CHAPITRE IV. SS

méme^ nous aurons les moyens de faire disparaître, parce que, éclairés sur les circonstances dans lesquelles elle s'est produite^ sachant quelle est la nature de l'opération algébrique qui la constitue^ nous connaîtrons par cela même celle de l'opération inverse qu'il faudra mettre en œuvre pour en effacer la trace et supprimer les obstacles momentanés que sa présence vient nous révéler.

Or tout cela, nous le répétons^ n'est plus imaginaire, tout cela devient, au contraire, très-net^ très-précis, très-mathématique. Tout cela justiûe les recherches faites et à faire pour savoir dans quels cas il est possible de rendre praticable ce qui parait ne pas l'être^ par quels moyens et par quelles ressources l'Algèbre, d'abord réfractaire, après nous avoir conduit dans une impasse, faisant un retour sur elle-même, parviendra à nous en faire sortir, et à interpréter des réponses qui, impossibles quant à la forme dans laquelle elles sont résumées, peuvent cesser de rétre dans l'usage qu'on en doit faire.

Dans les exemples que nous avons cités plus haut, nous avons pris des expressions imaginaires toutes faites, et nous avons montré comment, à l'aide d'opérations ultérieures, le signe de Timaginarité peut disparaître. Hais il est plus intéressant encore de rechercher comment, dans les questions, intervient la cause même de l'imaginarité; de faire voir que si des impossibilités se manifestent dans le résultat, c'est, ainsi que nous venons de le dire, parce que dans les données de la question nous avons introduit des impossibilités équivalentes ; d'expliquer comment la trace de ces impossibilités, non aperçue au début, se manifeste à la fin; de constater enfin que la nature purement algébrique de ces impossibilités est constamment dans le rapport le plus direct avec celle même des contradictions qui leur ont donné naissance, à tel point que si celles-ci disparaissent nous ne trouvons plus rien que d'intelligible et de praticable dans l'expression finale du résultat.

Un puissant intérêt nous a paru s'attacher à ces recherchés, aussi croyons-nous devoir en faire l'application détaillée à quelques exemples; nous justifierons ainsi nos appréciations en même temps que nous en ferons bien comprendre toute Tu»

56 DES FORMES IMiGINAIRES.

Supposons qu'on nous demande de déterminer deux nombres jouissant de la double propriété que leur somme soit égale à un nombre donné a et que leur produit le soit à un nombre donné c.

D'après ce que Ton sait des propriétés générales des équations^ il est facile de voir que cette question n'est autre chose que celledelarésolution de l'équation complète du second degré. Nous pourrions donc poser immédiatement z* — az+c=oei déduire de là par les procédés ordinaires les deux valeurs de z qui seraient celles des nombres demandés.

Mais ici nous avons moins en vue la détermination de ces valeurs que l'analyse des raisonnements et des procédés algébriques qu'il faut mettre en œuvre pour qu'en partant des données on arrive de déductions en déductions jusqu'aux racines.

Or^ généralement^ si deux quantités variables a; et y sont assujetties à la condition que leur somme doit avoir la valeur constante a, elles pourront être représentées : Tune x par

- + 6, l'autre y par 6, la quantité b étant tout à fait arbi-

traire. Il est évident, en elTet, qu'à l'aide d'un choix convenable de 6 il n'y aura pas de valeur de x qu'on ne puisse produire, quelle qu'elle soit, depuis l'infini négatif jusqu'à l'infini positif, et que, d'un autre côté, dans la somme x+y les deux termes 6 et —6 se détruisant toujours, il restera uniquement les deux moitiés de a qui, ajoutées ensemble, exprimeront que la première condition qu'on s'est imposée est satisfaite.

Il ne nous restera donc plus qu'une chose à faire, ce sera de profiter de l'indétermination de 6 pour exprimer que nous avons égard à la seconde condition. Or comme celle-ci consiste en ce que le produit x y doit être égal à c, il faudra bien prendre b

tel.que — [-b multiplié par b produise c; on devra donc

avoir :

d'où

GHAPmtE IV. 57

les Yalears demandées sont, d'après cela^

Si maintenant, voulant particulariser la question, je disais que la somme x + y doit être égale à 12, et que le produit x y est égal à 40, je pourrais fort bien au premier abord ne pas soupçonner que la demande ainsi posée contient une contradiction. Mais si je substitue ces valeurs numériques dans Texpression générale des racines, je trouve que le radical devient

VA>— 40 ou si — 4> ou enfin 2 v^— i, de sorte que les deux va-

leurs de a; et de y sont, Tune 6 + 2 \l — 1, l'autre 6 — 2 y/ — 1, et que par conséquent la valeur de h qui convient à cet état de la question est devenue imaginaire.

En conséquence, si, dans les considérations générales que nous avons exposées, nous ne nous sommes pas trompé, nous devrons admettre que, dans le cas particulier dont nous nous occupons actuellement, la présence d'un résultat imaginaire, ou pour mieux dire impossible, correspond d'abord à une contradiction dans les données, et qu'en outre cette impossibilité d^une part, cette contradiction d'autre part, quoique diiïérenles dans la forme et dans les termes, doivent au fond, et au point de vue de l'algèbre, être équivalentes. C'est ce que nous plions maintenant examiner.

