CHAPITRE m. A

Mais comme en vertu de cette même défmition de v^— i tout

autre binôme a^ +V sj—i ^Aiiïérenide a—b)/—i , ne donnerait

ni pour sa somme ui pour son produit avec a + b y/— i un résultat réel, auquel cas l'imaginaire paraîtrait nécessairement dans réquation^ nous voyons qu'une équation du second degré à coefficients réels ne peut conduire à des résultats imaginaires qu^à la condition que ces résultats formeront un couple

de la forme a ± 6 v'^ .

Nous n'insisterons [)ns davantage sur ces sortes de considéra* tiens qui sont certainement dans Tesprit de tous les géomètres; il suffit de les avoir rappelées pour faire immédiatement comprendre que si déjà, au point de vue du fond, il n'y a pas à s'étonner que l'imaginaire introduit à profusion dès le début, par l'ordonnance même des procédés de solution^ est parfaitement en droit de se manifester à la fin, il n^y a pas plus lieu de s'étonner davantage, quant aux apparences^ que la forme réelle puisse faire aboutir à la forme imaginaire. Cela tient, on vient de le voir, à ce fait bien constaté que, de son côté^ et en vertu de sa définition même^ cette dernière forme est susceptible, à la suite de certaines opérations^ de conduire à la première. Ainsi, à tous les points de vue, et sous Tempire de certaines conditions définies, la concordance possible entre les deux formes dans un même calcul se trouve justifiée.

Parvenu à ce point, ayant reconnu, d'une part, qu'en ce qui concerne les apparences, la forme d'une équation à coefficients réels n'est nullement en opposition avec des conclusions de forme imaginaire; que, d'autre part, au fond, la manifestation de eette dernière forme dans le résultat s'explique par le triple motif : 1* que la mise du problème en équation Tintroduit implicitement dans la traduction algébrique que nous faisons de renoncé ; â» que les procédés mis en œuvre pour arriver à la solution sont une nouvelle cause de son introduction; 3"* qu'enfin nous pouvons nous- même, à notre insu, provoquer, par suite d'une impossibilité dans la demande, la production d'un résultat impossible; parvenu à ce point, disons-nous, il semblerait que nous n'avons plus rien à ajouter et que toutes les incertitudes doivent avoir disparu*

Toutefois nous n'abandonnerons pas ce sujet sans présenter quelques observations sur la manière dont nous devons envisager et comprendre Téquation même qui est la traduction de renoncé, sur ce qu'il faut voir dans celte représentation algébrique d'une question , sur Tensemble des choses qui concourent à sa composition, sur les mutations successives que nous faisons subir à cet ensemble. Nous croyons que cet examen a une importance réelle; car nous avons de sérieux motifs de penser que c'est parce qu'il n'a pas été suffisamment ap- |)rofondi, que nous avons été souvent détournés d'attribuer aux résultats obtenus leur véritable interprétation, et que nous avons été conduits à donner à ces résultats, trop exclusivement considérés comme des nombres, des qualifications qui sont toujours la source de très-grandes obscurités si on veut les appliquer à l'idée de nombre, etqui deviennent, pour ainsi dire, l'évidence même, si on veut les considérer comme applicables seulement à ridée d'opération.

Donnons à cette pensée l'appui de développements justificatifs.

Il est évident que des nombres seuls ne sauraient former une question, nous n'avons pas besoin d'insister sur ce premier point. II faut en outre, et nécessairement, qu'il y ait un lien entre les nombres connus et le nombre à trouver; il est indispensable, pour que notre esprit puisse des premiers arriver à la détermination du second, que nous possédions la connaissance des rapports qui doivent exister des uns aux autres. Dans la Science du calcul, ces rapports sont représentés à l'aide d'opérations algébriques. Gardons-nous donc de ne voir dans les questions que des nombres, comme on ne le fait que trop souvent; voyons-y tout ce qui s'y trouve, c'est-à-dire des nombres et des opérations. Quelle idée devrons-nous attacher d'après cela à Téquation du problème? L'idée que celte équation représente, à l'aide d'opérations définies par l'énoncé, une relation entre les nombres tout connus et celui qui, ne Tétant pas encore, doit être propre à satisfaire à cette relation. Cette équation est donc en résumé un ensemble de nombres et d'opérations.