loin d'afticher une telle prétention, et nous reconnaissons sans peine qu'il y a encore beaucoup à faire pour la doter de toute l'extension dont elle est susceptible, de toutes les facilités d'application pratique qu'il est permis d'entrevoir.

C'est là une œuvre qui ne peut être menée à fin qu'avec le secours du temps; mais, pour si incomplète qu'on «veuille la considérer aujourd'hui, il suffit que nous soyons en possession du germe qui la contient pour qu'il nous soit permis d'espérer que, grâce à de persévérantes études, elle versera d'abondantes moissons dans le champ de la Science.

Ainsi que nous l'avons dit dans l'Avant- Propos, il ne nous est guère permis d'espérer que les développements entrevus pourront être notre œuvre personnelle; mais nos jeunes successeurs exploreront en détail l'ensemble des nouveaux horizons que nous venons leur signaler, et sauront bien y découvrir les éléments de féconde réalisation qu'ils possèdent, que nous entrevoyons dès à présent, mais que nous ne saurions décrire et formuler avec toute la précision que le temps et la réflexion peuvent seuls assurer aux œuvres de l'intelligence.

On nous permettra toutefois, à côté de cette déclaration

d'insufnsance, dont nous n*hésilons pas à consigner ici l'expression, de présenter nos vues sur quelques points du chemin qui reste à parcourir pour compléter et perfectionner le programme des recherches futures, et de signaler dans ce der* nier Chapitre certaines indications sur les conséquences les plus essentielles de la doctrine que nous venons d'exposer et sur les procédés propres à en faciliter le développement et l'application.

Nous ferons d*abord remarquer que les résultats que nous avons constatés, bien qu'ayant pour objet direct les droites et les plans, ne se bornent pas exclusivement à nous renseigner sur cette classe particulière d'êtres géométriques et qu'il est facile d'en déduire des conséquences immédiates assez étendues pour d'autres espèces de lignes, surfaces et volumes qui sont d'un usage habituel dans la Science.

Rappelons qu'il a été démontré que, si a et p sont la longitude et la latitude d'une droite passant par l'origine et p une longueur quelconque prise sur cette droite à partir de l'origine, l'expression

p[cosp(cosa4- ^— 1 sina) 4- y^— i sin^J

conviendra à tous les points de cette droite, à la condition d'y considérer p comme variable depuis zéro jusqu'à l'infini.

Si p est considéré comme constant» elle donnera l'équivalent algébrique du point situé sur cette droite a la distance fixe p de Torigine.

Portons maintenant notre attention sur les deux autres quantités a et ^ qui figurent dans cette expression et supposons-y a constant, mais (3 variable depuis zéro jusqu'à 9.71.

On voit qu'on obtiendra ainsi une Infinité de droites qui auront toutes même longitude a et des latitudes variables. Ces droites appartiennent évidemment au plan mené verticalement à celui des xy et passant par la direction fixe

cosa-i- ^— I sina. Dans cette hypothèse, l'expression cidcs-

suSy lorsqu'on y suppose p variable de zéro à l'infini, conviendra à tous les points de ce plan ; mais, si p est constant, les seuls points auxquels l'expression pourra s'appliquer seront ceux d'une circonférence située sur le plan en question, ayant l'origine pour centre et p pour rayon.

Admettons, au contraire, que c'est |3 qui est fixe et que oc varie de zéro à 27r. On se rendra facilement compte que, dans ces circonstances, les droites ainsi obtenues feront toutes

avec l'axe des z un angle constant égal à p, et que, par

suite, leur ensemble déterminera une surface conique ayant l'origine pour sommet et l'axe des z pour axe. Si alors p varie de zéro à l'infini, l'expression conviendra à tous les points de cette surface conique ; si, au contraire, p est constant, les seuls points à considérer seront ceux de la circonférence qu'on obtient en coupant le cône par un plan horizontal passant par l'extrémité de la distance p comptée sur la directioii < de la génératrice à partir de l'origine.

Enfin, si a et ^ sont variables de zéro à 2 7r et s'il en est de même de p depuis zéro jusqu'à l'infini, l'expression conviendra à tous les points de l'espace ; mais, si, pendant que a et (3 sont variables, p est constant, on aura l'équivalent de la surface sphérique ayant l'origine pour centre et p pour rayon. Quant au volume de cette même sphère, on l'obtiendra en supposant que l'élément continu varie de zéro à p. Il n'est pas, en eifet, un point de l'intérieur de cette sphère auquel ne convienne l'expression ci-dessus.

On comprend, d'après ces explications, que les recherches précédentes ne se bornent pas à nous renseigner sur les directions des droites, mais qu'elles sont, en outre, très-propres à nous faire connaître les équivalents algébriques de certaines surfaces et de certains volumes, et l'on peut entrevoir d'après cela comment elles sont aptes à devenir le guide général de toutes les investigations géométriques. Donnons à ce sujet de nouveaux développements.

Lorsqu'on s'occupe exclusivement des directions et de leur détermination, on peut toujours supposer que les droites sont transportées parallèlement à elles-mêmes, de manière à passer par tel point de Tespjce qu'on voudra, et nous avons usé de cette faculté pour les considérer toutes comme issues de l'origine ; mais il n'en est plus ainsi dans les questions de Géométrie, où la considération des longueurs est combinée avec celle des directions. Dans ce cas, chaque partie des figures représentatives des énoncés possède une situation fixe qu'il n'est pas permis de changer sans altérer les rapports de grandeur et de position imposés par ces énoncés. On conçoit en conséquence qu'il est nécessaire de posséder l'équivalent algébrique d'une droite non-seulement pour le directif qui lui appartient et qui s'applique indistinctement à tous ses^tatsde parallélisme, mais encore pour toute situation précise et invariable qu'elle peut occuper dans l'espace. C'est là un problème très-facile à traiter et dont nous allons présenter la solution.

