CHAPITRE IV. 6i

sidération les diverses parties de la question^ il procède à Texamen et à la recherche des combinaisons dont ces diverses parties sont susceptibles, et, après avoir effectué ce travail, conséquence nécessaire de votre demande, et moyen non moins nécessaire d'arriver à la solution, il vous dit que si certaines circonstances, sur lesquelles il ne s'explique pas d'ailleurs, se produisent, vous serez satisfait* Or si la nature de ces circonstances vous est inconnue, s'il ne vous est pas permis même d'entrevoir quels rapports elles pourraient avoir avec votre demande, si tout moyen de raisonnement vous échappe, il vous sera impossible d'assigner aucun sens à la réponse; vous voudriez tirer une conclusion, que vous vous trouverez dans l'impuissance la plus complète de le faire. Vous serez alors exactement dans la situation des algébristes qui se croient obligés de refuser toute compréhension à l'imaginaire.

Hais si, à la suite de quelques recherches, vous parvenez à savoir ce que sont ces circonstances, par quels liens elles peuvent se rattacher à votre demande, si vous reconnaissez en outre que leur réalisation est tout à fait impossible, vous éprouverez sans doute une déception, mais vous ne serez plus empêché de raisonner et de conclure, vous aurez appris, parfaitement appris qu'au point de vue de votre demande, vous vous trouvez en présence d'une impossibilité. Or cela vaut toujours mieux que de ne rien comprendre, car alors, réfléchissant plus profondément sur la nature de l'obstacle qui vous arrête, éclairé sur ses causes et sur ses dépendances, vous recourrez au sage parti de rechercher dans quel sens et par quels moyens il est nécessaire de modifier vos propositions et vos démarches pour que l'impossibilité actuelle cesse d*être pour vous un empêchement d'atteindre sinon le but que vous poursuiviez, du moins celui qui s'en écarte le moins.

Il en est de même de l'algèbre; tant qu'on laissera à l'imaginaire tout le vague, toute l'indétermination que ce mot jette dans l'esprit, il sera impossible de faire un pas en avant, notre intelligence sera frappée d'atonie. Hais si nous parvenons à dissiper cet état d'indécision, si nous renonçons à Tidée de vouloir reporter les effets de l'imaginaire sur les nombres, ce qui en ferait on ne sait quoi en leur attribuant un qualificatif non défini et serait plus encore que la négation de leur existence,

mais rimpossibilité de les comprendre tout en les laissant subsister ; si enfin nous en Tenons à reconnaître que Fimaginaire , quoique impraticable, est une opération algébrique définie, que cette impossibilité dans le résultat correspond et concorde avec une impossibilité équivalente dans les données; alors, mettant en œuvre, sur ce résultat, ainsi que nous venons de l'expliquer, la série des opérations que comporte la question, on sera conduit à un redressement de renoncé qui viendra dénouer les difficultés survenues, qui sera la véritable interprétation de ce qu'il faut faire pour que l'impossibilité qui s'est révélée soit anéantie dans la conclusion au moment même où elle vient de Vè\re dans les prémisses.

Peut-être quelques esprits ne voudront-ils voir dans tout ceci qu'un jeu de raisonnement, très-acceptable sans doute, au point de vue de la logique, et parfaitement fondé si l'on ne sort pas du domaine des abstractions, mais peu propre à être vulgarisé dans la pratique, peu susceptible de lui rendre des services, nullement ou très-peu applicable aux questions concrètes.

