CHAPITRE ni

•roposerioDS à Talgèbrede résoudre^ impossibilités

re telle, qu'elles se trouveraient en rapport d'équi va*

celle qui est représentée par v^^^; à ce point de vue

rme imaginaire , même dans le domaine abstrait, ne

une inutilité ni une embarrassante superfétation.

verra dans la suite que c'est exactement ainsi que les

' passent ; nous mettrons sous les yeux du lecteur de

i\ exemples de ces équivalences entre Timaginaire et

s impossibilités^ et on acquerra ainsi la conviction que

:vent, comme [M. Jourdain, nous nous sommes rendu

les d'imaginaire sans le savoir ; mais dès lors, comme

irons semé, nous serons bien obligés de récolter.

leurs l'algèbre n*est pas seulement la science des nom-

bstraits, des nombres arithmétiques dont les conditions

>sibili(é sont fort limitées.

(e science englobe dans ses formules toutes les opérations Dles. Que les résultats de ces opérations soient applicables •lapplicables, ce n'est pas à elle à le présupposer et à le , car elle n'a ni qualité ni moyens pour cela ; c'est à nous juger d'après les attributs divers que la nature aura dévoaux quantités dont nous faisons une étude actuelle. L^algèacceptant ainsi toutes les formes d'opérations, sans être urgée d'examiner ce qu'elles sont susceptibles de représenter ysiquement, et en partant de cet unique fait, que par cette rme seule elles relèvent d'elle ; l'algèbre, disons-nous, les imbine entre elles ; elle étudie les règles en vertu desquelles es combinaisons peuvent être faites, elle enregistre les résulats obtenus, sans autre préoccupation dans sa marche que celle d'obéir aux prescriptions de la science du calcul. Elle additionne ou soustrait, multiplie ou divise, élève aux puissances ou extrait des racines; en un mot, elle soumet tout à son creuset et étudie les relations diverses qui peuvent être les conséquences de ces opérations.

N'en est-il pas de même en chimie? Dans un grand nombre des recherches auxquelles il se livre, le chimiste associe les corps, les combine, dresse un formulaire de ces combinaisons, des moyens employés, des résultats obtenus, sans se préoccuper le plus souvent des effets mécaniques, industriels, thérapeutiques ou autres de ces résultats. Il parvient ainsi à connat-

38 DES FORMES IMAGITfAIBBS.

tre entre les corps des conditions d'association ignorées jusqu'à lui^ qui resteront peut-être un certain temps sans application, mais qui un jour pourront rendre à l'homme d'utiles services.

Telle est la généralité de Falgèbre. Elle ne s'arrête pas à la considération qu'une division pourra être quelquefois impossible ; ce sera à nous^ suivant les cas, à décider la question ; elle accepte sans difficulté la forme irrationnelle, parce qu'elle n^a pas les moyens de savoir si, dans certaines circonstances, cette forme ne cessera pas d'être un empêchement ; elle ne répudie pas l'imaginaire, parce qu'elle n'a pas la prescience de l'avenir qui est réservé à cette forme ; elle sait seulement qu'il y a des calculs possibles à faire sur elle, et elle les fait, sauf à nous à reconnaître et à dire plus tard ce qu'ils pourront signifier. Ajoutons que, par cela même que ces diverses formes sont quelquefois inadmissibles comme solution, elles sont, par cela même, indispensables à l'algèbre pour nous signaler l'existence et la nature de certaines impossibilités.

Ainsi, que dans une question il s'agisse de déterminer des nombres qui doivent être nécessairement entiers, alors, non* seulement l'imaginaire, mais Tirrationnel, mais encore le fractionnaire, doivent être considérés comme tout autant d'impossibilités, parce que le nombre entier ne possède d'autre attribut que celui d'une répétition faite à Paide d'une unité essentiellement indivisible. Or, faudrait-il, parce que dans ce cas particulier l'irrationnel et le fractionnaire sont des solutions impossibles, vouloir atout jamais exclure ces formes de l'algèbre? Mais nous ne songeons pas même à nous adresser cette demande, tant sont nombreux les exemples de solutions fractionnaires ou irrationnelles susceptibles de réalisation. Nous ne doutons pas qu'un jour il en sera de même de Timaginaire, lorsque la pra^ tique de cette forme nous sera devenue familière.