Supposons qu'une droite, dont la longitude est a et la latitude ^, rencontre le plan des xjr en un point quelconque R. Joignons l'origine 0 avec le point R, et appelons r la distance iixe qui sépare les points R et 0. Si l'on désigne par 6 l'angle également fixe que fait la direction de OR avec la ligne de base, la longueur dirigée OR aura pour expression

r(cos0 -^ v^— I sinô),

et il faudra toujours au préalable la parcourir pour atteindre à un point quelconque P de la droite considérée. D'un autre côté, si l'on désigne par p là distance variable comptée sur cette mâme droite, à partir du point R, on voit que l'expression du chemin suivi pour aller de 0 en P, tant en longueur qu'en direction, sera

r(cosO -h ^—1 sinO)

p[rosj3(cosa -*- v^— i bina) -+- ^— i sinp].

Tel est donc réquivalenl algébrique d*un point i|uelconque de la droite donnée ; tout y est constant, è l'exception de la quantité p.

Il n*est nullement nécessaire d'insister auprès du lecteur pour lui faire acquérir la conviction que les diverses suppositions faites dans l'article précédent, soit sur la constance, soit sur les variabilités individuelles ou simultanées des quantités pf a, (3, conduiront à des plans, des circonférences, des surfaces sphériques ou coniques analogues à celles que nous avons définies, sous cette seule réserve que les centres et les sommets des cônes, au lieu d'occuper l'origine, seront placés au point R, et que, pour les cônes, leur axe, au lieu d'être fa verticale passant par 0, sera celle passant par R.

Pour donner immédiatement un exemple du jeu des calculs dans la présente théorie, considérons les deux cônes à axe vertical dont les sommets sont l'un en O, l'autre en R ; supposons que ces cônes ont même angle générateur et proposonsnous de déterminer la courbe qui représente leur intersection.

D'après ce qui a été expliqué, l'équivalent algébrique d'un point quelconque du cône dont le sommet est en 0 sera

p[cosp(cos«-f- v'— » sina)-4-^— / sin^J,

expression dans laquelle p et a sont variables et (3 constant.

D'un autre côlé l'équivalent algébrique du cône dont le sommet est en R, d'après ce qui vient d'être expos^dans l'article précédent, a pour expression

r(cos9 -+- v^— I sinô)

-hp'[cosP(cosa'-4- ^— isina')-+- V^— ' 'î^înpj-

Les quantités r, 0 et ^ sont constantes et celles p, p' et a' soni, pour chaque point de rencontre, des dépendances de la variable a. D'ailleurs l'angle |3 est exactement le même dans ces deux équivalents.

Cela poséy puisque c'est de la rencontre des deux surfaces coniques qu*on s'occupe, il faut évidemment que, pour les points qui sont communs à ces surfaces, les équivalents soient égaux, et de là résulte la condition générale

p [cosp{cosa -h^— I sina) -h^— i sin^J =:=r(cosO -h v^— I sin6)

-h p'[cos(3 (cosa'-f- v^— I sina') + ^— i sinf^J.

Egalant maintenant de part et d'autre les quantités réelles Cl les imaginaires des divers ordres, on a les trois conditions particulières

pcos^ cosa = rcosO -f- p'cos(3 cosa', pcospsina = rsin6 -hp'cosp sina', psin(3 = p'sinp.

Ayant donc pris h volonté une valeur quelconque pour a, les trois inconnues à déterminer seront p, p' et a', et l'on en obtiendra les valeurs à Taide des trois conditions ci-dessus.

De la troisième on déduit immédiatement p = p\ résultai quMI était facile de prévoir d'après l'égalité des deux cônes et leur situation symétrique, par rapport à la ligne OR, dont les extrémités servent de point de départ pour compter p et p'.

Substituant cette valeur de p' dans les deux premières conditions, elles deviennent

pcos{3cosa = rcosO -f- pcos(3 cosa', pcos{3 sina = rsinO H-pcosj3 sina' ;

prenant la somme des carrés, on trouve

p'cos^(3 = /•'-+- p'cos*p-+- 2rpcosp(cosOcosa'-i- sinOsina').

Réduisant et divisant ensuite par r, on obtient la valeur suivante:

cosiO ^ x') — ^. •

îpcosp

I)*un autre côlé les deux mêmes conditions peuvent s'écrire

pcos(3cosa — rcosO = pcosj3cosa', pcospsina — rsinô = pcosj3sina',

et si, sous cette forme, on prend encore la somme de leurs carrés, on aura

p'cos'P -h /*— :>. rp cos|3 cos(6 — a) = p*C0S'P,

ce qui conduit au résultat suivant :

cos(0— -a) = T.

apcosp

On déduit de là la valeur suivante de p en quantités toutes

connues:

'^"^acos^ cos(0 — a)* et par suite celle de a! qui sera donnée par la relation

cos( 6 — a' ) = — cos [0 — a).

Nous ne nous proposons pas ici de discuter les conséquences de ces résultats. C'est là un travail de pure analyse, qui peut s'effectuer par les méthodes connues de TAIgèbre. L'essentiel, au point de vue où nous nous sommes placé, consistait à faire voir combien il a été facile avec la nouvelle théorie de mettre ces résultats à jour et de résoudre la question.

Contentons-nous de faire voir, pour un cas dans lequel il est facile d'obtenir a priori les valeurs de p, p' et a', que ces valeurs sont conformes à celles données par les formules générales et les vérifient.

