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Ortoutes les modifications autorisées que je ferai subiràcette équation seront et ne pourront être que ce qu'elle est elle-même, c^est-à-dire encore un ensemble de nombres et d'opérations^ et il en sera toujours ainsi depuis le début jusqu'à la fin. Ces ensembles seront d'ailleurs tous équivalents^ ou^ tout au moins, ils contiendront tous une équivalence avec le premier, car s'ils ne jouissaient pas de cette propriété, s'ils ne possédaient pns constamment, sous les diverses formes qu'ils revêlent successivement, la relation même qui forme le point de départ, les conditions primitives seraient changées, elles auraient disparu, et comme l'algèbre ne saurait faire d'elle-même une telle suppression, ce serait une preuve qu'inévitablement nous nous serions rendus coupables de quelque erreur dans nos recherches. D'après cela, l'équation finale en particulier, représentation é(|uivalente de toutes celles qui l'ont précédée, sera comme elles un ensemble de nombres et d'opérations; seulement, tandis que jusqu'à elle les données et l'inconnue ont été simultanément enchevêtrées dans les opérations à faire, ici il y a séparation complète entre les unes et les autres. L'inconnue se trouve seule d'un côté, dégagée de toute immixtion, de tout lien avec tout le reste, tandis que, de l'autre côté, se trouvent cumulés tous les nombres connus ainsi que toutes les opérations à faire.

En conséquence, et au point de vue général où il faut se placer en algèbre, nous devons reconnaître que ce que cette science nous offre comme solution d'une question est toujours une série d'opérations définies à exécuter sur des nombres connus. N'estce pas d'ailleurs en fait ce que montre suffisamment l'expression algébrique d'une solution quelconque? On n'a, pour s'en convaincre, qu'à consulter les formules qui donnent les racines des équations dans les degrés pour lesquels la résolution est possible.

Telle est la règle ; l'énoncer autrement, dire par exemple que la solution doit être un nombre, c'est la restreindre, c'est lui substituer Texception, c'est s'exposer à vouloir interpréter par la seule idée de nombre toutes les difficultés qui pourront se présenter, et qui le plus souvent, qui toujours frappent les opérations, et doivent, par conséquent, se reporter sur elles excluûvement. Or c'est parce que, faute d'avoir établi cette distinc-

46 DES FORMES IMAGÎNAIRBS.

tion, nous avons été entraînés à faire rejaillir sur la seule idée dénombre les obscurités^ les impossibilités de certains résultats^ qu'une grande confusion a régné sur ces matières. Remettons chaque chose à sa place, sachons reconnaître dans les calculs algébriques tout ce qui s'y trouve^ et en même temps^ des diverses parties de ce tout^ constatons et respectons les origines. Laissons tel qu'il est le nombre^ Talgèbre pas plus que nous n'a le droit d'en modifler l'essence et de lui donner d'autres attributs que ceux qui, de par sa nature même, lui appartiennent; mais reconnaissons que si l'algèbre, venant à l'englober dans ses rapports et ses opérations, lui donne parfois Tapparence d'une impossibilité, la cause en est que ces rapports et ces opérations sont eux-mêmes impossibles; car ce sont là les seules choses que lalgèbre fait intervenir dans ces questions. Tout le reste lui est donné, et elle le reçoit sans avoir ni le droit ni les moyens d*en changer la nature. Son unique fonction consiste à revêtir ces données des formes qui lui sont propres pour indiquer que les conditions de l'énoncé sont satisfaites; l'habit pourra ne pas aller quelquefois, mais si un habit qui ne va pas peut gêner les allures d'un individu, il ne saurait changer la nature de celui auquel il est destiné.

Sans doute il pourra arriver, mais par exception, que le rapport résultant des opérations à faire se réduira à un nombre arithmétique, à un numéro, à un rang de l'échelle de pluralité. Dans ce cas, la trace des diverses opérations qu*il aura fallu faire pour obtenir cette ex pression finale aura disparu , et le rapport jouira de cette propriété exceptionnelle que l'idée de numération suffira à elle seule pour nous en donner l'intelligence complète; dans cette circonstance nous pourrons véritablement dire que la valeur de l'inconnue est un nombre, et une pareille réponse n'aura rien d'antipathique à l'idée que nous nous formons du nombre abstrait. Mais c'est là une grande exception ; le plus souvent, les diverses opérations qu'il faudrait faire, d'après l'expression écrite du rapport , ne seront pas immédiatement exécutables, et par conséquent leur indication devra continuer de subsister dans cette expression. Alors celle-ci sera un mélange de numéros et d'opérations, et l'idée seule de numération sera insuffisante à nous donner la conceptiondu rapport, il faudra y joindre celle d'opérations à exécuter» Or si) au point de vue