Que si, au lieu de nombres entiers, il s'agit de longueurs,

nous accepterons parfaitement la solution fractionnaire ^9 parce

qu'en vertu du principe de continuité qui forme un des attributs de la longueur, si nous ne pouvons pas effectuer la division du nombre p par q, nous pourrons l'exécuter sur l'unité qui aura été primitivement choisie, cette unité jouissant de la propriété 4'être divisible sous formç unie par un nombre quelconque.

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Cette même propriété dont jouit la longueur d'être continue^ et par conséquent indéfiniment divisible^ me permettra aussi de concevoir que je pourrai^ par voie d'approximation^ obtenir les valeurs irrationnelles; je reconnaîtrai même plus tard^ en vertu de^ certaines propriétés géométriques, que, dans quelques circonstances, il me sera possible de réaliser sous forme finie des longueurs dont l'expression est irrationnelle.

Enfin, si à la continuité j'ajoute la propriété dont jouit la ligne droite de pouvoir être conçue, non pas dans une position fixe sur un plan, mais sur Tune quelconque des directions que l'esprit peut concevoir comme émanant d'un point pris sur ce plan, j'arrive alors à reconnaître d'abord que certaines formes imaginaires sont les représentants algébriques naturels de ces

directions; en second lieu ^ que le binôme a + i^ V^---ï^ considéré dans toute sa généralité, est l'expression complexe des deux attributs de la ligne droite, savoir : la longueur et la direction ; de sorte que, pour cette espèce de quantité, les expressions algébriques quelles qu'elles soient seront toujours

réalisables.

Généralisant ensuite, pour d'autres] espèces déjà connues

ou non encore étudiées, les considérations auxquelles nous venons d'être conduits pour la ligne droite, nous dirons que lorsque nous nous serons assurés qu'une quantité jouit de propriétés analogues en tout point à celles de la ligne droite, la forme algébrique a + b ^^ lui sera tout aussi bien applicable qu'à celle-ci; si les espèces ne possèdent pas tous les privilèges de la ligne droite, si par exemple elles n'ont que celui des directions, il ne faudra accepter pour elles dans la forme imaginaire que la partie de cette forme qui est spécialement applicable aux directions ; c'est ce qui arrive, par exemple, dans la théorie des nombres, où le principe de la continuité fait défaut et où celui de l'ordre ou de la direction existe seul.

Enfin, pour les quantités qui ne jouiront que du principe de la continuité, la forme imaginaire devra être considérée comme un véritable symbole d'impossibilité.

Qu'on veuille bien nous pardonner cette légère digression sur le domaine concret ; nous nous sommes d\iilleurs borné a la simple énonciation des principes qui s'y rattachent, sans entrer dans aucun détail démonstratif, parce que ce n'est pas là

notre objet actuel. Mais si Ton admet un instant que ces principes sont vrais, et c'est ce que nous établirons dans la deuxième partie de cet ouvrage, on comprendra, nous l'espérons, que, dans leur ensemble, les considérations que nous venons de développer sont une très-satisfaisante justificalion de la présence dans les calculs d'expressions algébriques de toutes formes et de la nécessité de celte présence, soit pour nous avertir de certains cas d'impossibilité lorsque ces formes ne sauraient convenir à la nature de la quantité étudiée, soit pour nous apprendre ce que nous aurons à faire lorsque ces formes pourront être considérées comme les représentants algébriques de cer-< tains attributs appartenant à ces quantités.

Revenons maintenant à Texamen que nous avons commencé de la mise des problèmes en équation.

Nous aurons peu de choses à dire sur le choix à faire des moyens propres à résoudre l'équation du problème,. une fois que celle-ci a été posée. Il s'agit ici d'un ordre de considérations qui dépend moins de règles générales que de la sagacité individuelle du calculateur. Chacun, suivant la tournure de son esprit, suivant l'expérience que le travail lui aura fait ac* quérir en ces sortes de matières, suivant ses connaissances plus ou moins approfondies sur les principes, la constitution et le fonctionnement de la science algébrique, sera plus ou moins heureux dans le choix de ces moyens. Nous nous bornerons à faire remarquer que les plus simples seront toujours les meilleurs, non-seulement parce qu'ils conduiront plus brièvement au but, mais encore parce que toute complication à ce sujet est susceptible d'introduire dans la question autre chose que ce dont nous poursuivons la réalisation. Il faut remarquer, en effet, que si déjà, dès le début, les élévations aux puissances commandées par l'énoncé sont une cause implicite, mais inévitable, d'introduction des formes imaginaires, il en sera encore de même des nouvelles élévations aux puissances auxquelles nous serons obligés de recourir d'après la nature particulière des moyens dont nous aurons fait choix pour résoudre le problème. Il ne pourra donc être (|ue très-utile, si

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l'on yeut éviter tout excès d'encombrement, de s'appliquer à simplifier autant que possible le mécanisme des procédés à mettre en œuvre.