A cet effet, supposons qu'on coupe l^es deux cônes par un plan vertical passant par la ligne OU, ce plan contiendra les deux génératrices qui iront se couper en un point P, de sorte que PO et PR seront p et p'. Or, parce que ces longueurs font le même angle avec la verticale, elles seront également inclinées sur l'horizontale OU, de sorte que le triangle OPR sera isoscèlc; ce prcmjcr fait vcrilic donc la formule p = p'.

Quant à a, il est évidemment égal à 0, cl, comme la direction a' est alors exactement Tinverse de a, on aura a'=a-hT:.

Cela posé, le triangle isoscèle OPR, dans lequel les angles en 0 et R sont chacun égaux à ^, donnera

OR = r=2pco33, d'où p= ^;

^ ^ ^ 2COSp

c'est précisément là ce qu'on déduit de la formule

2cospcos(0 — <X}

lorsque a est égal à 0, puisque dans ce cas cos(0 — a) devient l'unité.

Quant à la formule

cos(0 — a') = — cos(9 — a),

elle est également vériliée, puisque le premier membre prend la valeur cos( — tt), ou — i, qui est aussi celle du second membre lorsque 9 = a.

Si les deux cônes avaient des angles générateurs différents, on emploierait Tangle (3 pour l'un, l'angle P' pour l'autre» ce qui compliquerait un peu les calculs ultérieurs, mais n'apporterait aucun changement à la mise du problème en équation.

Nous venons de donner, dans l'article LXIII, l'équivalent algébrique d'une droite coupant le plan des xy en un point quelconque R, et dirigée d'une manière tout à fait arbitraire dans l'espace ; nous avons ensuite indiqué les conséquences qui en résultent pour les équivalents des sphères et des cônes. Toutefois ces deux surfaces sont spécialisées par cette circonstance que la sphère a son centre et le cône son sommet au point R, c'est-à-dire sur le plan des xjr. Disons tout de suite comment il faut traiter le cas général.

Et d'abord, en ce qui concerne la sphère, si R est la posltiOD qu'occupe son centre dans l'espace, si l'on désigne par r

« la longueur et par 0 et 9 la longitude et la latitude de la droite OR, l'équivalent du point R sera

'•[cos9(cos6-l- v^— I sin6) h-/— 1' ""'sinçj.

Cela posé, pour qu*en partant de l'origine on puisse géométriquement réaliser la sphère qui a son centre en R, il faut, à la suite de OR porter le rayon p de la sphère dans toutes les directions, ce qui est représenté par

p[cosp(cosa -f-^^sina) -|-\/~ "*sin(3j,

expression dans laquelle p est constant et j3 et a sont chacun variables de zéro à 2 7r.

En conséquence, sous ces conditions, l'équivalent cherché sera

r[cos9(cos6 -f-^^-TsInô) 4- v/^ 'sincpj

-♦-p[cos(3(cosa -f- V— I sina) -+-\/— 1 sin(3j.

Quant au cône, son équivalent aura la même apparence algébrique; mais, pour lui, p sera variable de zéro à l'inGni, a le sera de zéro à 27:, et (3 sera constant.

Les indications que nous venons de donner complètent ce qui concerne les sphères. Il n'en est pas de même pour les cônes dont jusqu'à présent nous avons supposé les axes verticaux ; il convient donc de généraliser et de s'expliquer sur celles de ces surfaces dont les axes ont des directions inclinées quelconques.

Pour simpliQer notre exposition^ nous pouvons supposer, quelle que soit la position R que le sommet du cône occupe dans l'espace, que celui-ci est transporté à l'origine; son équivalent étant déterminé dans ce cas particulier, il suffira, quand on voudra passer à la position R, d'ajouter à cet équivalent celui du point R, c'est-à-dire si 0 et 9 sont la longitude

ei la latitude de la droite OR

rLcosç(cos6 H- )/— I sînô) H- ^— i sinf J.

Cela posé, soient /m et v la longitude et la latitude de l'axe du cône, son équivalent direciif sera

cosv(cos/ut -f- v^— I sina) 4-\/— i sinv.

D'ailleurs, a et (3 éunt la longitude et la latitude d'une génératrice quelconque, celle-ci aura pour équivalent directif

cos(3(cosa-4- v^^^sina) -h/^ sin^;

mais, pour que cette dernière direction soit réellement celle d'une génératrice, il faut qu'elle fasse avec Taxe un angle égal à Tangle générateur y du cône. C'est là un problème que nous avons traité à l'article LX, et nous avons trouvé que la condition à remplir, appliquée aux données actuelles, prend la forme

(i) cosy = cos{3cosvcos(a — fx) h- sin^sinv.

Cette condition, dans laquelle y, /a et v sont constants et a est variable à volonté, servira à déterminer, en fonction de ces quantités, la valeur qu'il faut attribuer à la latitude ^ pour que la droite dont les éléments directifs sont a et (3 représente, en effet, une génératrice du cône.

Cette détermination faite, l'expression ci-dessous

r[cos(p(cose -4- V— I sinô) h- sj—i sinf J

p[cosp(cosaH- V— I sina) -f- \/— i sinjîj

sera l'équivalent cherché de la surface conique.

Dans cet équivalent r, 9 et 6 sont constants ; p est variable de zéro à TinOni, a l'est de zéro à 27:, enOn ^ est une dépendance des angles y, fx, v et varie avec a conformément à la condition (i) ci-dessus.

Si l'on voulait avoir l'intersection de ce cône par un plan passant par l'origine, ayant pour trace sur le plan des xjr In

direction cost -h V"' sinr, et faisant un angle A avec le

même plan des xy^ on trouve que Téquivalent algébrique d'un point quelconque de ce plan situé a une distance X de l'origine serait

X[(coso' -h v/— I sino'COôA)(cosT -+-^— i sinr) ^

-l"V — I sinAsino-Jy

(7 étant l'angle que fait la direction de la longueur A avec la trace du plan coupant.

