CHAPITRE II

priétés essentielles de ces sortes de quantités ne sont-elles pas que les cosinus sont toujours plus petits que Tunité? que leur grandeur diminue à mesure que celle de l'arc augmente de-

, puis zéro jusqu'à *? qu'entre - ei ^ ils deviennent négatifs?

Or ne faudrait-il pas ici d'autres définitions et expliquer au préalable ce que peut être un cosinus qui est toujours plus grand que Tunité, qui n'est jamais négatif, et qui aiigmente indéflniment ai^ec la grandeur de l'arc? C'est là à coup sûr tout autre chose que ce que nous appelons cosinus. Ainsi, outre que la formule n'est pas justifiée, les conséquences auxquelles elle conduit sont tellement contradictoires avec les propriétés ordinaires des cosinus, que ce serait bien le moins, si elle pouvait être vraie, qu'on établît cette vérité autrement que par une simple déduction analogique. ,

Concluons donc que, pour toutes les relations algébriques dont la démonstration repose sur la considération essentielle que les nombres sont réels, il est nécessaire, il est indispensable, ayant de statuer, de procéder à la recherche la plus attentive, la plus scrupuleuse des modifications que la présence de l'imaginaire est susceptible de leur faire subir.

C'est là un travail spécial qu'il n'est pas possible de sous-entendre^ ainsi qu'on Fa fait trop souvent ; un travail sans lequel on ne pai*viendra pas à dissiper les incertitudes qui régnent dan^ les esprits, et qui, par lui-même, est très-propre à rendre plus familière, mieux justifiée et par conséquent plus accessible aux intelligences l'intervention de la forme imaginaire.

Vil!

Nous ne saurions ici donner à ce sujet tous les développements qu'il comporte, mais nous pensons qu'il ne sera pas inutile de présenter quelques indications sommaires sur la manière dont on peut concevoir que les opérations les plus élémentaires de la science du calcul peuvent être appliquées aux expressions imaginaires, tout en se conformant aux règles ordinaires que l'algèbre autorise et prescrit.

En faisant abstraction dans A \r=~i, ainsi qu'on le pratique en algèbre^ de l'espèce particulière de quantité que A pour-

22 DES FORMES IMAGmAIRES.

rait représenter, s'il se trouvait momentanément dépouillé de Tentrave imaginaire, on concevra que A se réduit alors à une certaine collection d'unités purement numériques, et que A V---T pourra par conséquent être considéré comme indiquant que ropération impossible V^ doit élre répétée quatre fois. Je pourrai donc rester toujours dans Tig^norance de la signification qu'il faudra attribuer à yf^, mais je n'en comprendrai pas moins que l'on peut se proposer de répéter une fois, deux fois, trois fois cette opération, ou, si l'on aime mieux, que cette opération doit être appliquée à l'ensemble des unités au nombre de A >qui sont la représentation de la quantité dont on s'occupe actu llement. C'est ainsi que dans une question dont la solu* tion n'est pas connue on elTectue sur la racine, symbole encore mystérieux de cette solution,les diverses opérations que l'énoncé rend obligatoires.

Cela posé, si je dois ajouter A^ yf^i avec A yj—i, je remarquerai que, malgré tout ce qu'il y a d'irréalisable dans V^^ cette impossibilité frappe chaque unité dont se compose A, exactement de la même manière qu'elle frappe chacune des unités dont se compose A^; je comprendrai par conséquent que la somme de toutes ces impossibilités devra se composer de celle des unités cumulées de A et de A^: le résultat final sera donc l'impossibilité V^-— i reproduite A -h A' fois, c'est-à-dire (A+AO V=7.

Un raisonnement tout à fait semblable s'appliquerait à la soustraction.

En résumé, les deux premières opérations de rarithmélique s'effectueront sur les expressions de la forme A V---Ï comme elles se pratiquent sur toutes les quantités, en faisant la somme ou en prenant la différence des nombres d'unités qui, dans la science du calcul, sont les représentants nécessaires de ces quantités, et en appliquant au résultat l'entrave imaginaire.

Quant aux deux opérations suivantes, la multiplication et la division^ lorsque le multiplicateur et le diviseur sont des nombres réels entiers ou fractionnaires, elles sont la conséquence naturelle des principes fondamentaux de l'algèbre, et nous ne pensons pas qu'il soit nécessaire d'insister sur ce point.

Si le nmltiplicateur et le diviseur sont eux-mêmes imaginaires^ s'il s'agit par exemple de diviser A V--ï P^ A^ yf^t