Nous Yoilà donc bien avertis qu'infailliblement, que nous le voulions ou que nous ne le voulions pas, la simple mise d'un problème en équation, passé le premier degré, nous conduit à l'imaginaire, et cela de par l'algèbre même, en vertu de propriétés algébriques que nous n'avons pas qualité de supprimer et que nous sommes obligés de subir. Nous voyons en outre que^ l'équation une fois posée, si, pour la résoudre, nous sommes conduits à recourir encore à d'autres opérations de la même espèce, nous donnerons ouverture, et par les mêmes motifs, à une nouvelle introduction d'imaginaires. Enfin nous avons fait remarquer qu'indépendamment de ces deux causes, il y en a une troisième susceptible de nous conduire à une impossibilité, et nous avons dit que cette cause tient à ce que, sans nous en douter, nous avons pu demander à l'algèbre la justification de rapports impossibles.

Voilà bien des motifs, on en conviendra, de ne pas tant s'étonner qu'au bout de ses réponses l'algèbre nous donne si souvent de l'imaginaire, et, quant à nous, nous serions plutôt surpris qu'elle ne nous en donnât pas presque toujours.

Mais il ne suffit pas de justifier Pintervention de l'imaginaire dans ce qu'elle a de rationnel en principe, il faut encore tÂcher de faire comprendre ce qu'elle paraît avoir d'inexplicable ou d'obscur, si l'on veut, dans les apparences.

Il est incontestable qu'à moins de prendre ostensiblement l'imaginaire même comme point de départ dans une question, nous n'en trouvons jamais aucune apparence dans l'équation du problème; il en est de même dans les équations que nous * sommes conduits à substituer successivement à la première lorsque nous procédons à la recherche de la solution, et c'est peut-être là Tunique cause de beaucoup de surprises et d'hésitations; ce n'est qu'à la fin des calculs que cette forme se manifeste et vient nous jeter dans des conditions d'exécution ir^ réalisables.

U y a dans tout ceci une difficulté plus spécieuse que réelle^ on va en juger. Ne perdons pas de vue les principes, ayons-les toujours présents à la pensée, reportons-nous incessamment aux définitions, c'est là que nous trouverons réponse à tout.

A cet effet, remarquons encore une fois que l'imaginaire n'est pas quoi que ce soit^ c'est une opération algébrique parfaitement définie^ qui n'obéit à aucun caprice, mais aux règles mêmes de sa définition. Or, nous l'avons déjà dit, en vertu de ces règles, il faut nécessairement reconnaître, entre autres

choses, que toutes les puissances paires de v^^hT sont réelles et égales successivement à l'unité négative et à Tunité positive; si donc une équation ne contient que des puissances paires de

l'inconnue, l'imaginaire y/— i,qui pourrait affecter cette inconnue comme facteur, disparaîtra sous le couvert de ces puissances ; nous ne la verrons pas au début; mais lorsque, à la fin des calculs, le voile de ces puissances aura disparu, l'apparition de rimaginaire deviendra inévitable.

Si au lieu de la forme simple y—i, nous prenons celle de la racine cubique de l'unité, comme toutes les puissances triples de cette forme sont égales à l'unité, il en résulte que si, dans une équation, l'inconnue ne figure que par ses puissances triples, rimaginaire, quoique non apparent au début, se manifestera à la fin.

Nous en dirions autant des racines de l'unité d'un degré quelconque.

Allons maintenant plus loin. Au lieu de formes particulières,

supposons qu'il s'agisse de la forme générale a + hsP^, il est facile de prouverquede la définition de v^^, il résulte nécessairement que si cette forme est multipliée par cette autre a — 6 v --î i le produit sera réel et égal à a'-f-6*; on voit en même temps que la somme des deux mêmes quantités est réelle; or, comme on sait que dans l'équation du second degré le coefficient du terme en x est égal à la somme des racines prise en signe contraire, et que le terme tout connu est égal à leur produit, on voit par là que les deux formes ci-dessus, tout imaginaires qu'elles sont, pourront être la conclusion d'une équation du second degré dans la composition de laquelle toutes les apparences seront réelles.