Or, pour les points communs au cône et au plan, il faut que ce dernier équivalent soit égal à celui du cône. De cette égalité résulteront trois conditions entre les constantes r» (p, d,T»A, la variable indépendante a, la quantité ^ fonction connue de a, 4n les trois inconnues p, X et o-. Le problème se trouve donc réduit à une pure question d'analyse, et il nous suffit, pour l'objet qui nous occupe, de l'avoir ramené i ce point.

Les explications qu'on vient de lire nous paraissent de nature à bien mettre à jour tout ce qui concerne les sphères et les cônes, ainsi que les rapports qu*ils peuvent avoir, soit entre eux, soit avec les droites et les plans. Pour compléter cet exposé des surfaces élémentaires, nous allons entrer dans quelques détails sur les surfaces cylindriques dont jusqu'à présent l'occasion ne s'est pas présentée de nous occuper.

Imaginons que, sur le plan des xy^ on trace une courbe quelconque, et considérons cette courbe comme représentant la trace d'un cylindre sur ce plan.

Un rayon vecteur dirigé quelconque de cette courbe, ayant une longueur r et une direction déterminée par l'angle 6, sera

représenté par r(cos0 -h ^— i sinô), expression qui convient à toutes les droites passant par l'origine ; mais, puisqu'il s'agit ici d'une courbe déterminée, on comprend que, dans une pareille courbe, r et 0 ne peuvent pas être arbitrairement variables, et que l'une de ces quantités est nécessairement liée à l'autre. Nous devons donc admettre que r est une cer*

laînc fonclion de 0, soil /( 0) ; la forme de la fonction / élani une conséquence directe de la définition géométrique de la courbe.

Cela posé, pour former le cylindre dont cette courbe est la trace, il faudra par l'extrémité de chaque rayon vecteur mener une parallèle à Taxe. Or, si Ton désigne par a et |3 la longitude et la latitude de cet axe, toutes ces parallèles auront pour direction

cospfcosa -h ^—i sina) -f- y^— r sin^,

de sorte que, si p est une longueur variable comptée sur ces parallèles à partir de l'extrémité du rayon vecteur auquel elles correspondent respectivement, il est fticile de se rendre compte que l'équivalent de la surface cylindrique sera

/(e)(cos0-f-v^sine)

-h p[cosp(cosa -f- V— • sina) -h v^— i ' sin^J.

Dans celte expression, ^ et a sont des quantités constantes, et les variables sont 6 et p.

Supposons maintenant qu'on veut obtenir l'intersection de ce cylindre par un plan dont la trace coupe l'axe des a: à une distance a de l'origine et fait avec cet axe un angle r, ce plan étant d'ailleurs incliné suivant l'angle A sur le plan des a:j\ L'équivalent algébrique d'un point quelconque de ce plan sera

a •+■ X^coso" -h ^—i cosA sln(7)(cosT -h v'— * sinr)

-+-V — I sinAsino-J.

Dans cette expression X représente une longueur quelconque située sur le plan et comptée à partir de l'extrémité de a, l'angle <r est celui que fait la longueur X avec la trace du plan.

Or, pour les points communs au plan et au cylindre, il faut que ce dernier équivalent soit égal è celui du cylindre. De cette égalité résulteront trois conditions entre les constantes a, r, A, a, (3, la variable 9 et les trois inconnues p, X, a; le pro-

blême se trouve ainsi ramené, comme le précédent, à une simple question d'analyse.

LXVIIK

A supposer qu'on ne voulûl voir, dans les divers exemples que nous venons de traiter, que quelques spécialités qui, nous le reconnaissons sans peine, sont loin de former une théorie complète, il nous semble qu'on ne saurait toutefois leur refuser le mérite d'indiquer clairement comment les longueurs et les directions sont susceptibles de se combiner en Algèbre, les unes avec les autres, par des liens absolument identiques à ceux qui les enchaînent en Géométrie, et de permettre à l'es, prit d'entrevoir par quels procédés pourra et devra être constituée la théorie appelée à devenir l'expression vraie et définitive des rapports qui existent entre les deux sciences.

Présentons à ce sujet quelques réflexions dans lesquelles nous reviendrons sur les considérations générales qui sont le fondement de la pensée que nous venons d'émettre et qui se-* ront le fil directeur des recherches à entreprendre sur cet important sujet.

Les deux générateurs nécessaires, mais en même temps uniques, de la science de l'étendue tout entière, sont l'élément continu et l'élément directif, la longueur et l'angle, c'est-à-dire la quantité et son mode d'existence, sa situation dans l'espace.

Qu'on nous fasse connaître la valeur numérique de tel nombre de longueurs qu'on voudra, qu'on nous indique en même temps les directions respectives suivant lesquelles ces diverses longueurs doivent être portées à la suite les unes des autres, nous pourrons, à l'aide de ces données, et en faisant usage des procédés de construction que la Géoiflétrie nous enseigne, créer une figure représentative de ces longueurs et de leurs situations et obtenir ainsi l'image exacte et visible de ce que l'énoncé de la question a voulu définir et imposer.

Supposons cette figure construite. En dehors des données qui ont servi à la former, données qui ont leur définition

propre ei qui sont indépendantes les unes des autres, il ré* sultera, du fait même de la construction» la création de nouveaux éléments, tant longueurs qu'angles, qui devront se trouver, soit entre eux, soit avec les données, dans certains rapports obligés de grandeur et de position.

