CHAPITRE II

de calculs ultérieurs , Tentraye imaginaire peut disparaître.

On est ainsi naturellement conduit à se demander quelle peut être la nature des calculs qu'il sera permis d'entreprendre et d'exécuter sur les expressions imaginaires, quels seront les rapports qui lieront ces expressions soit entre elles soit avec le réel.

Sans chercher à faire ici une réponse complète à celte question, nous présenterons sur ce sujet quelques réflexions qui non-seulement nous paraissent propres à éclairer la marche qu'il faudra suivre et à faire éviter certains écueils, mais qui contribueront à mieux préciser encore l'idée que nous devons nous faire de la nature de Timaginaire et du véritable rôle qui lui appartient en algèbre.

Bien que dans l'expression aV— i la quantité réelle A soit accompagnée d'un signe d'opération que l'algèbre est impuissante à effectuer^ il ne doit pas pour cela répugner à l'esprit qu'on puisse pratiquer certains calculs sur cette expression. Les observations que nous venons de présenter conduisent à cette conclusion^ essayons d'en donner une plus complète justification.

On conçoit que les calculs que l'algèbre exécute sur la généralité des objets qu'elle soumet à ses investigations^ que ces objets soient définis ou indéterminés^ que leur désignation soit explicite ou implicite, qu'ils appartiennent à l'ordre physique ou à l'ordre intellectuel, qu'ils soient^ par exemple, une longueur, un poids, une intensité calorifique, lumineuse, ou bien un nombre^ un rang^ le degré d'une puissance, une probabilité; on conçoit, disons-nous^ que ces calculs pourront être à titre égal appliqués à l'objet représenté par V---^) et que, bien que cet objet soit irréalisable dans sa forme actuelle^ il n'en reste pas moins susceptible, comme tous les autres, de tomber sous le coup des spéculations de nombre et de rapport qui constituent le domaine de l'algèbre. Il le peut d'autant plus que^ quoique intraduisible, quant au résultat, en langage algébrique, il n'en a pas moins dans cette langue une définition nette et précise qui nous servira de fil directeur dans nos recherches.

Ces spéculations, en effet, et c'est là un de leur caractère distinctif, restent étrangères à l'essence des objets auxquels

iS DES FORMES IMAGINAIRES.

elles s'appliquent ; elles ne se préoccupent pas de la nature particulière de ces objets ; leur mission consiste seulement a faire connaître le plus ou le moins qu'il en faut prendre, à rendre manifeste la série des opérations de calcul qui doit réaliser ce plus ou ce moins pour qu'en cet état l'objet en question devienne susceptible de satisfaire à certaines conditions préalablement indiquées.

Je n'ai pas besoin^ par exemple^ de savoir ce qu'est une chose pour être convaincu^ alors même que cette chose serait impossible à obtenir^ qu'elle se contiendra elle-même une fois; qu'ajoutée à elle-même elle produira deux fois celte chose^ que retranchée d'elle-même elle donnera zéro pour reste, qu'ajoutée à des choses égales elle ne détruira pas Tégalilé préexistante à cette addition, et ainsi de suite. Ce sont là des relations générales^ universelles^ dont la vérité n'est nullement dépendante de la définition des choses auxquelles elles s'appliquent.

Seulement, il arrivera le plus souvent, si l'objet soumis au calcul est irréalisable, que la plus ou la moins grande partie de cet objet qui constitue la solution soit tout aussi irréalisable que l'objet même ; mais la relation algébrique qui sera l'expression de ce plus ou de ce moins continuera de subsister dans toute sa force, parce qu'il faudra bien qu'elle soit toujours prête à produire ses etTets, si les empêchements qui frappent l'objet venaient à disparaître.

Il ne sera pas d'ailleurs toujours nécessaire que cette sorte d'impossibilité existe au début pour que le résultat ne puisse pas être réalisé ; cela dépendra^ d'une part de la nature de l'objet, d'autre part de celle des opérations ultérieures auxquelles il devra être soumis. Si^ par exemple^ on demandait de faire équilibre à un poids de 200 kilogrammes avec des hommes pesant chacun 75 kilogrammes : bien que l'idée d'un homme de ce poids soit parfaitement concevable, il ne serait pas possible d'appliquer à l'objet homme l'opération qui consiste à en

prendre 2 + ^ » parce que cet objet par lui-même est essentiellement indivisible.

Et^ à l'inverse, bien que l'idée d'un tiers d'homme soit une impossibilité pour notre intelligence^ il ne s'ensuit pas que toute