CHAPITRE III. i

drons à nous rendre compte de ces divisions^ de ces soustractions^ de ces extractions de racines inexécutables ; respectons au contraire dans toute sa simplicité Tidée de nombre^ reconnaissons combien est limité le contingent d'attributs que la nature lui a donnés^ et alors nous nous expliquerons que c'est cette limite même qu'il faut prendre pour mesure de la possibilité des réalisations dans le domaine abstrait.

M t>Eâ FORMÉS lilAGlNÀlÈES.

CHAPITRE QUATRIÈME Application a quelques exemples des idées théoriques exposées

DANS les chapitres PRÉCÉDENTS.

Sommaire. — I. Nécessité de ces applications. — II. Nous ne pouvons pas nous illusionner sur la nature des grandeurs, mais nous pouvons être dans Terreur sur celle des rapports auxquels nous voulons les assujétir. — m. Examen de la question qui consiste à déterminer deux nombres dont la somme et le produit soient égaux à deux nombres donnés. — IV. Gomment la manifestation de l'imaginaire nous apprend à rectifier les erreurs de nos jugements. — V. Gomment, à Finverse, certaines natures de contradictions volontairement introduites dans un énoncé ont pour représentant algébrique nécessaire la forme imaginaire. ^ VI. Exemples de questions concrètes qui conduisent à la manifestation matérielle et physique de Timaginaire. — VII. Gonclusions et confirmation des idées précédentes.

Après les explications que nous venons de développer^ il semblerait que tout ce qu'on peut avoir à dire sur la théorie des impossibilités algébriques qui se manifestent dans les solutions des problèmes est épuisé^ et qu'insister plus longuement sur cet objet ne serait guère qu'une inutile répétition.

Cela pourrait être vrai si nous n'avions à convaincre que des intelligences non prévenues et qui n'ont pas subi Finfluence d'un enseignement autre que celui que nous venons exposer.

Telle n'est pas malheureusement la situation dans laquelle nous sommes placé , et il y a trente ans que nous en faisons l'expérience. Le terrain sur lequel nous avons à semer a été depuis longtemps envahi par de mauvaises herbes, et le nouveau grain que nous lui confierions^ quelle que pût être l'excellence de sa qualité^ serait bientôt étouffé^ sî^ au préalable^ nous ne

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procédions pas à Textirpation de tout ce que les semences parasites ont pu produire.

Si ceux à qui nous nous adressons n'avaient à s'avancer que sur une voie neuve et vierge de toute empreinte de passages antérieurs^ nous n'aurions pas à craindre que leur marche fût arrêtée par des difficultés exceptionnelles . Hais la route sur laquelle ils se trouvent placés est battue depuis longtemps et creusée de profonds sillons. Il leur faut donc plus que l'impulsion nécessaire pour aller librement en avant : il leur faut encore toute celle qui doit les faire sortir de l'ornière dans laquelle ik sont engagés.

En outre^ il n'est pas certain que nous rencontrions partout la bonne volonté qui ne cherche qu'à s'éclairer. Même en matière de science, le désintéressement peut ne pas être un axiome, et d'ailleurs, à supposer que nous eussions tort de suspecter les intentions, il n'en faudrait pas moins compter avec la routine, qui, à part toute question de bonne foi, est tenace, très-dure, irès-résistante et naturellement opposée aux innovations. U est si commode, quand on a appris sa leçon, de n'avoir pas à en étudier une seconde, et de s'endormir dans le far-niente des faits accomplis; la mémoire et l'intelligence qui ont faibli, le besoin de repos qui a ses exigences, les habitudes qui se sont enracinées, tout cela constitue un ensemble de forces résistantes qu'on ne peut pas vaincre sans luttes, et qui ne permettent pas de déposer les armes après un premier assaut.

C'est en prenant en considération ces divers motifs qu'il nous parait nécessaire d'ajouter aux raisonnements sur lesquels s'appuient nos explications la justification de certains faits algébriques. Déjà nous avons eu occasion de compléter nos vues théoriques par quelques applications. Hais les exemples sur lesquels nous nous sommes appuyé sont tous fort simples. Sans doute cette dernière condition n'a pu qu'être avantageuse à une plus rapide exposition de nos idées, mais peut-être ne trouverait-on pas dans ces exemples toute la puissance de conviction nécessaire, et pourrait-on arguer de cette simplicité même que nos principes, très-acceptables pour ces cas faciles, ne ré* ftisteraient pas à des épreuves plus compliquées.

D'ailleurs, en toute chose il ne suffit pas d'avoir mis un outil dans la main de l'ouvrier, il faut encore lui apprendre à s'en

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servir. La théorie et la pratique^ lorsqu'elles sont bien associées^ donnent à Tesprit une grande force. Si la première est indispensable pour jalonner le terrain et montrer la direction à suivre^ la seconde^ par les détails multipliés dont elle s'occupe, justifie et complète les arguments de la première^ elle peut même lui en fournir de nouveaux.

Explorons donc maintenant le champ fertile des applications, remettons-nous à l'œuvre^ travaillons de nouveau. S'il est malheureusement vrai que de la calomnie il reste toujours quelque chose^ espérons qu'un travail utile ne sera pas moins bien rétribué qu'une immoralité.

Le fait de l'introduction de l'imaginaire par l'élévation aux puissances est une conséquence si nécessaire de certaines propriétés algébriques que nous ne croyons pas avoir à y insistera 11 n'en est pas de même de cette autre cause delà manifestation de résultats impossibles^ et qui consiste en ce que ce n'est plus Talgèbre qui est responsable de cette manifestation ^ c'est nous-mêmes qui y donnons lieu par l'introduction de certaines contradictions dans nos demandes. Cette circonstance dans laquelle Tesprit du calculateur intervient comme partie au débat nous parait mériter une attention toute particulière. Il est intéressant d'étudier comment^ dans ce cas^ la réaction de l'algèbre cherche à se mettre en équilibre avec l'action égarée de notre intelligence; comment elle se maintient dans le vrai alors que nous voudrions Tentrainer dans le faux^ commentdu moins elle refuse de nous suivre dans celte voie, et par quels moyens^ toujours logique et toujours utile, tout en nous disant que nous l'avons frappée d'impuissance, elle nous indique en quoi consiste Terreur que nous n'avions pas même soupçonnée.

Cette analyse des rapports qui viennent alors s'établir entre l'homme et l'algèbre est certainement une des plus curieuses études qu'on puisse faire sur les lois et la marche du raisonnement.

^ Depuis que ceci a été écrit, nous avons dû changer d'opinion sur ce point. Nous en dirons les motifs lorsque nous reviendrons sur cette question dans le cinquième chapitre.