En effet, sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans aucun détail» par cela seul qu'ils font partie d'un ensemble que sa définition rend invariable, il faut bien que, pour concourir a la réalisation de cet ensemble et pour assurer sa fixité, ils soient soumis à un ajustement plutôt qu'à un autre, et de là doivent résulter pour eux certaines obligations, conséquences inévitables de la mission qu'ils sont appelés à remplir.

Faisons comprendre, par un exemple fort simple, la portée de cette observation.

On donne une première longueur a qu'op suppose placée d'une manière quelconque sur un plan. On donne ensuite, dans le même plan, une seconde longueur 6 qui est assujettie à la double condition de partir d'une des extrémités de a et de faire un angle 6 avec la direction qu'il a convenu de prendre pour a. Enfin on donne encore sur ce plan une troisième Ion* gueur b' partant de l'autre extrémité de a et faisant avec la direction de a un angle B\

Appliquant à ces données les procédés ordinaires de con> struction géométrique, on formera la figure P'M'H P (Jig* i3),

Fig. i3.

qui est la reproduction visible de l'énoncé. Or, cela fait, il s'établit entre les diverses parties de cette figure, autres que les données, comme par exemple les longueurs MT, HP% PP' et les inclinaisons de ces longueurs sur la ligne de base, il s'établit, disons-nous, divers rapports, soit de grandeur, soit de

position, qui soni à la vérité et ne peuvent être que des conséquences des données mâmes, mais dont les valeurs, en fonction de ces données, ne sopt pas immédiatement assignables, et exigent pour être obtenues une suite de recherches et de combinaisons à entreprendre sur ces données.

Ainsi, plus particulièrement, les points P et P' sont à une certaine dislance l'un de l'autre; ils sont situés sur une droite ayant une certaine direction. Celte distance et cette direction étant des conséquences obligées de la construction doivent pouvoir être déterminées en fonction des données, et Tétude de la Géométrie a pour objet de nous faire connaître les moyens a Taide desquels cette détermination pourra se faire.

A cet effet» celte Science s'applique i rechercher et à éva* luer autant que possible tous les rapports existant entre les diverses parties des tracés flguratifs que les ressources qui lui sont propres lui permettent d'établir, en allant du simple au composé, et Tari du géomètre consiste à savoir puiser dans ce recueil de vérités acquises celles qui lui paraissent les plus aptes, en raison de l'état même de la question, à le conduire au but qu'il se propose d'atteindre.

Mais dans cette Science, on le sait, il n'y a pas de méthode générale susceptible de guider l'opérateur dans le choix à faire de ces vérités, suivant les cas particuliers qu'il a à traiter. Plus il possédera de connaissances acquises, plus il apportera de sagacité dans l'emploi de ces connaissances, plus enfin il saura mettre son raisonnement en rapport avec les exigences de la question, et plus aussi il sera en droit d'espérer le succès. Quant à la certitude, nous le répétons, il n'existe pas en Géométrie de méthode propre à la lut assurer. .

On peut dire qu'en Géométrie on voit parfaitement l'effet direct et immédiat des données, puisqu'on en possède la représentation figurée avec toute l'exactitude possible ; mais les conséquences plus ou moins éloignées de ces données sont loin d'être apparentes, et les liens qui doivent rattacher ces conséquences aux faits primitifs de l'énoncé ne sont pas toujours facilement saisîssables.

Or c'est précisément le contraire qui arrive lorsque, au lien de traduire les données d'une question à l'aide des éléments

linéaires ei angulaires de la Géométrie, on met en œuvre, pour cette traduction, les moyens que nous offre l'Algèbre, soit par Tusage du nombre, soit par celui des opérations qui sont propres à celte science. Il est certain, en effet, que l'aspect des expressions analytiques de diverses longueurs dirigées écrites les unes à la suite des autres est peu propre à nous éclairer sur l'enchatnement et la constitution actuels des données d'une question, ainsi que le fait dans la Géométrie Timage d'une figure présentant à la vue ces données telles qu'elles existent, et dans Tordre même qui leur est assigné par l'énoncé. Dans la traduction algébrique tout cela nous échappe presque entièrement; mais, d'un autre côté, lorsque les éléments analytiques, bien précisés au préalable par l'opérateur, auront été convenablement liés entre eux, suivant les conditions mêmes posées par la question, ils seront devenus alors parties intégrantes des équations représentatives de ces conditions, et la résolution de ces équations, dans lesquelles les quantités connues se trouvent logiquement et mathématiquement combinées avec celles à déterminer, donnera un moyen certain, infaillible, par la simple application des règles de l'Algèbre, de connaître tous les faits, d'évaluer tous les rapports qui sont des conséquences plus ou moins éloignées de la question proposée.

Je suis loin de prétendre pour cela que, dans l'exemple que je viens de citer et dans tout autre, les considérations pures de la Géométrie ne pourront pas conduire au but; mais, comme ici il n'existe pas de méthode générale indicatrice, je ne dirai pas des meilleurs moyens à employer, mais d'un moyen quelconque à mettre en œuvre pour obtenir la solution, on pourra être exposé a chercher beaucoup avant d'avoir trouvé, et même à ne rien découvrir après un très-grand nombre de tentatives.

Avec les ressources de l'Algèbre, l'opérateur ne doit avoir qu'un seul souci, celui de mettre le problème en équation. Or cela sera toujours très-facile avec les équivalents direcUfs. puisqu'il n'y aura qu'à faire suivre à ces équivalents, combinés

avec ceux des longueurs» les indications mêmes de l'énoncé et à écrire que ces expressions, représentatives des longueurs dirigées, satisfont aux conditions auxquelles cet énoncé déclare qu'elles doivent être soumises.

Par exemple, dans la figure ci-dessus, après avoir pris la direction de a comme point de départ, si Ton joint par une droite les points P, P' et si l'on désigne par l la longueur inconnue PP', par 72 Tangle que fait cette droite avec la ligne de base, il en résultera que la longueur dirigée PF aura pour équivalent algébrique

$(cosyi -f- V^— I sinyj).

