CHAPITRE m

duquel nous pourrons projeter la lumière dans toutes les directions.

Si de ces considérations générales nous passons à celles qui en particulier concernent les problèmes que nous nous proposons de résoudre par la voie de l'algèbre^ nous ne tarderons pas à reconnaître que lorsque^ dans ces sortes de recherches, nous nous trouverons arrêtés par quelques difficultés, ce que nous aurons à faire avant tout consistera :

10 A nous rendre un compte exact des moyens que nous employons pour traduire l'énoncé de la question du langage ordinaire en langage algébrique;

2* Â nous bien pénétrer de tout ce qu'il faudra voir dans le résultat écrit de cette traduction ;

3» A nous Ozer sur le choix des procédés de calcul dont nous aurons à faire usage pour atteindre le but que nous nous sommes proposé ;

4'' A apprécier enfin les influences successives que la mise en œuvre de ces procédés exercera sur les diverses expressions qui passeront sous nos yeux, depuis le point de départ des calculs jusqu'à leur conclusion.

On voit, d'après ces détails, que Pobjet que nous avons en vue ici n'est pas aussi simple qu'on pourrait le croire au premier abord; on peut juger, d'après la nomenclature que nous venons de dresser, que les diverses considérations auxquelles il faut avoir égard lorsqu'on veut résoudre un problème par la voie algébrique ne manquent pas d'importance ; nous ajouterons que cette importance n'est pas seulement celle du nombre, mais encore celle de la nature quelquefois très-compliquée des appréciations auxquelles il faudra se livrer.

A-t*on bien réfléchi à tout ce qu'il y a de délicat dans ceci ? à tout ce qu'il faut de sagacité pour se maintenir dans la bonne voie? à la nécessité de savoir à chaque instant à quel point précis on se trouve et dans quelles circonstances on y est parvenu î Nous sommes disposé à croire qu'on ne l'a fait qu'en partie ; nous estimons que ce sujet n'a pas été suffisamment approfondi, qu'on ne lui a pas atti^ibué toute l'importance qu'il mérite. Or, s'il en est ainsi, il n'y aura pas lieu de s'étonner que les lacunes qu'on aura laissé subsister dans les investigations à faire dès le début soient devenues la cause trop efficace

des obscurités qui, après s'être montrées dans les conclusions, s*y sont maintenues.

Mais si déjà la tâche paraît compliquée dans ce que nous venons d'énumérer, et qui n'est qu'apparente, combien plus ne lé sera-t-elie pas dans ce qui est caché, dans ce qui, à notre insu, et par le fait inévitable de certaines propriétés algébriques, vient s'introduire dans les questions même les plus simples. Ici les appréciations se compliquent; les difficultés augmentent, et Ton n'est plus étonné, après qu'on s'imi est rendu compte, des nombreux insuccès qui ont paralysé les efforts des géomètres dans les recherches qu'ils ont faites pour parvenir à la résolution générale des équations.

Hais n'anticipons pas : les incidents auxquels nous venons de faire allusion trouveront leur place naturelle dans les études de détail auxquelles nous allons procéder.

Dans le but de simplifier les idées, nous supposerons, dans ce qui va suivre, que le problème à traiter ne comporte (|u'une inconnue.

Lorsqu'on cherche à résoudre une question par la voie algébrique, on se propose, à Taide de quantités connues, d'en déterminer une autre qui ne l'est pas. 11 faut évidemment pour cela qu'il existe entre les données et l'inconnue une relation. Cette relation est indiquée par l'énoncé.

Ou commence alors par exécuter, autant que possible, et par indiquer au besoin, soit sur les données, soit sur l'inconnue représentée par un symbole spécial, les diverses opérations par lesquelles doit être traitée chacune de ces quantités. Ce travail préparatoire terminé, on écrit que la relation exigée est satisfaite, et l'on forme ainsi Téquation algébrique à l'aide de laquelle on cherchera à obtenir la valeur de l'inconnue.

Tant que les opérations préparatoires auxquelles l'énoncé soumet les données et l'inconnue ne sont autre chose que les quatre premières règles de l'arithmétique, on ne modifie en rien ces quantités, elles conservent les rapports dans lesquels on lésa primitivement placées. Il n'en est pas de même lorsqu'au nombre de ces opérations préparatoires se trouvent des éleva-