CtfAPITRfi Ilf. Al

arithmétique^ celles-ci ne peuvent être pratiquées de manière à conduire en dernier ressort à un numéro^ il s'en suit que, bien que le rapport en lui-même soit tout à fait de forme et de conception abstraite, néanmoins sa manifestation se trouve caractérisée par des signes d'opération dont le domaine de f abstraction est inhabileànousdonner l'interprétation. C'est alors qu'un appel fait aux considérations concrètes est susceptible, suivant les cas, de nous conduire à des réalisations faciles, parce qu'en vertu des attributs inhérents à certaines quantités et que ne possède pas le nombre, nous reconnaîtrons par l'étude de ces attributs qu'on peut avec eux obtenir une représentation physique, actuelle et équivalente de ces rapports pour lesquels l'algèbre a dit ce qu^il faut faire, sans pouvoir le faire elle-même.

Reconnaissons donc que Talgèbre ne réalise et n'irréalise rien des objets qui lui sont confiés. Elle crée des types de rapport, elle les formule, tel est son rôle. Elle nous livre ces types et elle nous les garantit; c'est ensuite à nous à formuler à notre tour, d'après les lois naturelles des objets soumis à nos spéculations et suivant le degré tle nos intelligences, les diverses applications qu'il est permis de faire de ces types. C'est ce qui sera plus amplement développé dans la seconde partie de cet écrit.

En résumé, n'allons pas même jusqu'à dire que le nombre doit être toujours réel, ce serait trop. Sans doute il est réel, mais il n'est qu'entier. Haintenons-le avec le seul attribut qui résulte de sa définition, ou pour mieux dire de sa conception, car ridée de pluralité est une idée primitive qui ne saurait être définie; ne voyons dans le nombre que le caractère essentiel de sa formation par la répétition d'une unité indivisible. Gardons-nous de vouloir l'associer à des qualifications qui ne sont que de perpétuelles contradictions avec la simplicité de sa nature et la clarté instinctive de sa conception ; mais disons que dans les différentes questions que nous pourrons nous proposer de résoudre^ et dans lesquelles il vient prendre place, le nombre se trouvera en fait soumis à des rapports ou à des opérations qui, sans altérer en rien sa nature et Tidée que nous devons en avoir, nous placeront momentanément dans l'impossibilité d'arriver

au bat par la seule idée de nuinéralion. Sera-t-il possible d'y arriver autrement? Voilà la seule explication raisonnable que nous devions tenter; mais vouloir rendre Tidée de nombre solidaire de cette impossibilité est une interprétation qui doit répugner à Tintelligence, et qui d'ailleurs^ on vient de le voir, ne s'accorde pas plus avec l'algèbre qu'avec le bon sens.

Posons donc, comme conclusion définitive^ que quant à l'essence des quantités et des nombres qui les représentent, elle est et doit rester immuable^ car^ nous l'avons déjà dit, elle ne dépend pas plus de Talgëbre que de nous-mêmes, elle sera toujours ce que la nature Ta faite, et personne n'a le dreit d'y rien sgouter, d'en rien retrancher. U n'en est pas de même des rapports et des opérations. Les premiers sont notre œuvre directe et le résultat nécessaire de nos demandes : à nous donc la responsabilité des effets, parce que nous sommes ici la véritable et unique cause agissante. Les secondes sont les moyens qu'emploie Talgèbre pour exprimer ces rapports : à l'algèbre par conséquent la responsabilité des moyens.

La situation étant ainsi bien définie, comment pourrait-on être autorisé, parce qu'une impossibilité se manifeste, à vouloir faire de cette impossibilité un qualificatif non défini, un attribut mystérieux qu^il faudrait associer à Tidée de nombre? Non-seulement un si incroyable procédé n'expliquerait rien, mais il viendrait détruire dans notre esprit la conception même du nombre. N'est-il pas plus simple, plus naturel, plus vrai d'affirmer que l'impossibilité dans la réponse ne peut nécessairement correspondre qu'à une impossibilité dans la demande^ ou à une insuffisance dans les moyens? Par là, nous désintéressons le nombre, nous le laissons tel qu'il a été créé, tel qu'il est, tel qu'il nous est permis de le comprendre, et nous évitons de faire d'une obscurité une seconde .obscurité plus embarrassante encore que la première.

Quant aux rapports et aux opérations, s'il ne nous est pas permis de les réaliser^ nous saurons du moins comment ils se produisent, pourquoi leur présence est nécessaire, de quelle nature sont les obstacles qui s'opposent à leur réalisation. Nous arriverons ainsi à comprendre, dans le domaine de l'abstraction, que si des impossibilités existent, ce n'est pas en cherchant à les solidariser avec l'idée de nombre que nous parvieo-