Quant à la longueur b, elle a pour équivalent

6(cose-4-/^sîn9); pour la longueur 6' dirigée de M' en P', son équivalent est

6'(cose'-f-^~sin0').

tandis que, dirigée de P' en M', son équivalent sera

-fr'(cose'-f-v^^sin6').

Ayant ainsi établi toutes ces équivalences et remarquant que Cf 6, ^, b^ considérés tant au point de vue des longueurs qu'à celui des directions forment un quadrilatère fermé, il n'y aura qu'à formuler la condition de cette fermeture, ce qui, au point de vue géométrique, revient à dire que

a dirigé -f- 1 dirigé -h $ dirigé 4-. b' dirigé

conduit au point de départ, ou, en d'autres termes, que cette somme est nulle.

Dès lors, remplaçant ces diverses longueurs dirigées par leurs équivalents algébriques et ayant égard au sens suivant lequel elles marchent, la traduction immédiate de l'énoncé se fera par l'équation

6(cosd H- v~sin6)

ï(cosyî 4- V^siny;) — 6'(cose'4- v'^sîne') = o.

Gela fail» il île s'agira plus que d'exécuter de simples opéralions de calcul bien connues pour obtenir ^ et 77.

Égalant en effet à zéro et le réel et Timaginaire, on aura les deux conditions

ÇcosTî — //cosô'— a — ftcosS, ÇsinTî = 6'sin0'— ésinô,

à l'aide desquelles les deux inconnues seront facilement obtenues.

Nous pouvons, avec la même figure, donner un second exemple de la simplicité de ces déterminations.

Si Ton prolonge respectivement MP et M'P' au delà des points F et P' jusqu'à leur rencontre en S, on obtiendra deux longueurs PS et P'S, dont les valeurs sont une conséquence nécessaire des données, mais qui ne sont pas immédiatement connues. Pour les obtenir, on remarquera que ces longueurs sont dirigées: Tune suivant 6, Tautre suivant 6', et que, combinées avec a, b et b'y elles forment le contour triangulaire fermé M'MS. Dès lors, si on les désigne par x et a/, la condition analytique de cette fermeture sera

a -+-(6 -f-^)(cos0 H- v"-^sin0) — (^'-H ft')(cose'4- v^~sinô')=^o.

Parvenu à ce point et égalant séparément à 2éro le réel et rimaginaire, nous obtenons les deux conditions

fl4-(6 -+-a:)cosô~{ar'-4- 6')cosô'=:o, (5 H- a;) sin0 — (x' H- 6' ) sin 6'= o,

dont la résolution fera immédiatement connaître les inconnues X et x'.

Veut-on dansie quadrilatère M'MPP' connaître en longueur et en direction la diagonale M'P, on remarquera d'abord que l'équivalent algébrique de cette longueur dirigée de M' vers F est

X(cosw -+- v— « sinoa),

> désignant la longueur cherchée et ot) l'angle que fait sa di-

reciion avec celle de a. On remarquera de plus que celte diagonale, combinée avec a et avec 6, forme un contour triangulaire fermé, partant de M' avec a et se terminant au même point avec PM'. Dès lors, en tenant compte que, pour cette fermeture, il faut que la diagonale marche en sens inverse, on trouvera pour la condition cherchée

a-+-6(cos0-+- v^—i sin9)--X(cosa) -+- y/— i sina>) = o.

Égalant de part et d'autre à zéro le réel et l'Imaginaire, on aura les deux conditions

a-i- icosô — Xcosw = o, bsïnO — Xsinw = o,

à l'aide desquelles on obtiendra sans peine X et u.

Le lecteur voudra bien nous excuser d'être entré dans ces détails; mais il comprendra, nous l'espérons, combien ils sont propres, non-seulement à faire voir qu'en suivant la marche indiquée on sera toujours certain d'arriver à une solution, mais encore que la préparation de cette solution peut toujours être obtenue avec une grande facilité.

Le spécimen dont nous nous sommes occupé dans ce qui précède se rapporte à une figure tracée sur un plan. Nous avons cru que cette simplification ne pourrait au début être que favorable à l'exposé de nos idées et qu'elle était très-suffisante d'ailleurs pour mettre à jour toute la rationnalité du principe que nous avons eu en vue d'établir. Au reste, à ceux qui ne voudraient voir ici qu'une répétition de ce que nous avons dit à ce sujet dans notre première publication, nous allons donner une plus complète satisfaction en nous occupant des combinaisons de la longueur avec les directions dans Tespace. On jugera aisément, dès les premiers pas que nous ferons dans cette étude, que les mêmes idées, les mêmes moyens, les mêmes principes s'appliquent aussi bien aux cas les plus généraux de la science de l'étendue qu'au cas particulier des directions planes.

Une des questions les plus simples qu'on puisse se proposer de résoudre est celle qui. consiste à déterminer en grandeur et en direction la diagonale d'un cube.

Si l'on prend pour origine l'un des sommets de ce cube et pour axes des coordonnées les trois arêtes qui passent par ce sommet ; si, en outre, on appelle a la longueur du côté du cube, les arêtes dirigées de ce cube seront successîTement

a, a^ — I , a^—i , de sorte que, si, partant de l'origine, on parcourt à la suite l'un de l'autre ces trois chemins, leur

somme a -f* a y — i + ayj^i conduira à rextrémité même de la diagonale issue de l'origine. En conséquence, \ étant la longueur de cette diagonale, a et ^ étant sa longitude et sa latitude, on devra avoir

a -f- ay — I -h ay— I

— ; [cosp (cosa -h v^^ sina) -+- yf^ * sîn j3j.

