CHAPITRE II

question dans les données de laquelle figurera cette impossibililé conduise par cela même à un résultat irréalisable • cela dépendra de la nature des opérations à exécuter qui, soil dans le cours des recherches, soit à la fin, pourront quelquefois détruire rimpossibililé initiale. Si par exemple on demandait combien il faut de tiers d'homme, chaque tiers pesant 25 kilogrammes, pour obtenir un poids de 75 kilogrammes, on trouverait qu'il en faut trois, réponse qui reconstituerait l'homme unité, et rendrait réalisable ce qui, d'après l'énoncé, ne paraissait pas pouvoir l'être.

Que conclure de ces observations et de ces exemples si simples? Qu'en ce qui concerne les supputations de l'algèbre sur le nombre et le rapport des choses, il serait hasardeux, ou tout au moins prématuré, d'affirmer qu'il y a des impossibilités absolues, persislantes ; que souvent ces impossibilités ne seront que relatives, parce que, dans toute question, les moyens de solution sont représentés par des opérations qui, tantôt mettent à jour des impossibilités non prévues, tantôt dénouent des imposiribililés existantes.

En conséquence de ce que V--ï est une opération irréalisable, ce ne sera pas une raison pour nous de nous abstenir de la recherche des rapports algébriques qui peuvent lier les expressions de la forme A yf^, A + BV— i, soit entre elles, soit avec les expressions réelles, et nous pouvons même prévoir d'après ce que nous venons de dire, que plusieurs des rapports déjà connus et constatés dans la science leur seront applicables. Seulement, comme la nature de l'impossibilité V--i est algébrique, comme l'opération qui la représente se combinera, soit avec celles que nous mettrons en oeuvre pour résoudre la question, soit avec celles qui représenteront la solution, nous aurons à examiner soigneusement ce qui doit advenir, pour le résultat, du concours des unes et des autres et de leur combinaison avec celle qui se trouve déjà dans les données sous la forme V—-I.

VU

Nous devrons, d'un autre côté, nous prémunir contre une tendance à la généralisation par trop familière à certains e»-

20 DBS FOBMBS IMAGINAIRES.

prits , écueil d'autant plus dangereux qu'il est plus séduisant.

Nous venons de dire que plusieurs des relatious admises dans la science seront applicables aux expressions imaginaires ; nous en avons indiqué quelques-unes^ par exemple :

et on pourrait en citer d'autres. Ces rapports doivent exister, en effet, quelle que puisse être la quantité a connue ou inconnue, réalisable ou irréalisable. Mais lorsque les raisonnements qui auront confirmé la vérité d'une relation algébrique reposeront sur la considération que les nombres auxquels ils s'appliquent sont essentiellement réels, il pourrait être fort imprudent de vouloir étendre Tinfluence de ces relations aux nombres imaginaires, d'appliquer immédiatement à ceux-ci les mêmes attributions et les mêmes défenses; une discussion préalable sera dans ce cas indispensable.

Il ressort, par exemple, de la définition du nombre premier qu'il est impossible qu'un tel nombre soit égal au produit de deux facteurs entiers. Or l'on se tromperait si l'on voulait appliquer la même interdiction à des facteurs binômes imaginaires entiers, car il existe beaucoup de nombres premiers qui sont égaux au produit de deux pareils facteurs.

D'un autre côté, on sait que si L désigne un certain angle, la valeur du cosinus de cet angle en fonction de l'arc est donnée par la formule :

COS L= I 1- — o— : — . . . .

Or serait-on bien venu à dire, sans examen et sans autre considération que celle de l'analogie, que lorsque L devient imaginaire de la forme L V^, on doit avoir

cosLV— 1 = 1+ - — h — T-7+ ?

Outre qu'on ne sait pas ce que peut être un arc imaginaire, cette dernière formule n'est-elle pas de nature à détruire toutes les idées que nous avons ?uv la nature des cosinus? Les pro-