A cet effet, on remarquera que lorsque , à l'aide de la seconde

condition

xy:=zc,

nous avons voulu déterminer 6, nous avons trouvé que a, 6 et c sont liés par la relation

Cela nous apprend évidemment que c ne saurait jamai» être supérieur au carré de la moitié de a, et qu'admettre pour c

une valeur plus grande que (- ) > c'est rendre la question impossible. Or c'est précisément là ce que nous avons fait lorsqu'on regard du nombre 12 pour la valeur de la somme des deux nombres, nous avons exigé que leur produit fût égal à 40; car

88 DES FOUIES IMAGIIIAIIBS.

le carré de la moitié de 12 est 36^ et jamais 36 diminué de quelque chose ne pourra donner 40. Nous avons donc manifestement introduit une impossibilité dans les données, dès lors cette impossibilité devra subsister dans toutes les transformations légitimes que nous ferons subir à renoncé, c'est-à-dire à réquation algébrique qui en est la traduction, et par suite nous en retrouverons évidemment la trace dans la dernière de ces transformations, dans la racine : nous venons de voir que c'est ce que le calcul confirme.

Notre première proposition se trouve donc justifiée.

Mais 7 a-l-il équivalence entre l'impossibilité introduite au point de départ et celle qui se révèle à la fin ? Cette équivalence est complète, ainsi que nous allons nous en convaincre.

En quoi consiste, en eflèt, Tobstacle final ? en ce qu'il est impossible d'extraire la racine carrée du négatif. En quoi consiste celui de renoncé ? en ce qu'il est impossible que le carré A* change son signe tant que b est réel, ainsi qu'il le faudrait cependant pour que la contradiction disparût, pour qu'on pût s'élever de 36 à 40.

Or ce sont là deux difficultés de même ordre, de même nature, tout à fait équivalentes ; car si le carré d'une quantité réelle pouvait changer de signe, ce que nous appelons imaginaire serait réalisé, l'imaginaire tel que le constitue sa définition même n'existerait plus.

Ce qui nous avait paru si naturel, si logique au point de vue général du raisonnement, se trouve donc confirmé par l'analyse de détail à laquelle nous venons de procéder.

Etudions maintenant les conséquences.

Puisque la manifestation de racines imaginaires nous apprend qu'il y a impossibilité à résoudre, avec du réel, la question dans les termes où elle a été posée, nous devons en conclure que si, pour revenir au point de départ, nous commençons par dépouiller ces racines du signe de l'impossibilité, ce qui les rend réelles, et si en cet état nous leur appliquons les opérations mêmes que comporte l'état de la question, nous arriverons nécessairement à une proposition différente de la première ; car si nous retombions sur celle-ci, il n'aurait pas été vrai de dire qu'elle a des racines impossibles.

ce fiiit sur l'exemple qui nous occupe.

CHAPITBR IV. 50

Si dans le cas particulier que nous examinons ici et pour lequel nous trouTons que les racines sont

je supprime l'impossibilité y— 1> et si alon je fais usage des Taleurs

j'aurai bien toujours a pour leur somme, mais je trouverai pour leur produit c; or, comme ce produit était pri*

miliYement c ou ( - j — &S on Yoit qu'il devient maintenant

c'est-à-dire

La proposition nouvelle est donc diflérente de l'ancienne, et comme la transformation consiste en ce que 6* remplace — 6^ on Yoit qu'il y a changement de signe du carrée ce qui ne peut être produit, d'après la définition même de l'imaginaire, qu'en admettant que là racine de ce carré qui doit être 6, pour réaliser

l'un des deux cas, devra nécessairement devenir h sf^i pour convenir à Tautre ; or c'est précisément ce qui arrive, d'où il suit qu'il y a' parfait accord entre le point de départ et les conclusions. Et si maintenant je pars de la condition

au moyen de laquelle la contradiction précédente n'existe plus, pour descendre jusqu'aux nouvelles racines correspondant à cet état modifié de la question, rimpossibilité étant supprimée au début le sera également dans tout le cours des calculs, elle lésera à la fin; dès lors le signe caractéristique de cette impossibilité, c'e8t*à-4irP ^—ï^ n'existera plu8| les racines seront de- Tenues réellep,

60 DBS FORMES IMAGIIfAIRES.

Reconnaissons donc en résumé que, lorsque des racines imaginaires se présentent comme solution d'une question, il faut en conclure tout d'abord que c'est l'indice inévitable qu'une contradiction existe dans l'énoncé ; si alors on veut connaître quelle est la nature de cette contradiction, on commencera par dépouiller les racines du signe de l'opération impossible ; en cet état, on mettra en œuvre sur ces racines les opérations mêmes que la question autorise et commande, et on sera ainsi nécessairement conduit à une proposition différente delà première, qui sera le redressement qu'on doit faire subir à l'énoncé primitif pour que celui-ci, dans sa nouvelle forme, cesse de contenir une nouvelle contradiction : auquel cas il ne pourra conduire, pour les mêmes circonstances que précédemment, qu'à des racines réelles. C'est ce dont nous présenterons tout à l'heure quelques applications.

En conséquence, de même que la présence des racines négatives, de ces racines auxquelles les géomètres donnèrent au début le nom de fausses solutions, se comprend et s'interprète aujourd'hui en faisant subir au besoin aux termes de l'énoncé primitif un redressement après lequel elles deviennent positives, de même la manifestation des racines imaginaires n^impliquera pas pour notre intelligence une impossibilité à indépendance complète, une non-compréhension absolue de ce que peuvent signifier de pareilles racines, mais une impossibilité momentanée, dépendante, relative seulement à l'état dans lequel une question est présentée, et témoignant de l'insuffisance des moyens où est Talgèbre, d'exprimer avec la seule idée du nombre quelque chose d'équivalent à l'ensemble des conditions initiales.

Que le lecteur nous permette une comparaison qui nous parait propre à bien rendre notre pensée.

Supposons un instant qu'intéressé au succès d'une demande dont la solution dépend d'un ministre, vous allez vous adresser à lui. Vous donnez à votre question une forme nette et précise, vous mettez, comme nous le disons en algèbre, le problème en équation. Le ministre vous écoute, il prend en coo-