On voit d'après cela avec quelle simplicité le problème est mis en équation. Égalant maintenant ce qui est réel de part et d'autre, ainsi que les imaginaires de même ordre, on aura les trois conditions

a:=^cospcosa, a = ^cos|3sina, a=:^sinj3,

à l'aide desquelles on pourra évaluer ^, a et [3 ; les résultats de cette évaluation sont

\=zaJ%^ cosa = sina = --=î cos3 = \/^j sin5==-^>

et l'on retrouve ainsi les valeurs ordinaires qu'on obtient par les moyens usuels de la Géométrie.

Passons à un cas un peu plus compliqué.

Supposons à cet efîet que le volume dont on s'occupe pos-

sède comme le cube une base carrée, que de plus ses trois arèies ont des longueurs égales que nous désignerons par a, que les deux faces latérales dont Tune passe par l'axe des x ' et dont l'autre est sa parallèle restent perpendiculaires au plan de base, mais que les deux autres font avec ce plan un . angle 6,

Dans ces circonstances, les arêtes situées sur les axes des x et des /, ou qui leur sont parallèles, seront exprimées, comme

précédemment, par a et a^—i; mais les autres parallèles au pian des xz, faisant avec Taxe des x un angle d, auront pour expression

a\cos6 -h v/'—i 'sinSJ'

de sorte que la somme des chemins parcourus en suivant ces arêtes sera

a + a^^^x 4- a(cos0 4- V— i sin^j;

et, comme alors on est parvenu à la seconde extrémité de la diagonale, si l'on conserve à ^, a, (3 les attributions précédentes, on devra avoir

a-f-aV— I -t-a(cos0 -f- yj—i sin6 j

= l [cosp (cosa -♦- sj— I sina) -h v^— i sin (îj;

le problème se trouve ainsi mis en équation. - Égalant maintenant ce qui est réel de part et d'autre, ainsi que les imaginaires de même ordre, on aura les trois conditions

a -4- a cos © =r $ cos p cos a, a = $ cos (3 sin a, a sin 6 = Ç sin {3,

qui serviront à évaluer ^, a et p.

On élimine facilement Ç et p en divisant les deux premières l'une par l'autre, et l'on trouve

tanga — -..

^ IH-COSÔ

par suite

I I -f- cosô

yi-f (H-COS0J' V'' -*-(' -hcosô)»

Pour avoir ^, on fera la somme des carrés des trois condilions, ce qui donnera

^ = a y''3 H- 2 cos S ,

moyennant quoi la troisième condition donnera

. ^ ^sin5 sinô

sinp = — : — = =r

<; v'^-t-^cosô

et par suite

2(1 -+-COS0) -+- cos»5

cos (3 =

Après rétude de ces circonstances qui sont fort simples, et qu'il convenait de choisir telles au déhujL, nous pouvons passer à une question plus générale qui les résume toutes.

A cet effet, proposons-nous de déterminer en grandeur et en direction la diagonale d'un parallélépipède quelconque. Appelons a, 6, c les longueurs des trois arêtes de ce parallélépipède; prenons un des sommets pour origine et la direction d'une de ses arêtes, celle a, par exemple, pour axe des x; supposons enfin que le plan de la face ab est celui des xj\

Si <p désigne dans ce dernier plan l'angle que fait b avec a, la longueur dirigée de b sera exprimée par

fr(cos(p H- v^— I sin(p) ;

d'un autre côté, si l'on appelle /x et 6 la longitude et la latitude de c, le représentant algébrique de la troisième arête dirigée sera

c[cos0 (cos|ui -h v/— I sina) -f- y''— i sinôj.

Cela posé, l'addition géométrique de ces trois arêtes conduisant à l'extrémité de la diagonale qui part de l'origine, il faudra que cette somme soit égale à la diagonale dirigée, de sorte que, l étant la longueur de cette dernière et a et (3 désignant sa longitude et sa latitude, les conditions géométriques aux-

quelles il faut saiisfaire seront algébriquemeni représeiilées par

a 4- 6(cos9 -{- ^— I sinç)

-4- c [cosÔ ( cos/x -f- v^— • I sin /Ji) -f-^— i sinOj

= 4[cos(3(cosa-l- v^— I sina) -f- y^— i sin(3j.

Le problème se trouve ainsi mis en équation.

Égalant maintenant le réel au réel, puis les imaginaires des deux ordres, on obtient les trois conditions suivantes :

a -h frcos9 -t- c COS0 cos^ t= \ cos|3 cosa, 6sinf + ccos6sin|x = ^cos^sina,

csinO = ^sinp,

à l'aide desquelles on déterminera ^, a et [3.

Prenant d'abord la somme des carrés, le second membre se réduira à ^', et par suite on trouvera

Ç = v^«'-+-6'-Hc' -+- 2 rt^ cos 9 4- 2 c cos 0[a cos |x h- fc cos (9 — ^)] .

Divisant ensuite la seconde par la première, le second membre se réduit à tanga, et l'on a

fcsino -h cQosO sina

taneût == 1 — ■ 7 — ' — •

° an- 6COS9 -h 6'cos0 cos/jt

Enfln de la dernière on déduit

<?sin0 fsinô

& ya^H- 6'-H c'-h 2ÛDCOS9 -4- 2CC0S 0[acos|ùt -f- 6cos(9 ~ F-n

et Ton obtient ainsi les trois inconnues en fonction des données.

Si Ton voulait de là revenir au cube, il faudrait pour ce cas particulier poser, savoir :

les formules générales donnent alors

;=:--av^, tanga--i, d'où sina — cosa = — =^

enfin

ainsi que nous l'avons constaté ci-dessus.

