CHAPITRE

iQj, lions aux puissances. Alors^ par le fait de ces élévations^ les résultats obtenus jouissent de la propriété de satisfaire non- ^ seulement aux quantités qui figurent dans la question^ mais ils aux produits de ces quantités par les diverses racines que pos- )lrt sèdc i^unité pour la même puissance.

!^. De ce fait que nous ne discutons pas en ce moment^ mais ili]( aux conséquences duquel il nous est impossible de nous sous- [Its traire, parce que c'est un fait acquis à la science, il résulte (|uc i.; nous aurons introduit dans l'équation du problème, implicite- ^. ment sans doute^ mais inévitablement^ beaucoup de choses ,hr tout autres que celles qui se trouvaient dans les données de la question ; et remarquons de suite que, sur ces choses, il y en ^ aura plusieurs imaginaires^ puisque^ à Texception de deux au Iq plus, c'est bien la forme imaginaire que revêtent les racines de l'unité de tous les degrés.

N'avions-nous pas raison de dire^ en débutant, combien il est important de se bien pénétrer des principes, de bien reconnaître tout ce qu'ils admettent comme tout ce qu'ils interdij. sent? Ne voilà-t-il pas en efTel que, dès les premières tentatives ^ < que nous faisons dans cette voie^ un sommaire examen de ces principes nous avertit que, passé le premier degré, quelque simple que paraisse l'énoncé de la question, quelque réelles que soient toutes les circonstances qui s'y rattachent, nous aurons à compter avec la racine de l'unité^ c'est-à-dire avec la forme imaginaire. Or si^ dès le début, cette forme s'introduit dans la question^ qu'y aura-t-il donc d^extraordinaire à ce qu'elle se montre à la fin ?

Comme nous touchons ici à un point très-important^ trèsdélicat des doctrines algébriques, nous demandons la permission de rendre manifeste, par un exemple des plus simples, de quelle nature sont les conséquences auxquelles conduit cet ordre de considérations.

Si Ton demande, par exemple, quelle doit être la valeur d'un nombre qui^ élevé au cube, donne c pour résultat, en appelant X ce nombre, j'écrirai que la troisième puissance de x est égale à c, et j'aurai Téquation x» = c.

Hais il est évident que si Ton désigne par £ la racine cubique de l'unité^ on serait également parvenu à la même équation, si àx on avait substitué soit £xy soitf^o:. L'équation du problème

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convient donc à trois expressions^ et il ne dépend pas de nous qu'il n'en soit pas ainsi. C'est là une conséquence inévitable de la formation de la troisième puissance réclamée par l'énoncé . II faudra donc que nous retrouvions à la fin tout ce qui se trouve^ implicitement il est vrai^ mais nécessairement dans l'équation du problème; et en effet lorsque, pour obtenir o;^ j'extrairai la racine cubique, j'aurai x=: Vc, et comme toute racine cubique est triple, je serai obligé de reconnaître que x a les

trois valeurs y/T, £\/e, £^\j'c. Seulement^ parce que les deux dernières de ces valeurs contiennent dans leur expression Fobligation d'extraire la. racine carrée de — i , opération que l'algèbre ne peut pas exécuter, j'en conclurai qu*au point de vue arithmétique^ qui est le seul que j'envisage actuellement^ il ne me sera pas possible de réaliser ces valeurs et que la première seule sera susceptible de résoudre la question.

Mais, dira-t'On, au point de vue de la conception des choses^ la difficulté ne sera pas résolue, elle ne sera que reculée ; car si je comprends maintenant la nécessité que l'imaginaire paraisse à la fin, je ne m'explique nullement celle en vertu de laquelle elle s'est introduite au commencement.

Nous ferons d'abord^observer que c'est déjà quelque chose que de reconnaître qu'il 7 a concordance entre les prémisses et la conclusion. N'aurions-nous pas le droit d'être bien plus surpris si l'imaginaire venait se présenter là où nous n'aurions aucun motif de croire qu'il n'a pas été antérieurement introduit, et la constatation de cette introduction faite par l'algèbre elle-même n'est-elle pas déjà pour notre esprit une première satisfaction logique ? Il me semble qu'à ce point de vue nous avons déjà gagné du terrain.

Y a-t-il d'ailleurs de quoi s'étonner beaucoup de ce qui se passe ici^ lorsque nous trouvons dans la nature tant d'exemples de faits analogues? Si dans les données d'une manipulation chimique vous introduisez de l'eau^ vous ne serez pas surpris que, par l'effet de certaines actions décomposantes, vous obteniez non-seulement de l'eau, mais encore de l'oxygène et de l'hydrogène, ces deux principes constitutifs de ce corps ; et, à

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rinyerse, l'association de ces deux principes faite sous certai* nés conditions ne reproduira-t-elle pas le corps liquide^ sans aucune apparence de gaz^ de même que les éléments £ et £* associés par Yoie de multiplication reproduisent l'unité sans aucune apparence d'imaginaire ? Or^ quand on y réfléchit, il n'y a pas plus de difficulté pour Pintelligence à accepter le premier de ces faits que le second, leur compréhension rentre dans le même ordre d'idées ; c'est que ni Teau, ni Tunité ne sont des corps simples ; celle-ci en algèbre est un composé, de même que l'eau Test en chimie; et il ne peut dépendre ni des personnes ni des choses qu'il en soit autrement, parce que la nature Ta ainsi voulu.

Rentrons maintenant dans le domaine algébrique, et poursuivons le cours de nos investigations.

Quelque impossible que soit l'opération y/— i, elle n'est pas cependant quoi que ce soit. Elle est nécessairement ce que la font les indices algébriques qui la constituent; elle aurait d'autres indices qu'elle serait autre chose. C'est donc un mode d'impossibilité spécial qui dérive de l'algèbre d'une manière plutôt que d'une autre, et qui, par conséquent, en vertu même de son mode de dérivation, sera soumis à des règles particulières, jouira de certaines propriétés nécessairement conformes à sa constitution. Or, parmi ces propriétés, les calculs algébriques nous révèlent la suivante : c'est qu'en fait, il existe des binômes de la forme a +b^—i, qui, suivant les valeurs particulières attribuées à a et à 6, sont tels, qu'élevés à certaines puissances dont les degrés sont en rapport avec ces valeurs, ils donnent pour résultat l'unité. L'expérience nous apprend encore qu'il n'est pas de puissance pour laquelle de pareils binômes n'existent pas ; elle nous apprend enfin que, pour chaque puissance, il y a autant de ces binômes que l'indique le degrà de cette

puissance.

Voilà donc des expressions algébriques quiy tout impossibles

qu'elles sont dans leur état actuel, n'en possèdent pas moins la propriété de conduire, à la suite d'opérations algébriques définies, à des résultats réels. Or, l'existence de ces binômes une fois constatée, il ne saurait nous être permis de les supprimer ; il ne nous appartient pas de ne tenir aucun compte d 'expressions qui revêtent la forme algébrique, que l'algèbre a