Pour donner un exemple des procédés à suivre lorsque les droites, au lieu de passer par l'origine, sont situées d'une manière quelconque dans l'espace» nous chercherons à quelles conditions doivent satisfaire les éléments qui définissent deux droites pour que celles-ci se rencontrent.

Si l'on appelle R le point où une droite perce le plan desxjr, si l'on désigne par r la longueur OR et par 6 Tangle qu'elle fait avec Taxe des x, la droite dirigée OR aura pour équivalent

algébrique

r(cos0 -r- v^— -I sinO);

d'un autre côté, si p est la distance variable qui sépare R d'un point quelconque de la droite, si a et p sont la longitude et la latitude de celle-ci, le chemin parcouru pour aller de l'ori- ' gine à tel point qu'on voudra de la droite sera algébriquement représenté par

r(cos9 -f- v/— « sinô)

-+-p[cosp(cos«-i- v^^sfna) -\-^^ sinpj.

Un point quelconque d'une seconde droite dont les éléments directifs et de situation, par rapport à l'origine, seront représentés par les mêmes lettres accentuées, aura pour équivalent en Algèbre

r^Ccos^'-t-V^^sinO')

p'[cosP'(cosa'-f- v'^ sina') 4- v^^i^"' sin(î'J.

En conséquence, pour le point commun aux deux droites, lorsqu'il en existera un, il faudra que ces deux équivalents

soient égaux. On voit donc que la mise du problème en équation est des plus simples.

De cette égalité on déduit, comme à l'ordinaire, les trois conditions suivantes :

rcos0 -f-pcos^cosa — /•'cosô'-h p'cos^'cosa', rsinô -f-pcos(3sina = r'sinO' -+-p'cos(3'sina',

psinp = p'sini3'.

Dans ces conditions, tout est constant, excepté p et p'. Or, comme on a trois équations pour déterminer deux inconnues, on voit que le problème ne sera pas toujours possible, et que, pour qu'il le soit, il faudra. que l'équation finale résultant de l'éliminaiion de p et de p' soit satisfaite.

La dernière condition donne

pj^^ P - sinp' ^

substituant cette valeur dans les deux premières, on a

rcosO -f-ocosScosa— -r'cosO'-hp^^— ^ cosû'cosa',

sin 3 rslnS -f-pcosôsina — r'sin9'-^p -t-^-, cosû'sina'.

et l'on en déduit les deux valeurs suivantes de p:

rrosO — r' cos^'

sin u cos6'cosa'-r— ^ — cosôcosa ^ sinp' ^

rsîn^— r'sinô'

cosp'sina' . ^, — cospsina ^ sinp' ^

Égalant donc ces deux valeurs, on aura pour la condition

cherchée

rcos9 — r* oos9'

cos(3'cosa'sinj3 — cospsin^'cosa

r sin 9 — r' sin 9'

cos P'.slu od sin (3 — cos j3 sin (3' sin a

Il n'est pas sans intérêt de faire voir que cette déterminn^ tion» conséquence directe de la nouvelle théorie» est en coniplet accord avec les résultais obtenus par les procédés ordinaires de la Géonétrie analytique.

En effet, lorsqu'on a recours à ces procédés, une droite quelconque est représentée par le système des deux équations

dans lesquelles |x et v sont les coordonnées du point R où la droite perce le plan des x^f m est la tangente que fait avee Taxe des z la projection de la droite sur le plan des xm^ en6n n est la tangente que fait avec le même axe la projection de it droite sur le plan des yz.

Une seconde droite, perçant le plan des xjr en un point R', sera représentée à son tour par le système d'équations

x' = m' z' 4- ix\ y = n'z'-hv\

Cela posé, on déduit de là par voie de soustraction

X — x'= mz — m' z' -{- a — jt;.', >• — j-'== nz — ^'z'-hv — v'.

Or, lorsque les droites se rencontrent, on a pour le point

commun

x=zx', y^y\ z'-^z'

et par suite

De ces deux équations, on déduit deux valeurs de z qui doivent être égales et qui conduisent ainsi à la condition

Cette condition doit donc être identique avec celle que nous venons de trouver : c'est ce qu'il est facile de vérifier.

Et d'abord, d'après la définition de fjt, v, fx', v', il est évident que Ton doit avoir

tx — ttfz= rcosO — /'cos9', V — i/'~ /sinC^ — r'sinô';

on voit donc que ces numérateurs sont les mêmes que les précédents.

Quant aux tangentes m, m'y n, n\ on remarquera que, si Ton transporte l'origine au point R où la première droile perce le plan des xj, les coordonnées Ç, m, K du point de la droite si* tué à la distance unité de cette nouvelle origine auront pour valeurs

^ = cosacos(3, yj = sinacosJ3, 2; = sinp.

Des lors m, qui est le rapport de 2 a Ç, sera ; — ~-^ et /i,

"^ sin(3

nui est le rapport de yj a Ç, sera égal a : ^ *-■: on aurait de

sinp

même

cosa'roRÔ' , sina'cosS' sin^' sm^'

De là on déduit

, cosa'cos(3'sin(5 — cosa cos|3sinp'

sinpsmp

sinaVosP'sjn(3 — sinaros(3sin(3'

~~ sln{3sin^'

Or on reconnaît là» en faisant abstraction du diviseur sin{3sînp', qui serait commun aux deux membres, les dénominateurs des fractions dont l'égalité constitue notre équation de condition.

L'identité des résultats obtenus par les deux procédés se trouve donc ainsi parfaitement établie.

Dans le cas particulier ou a' est égal à a, les angles ^ et (3' disparaissent d'eux-mêmes de l'équation de condition, qui se

réduit à

rcosO — r'cosÇ' rsinO — r' sin0'