Nous répondrons à ces observations que c'est déjà quelque cbose, ce nous semble, que d'être parvenu à faire accepter cette idée que ce à quoi jusqu*à présent on a si souvent refusé toute espèce de comprébension peut être compris et doit l'être comme une impossibilité, que de plus cette impossibilité porte uniquement sur une opération de calcul et non sur des nombres qu'elle rendrait inintelligibles/qu'enfin cette opération est mathématiquement définie. Accepter la question dans ces termes, c'est avoir, nous parait-il, exclu l'imaginaire, ce monde tellement incertain qu'on ne devrait pas même songer à se demander s'il est permis de s'y mouvoir; c'est avoir substitué à un état de choses qui est une véritable interdiction pour Tintelli* gence une situation nouvelle qui, au contraire, faisant appel aux ressources actives de l'esprit, le convie à prendre corps i corps cette impossibilité, à l'interroger dans ses causes, à la connaître dans ses effets et à déduire de ces études les correctifs qu'il faut faire subir à notre pensée pour éviter des con« tradictions qu'elle n'a pas prévues et que cette impossibilité seule a rendues manifestes.

Avoir contribué à faire rayer le mot imaginaire du diction-*

naire des sciences exactes^ avoir développé et démontré ce point de doctrine que Timpossible de Fimaginaire est tout simplement un conséquent naturel et inévitable d'un antécédent contradictoire ne nous a pas paru être une chose indiflérente, et voudrait-on réduire notre part à ce contingent, que notre ambition sera satisfaite. Hais dans une question il ne faut pas se contenter de voir seulement ce que la critique voudrait se borner à y mettre^ il faut y rechercher tout ce qui s'y trouve^ sans exagération sans doute, mais sans réticence. L'homme d^étude se doit tout entier à la vérité, il n'a pas le droit de la diminuer.

Or, sans prétendre que dans tous les cas l'imaginaire puisse être pratiquement interprété, c'est à profusion, dirons-nous, que, dans les applications, nous en pourrons indiquer la représentation soit opérative soit matérielle ; c^est à profusion que nous pourrons signaler les redressements d'énoncé qu'il commande et qui le détruisent ; c'est à profusion que, dans les questions concrètes, nous pourrons dire : Voilà l'équivalent physique et réel de ce que vous appelez imaginaire.

Matérialisons donc encore plus que nous ne l'avons fait le critérium de nos preuves, entrons davantage dans les choses de la pratique, voyons comment elles accepteront l'abstraction, comment se comportera le concret en présence de l'idée qui vient le saisir et l'étreindre.

Dans Texemple que nous avons cité, nous nous sommes proposé une question très-pratique sur les nombres. Nous nous sommes demandé quelles doivent être les valeurs de deux nombres x et y, pour que, leur somme étant égale à un nom«* bre a, leur produit soit égal à un autre nombre donné c.

Nous avons vu que, lorsque ce produit devient supérieur au quarré de la moitié de a, les valeurs des racines prennent la forme imaginaire

Nous avons en outre constaté que la présence de ces Imaginai* res correspond à une contradiction que nous avons introduite dans l'énoncé ; cette contradiction résulte de ce que nous avons

implicitement supposé qu'en retranchant au carré f - J celui

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de 6, nous devions avoir une différence supérieure à ( - j » ce

qui est évidemment impossible. De là la présence de racines imaginaires; enfin, par la forme même de ces racines^ nous avonsété conduit à cette conséquence que le redressement qu'il faut faire subir à Ténoncé, si Ton veut faire disparaître la contradiction^ consiste à remplacer la condition

par celle

Or, celle-ci est tout aussi pratique que la première^ et elle constitue l'énoncé d'une nouvelle question non moins compréhensible que celle qu'elle est destinée à remplacer. En effets la somme x + y restant toujours égale à a, la nouvelle condition ne diffère de la précédenle qu'en ce que son premier membre

surpasse de 26* ou de - (a? — y)' le premier membre de celleci. Dès lors la traduction du redressement d'énoncé indiqué par l'imaginaire consistera à dire que le produit des deux nombres^ au lieu d'être immédiatement égal à c, ne pourra le devenir qu'après qu'on lui aura ajouté la moitié du carré construit sur la différence de ces mômes nombres. On devra donc avoir actuellement

d'un autre côté, on a

Soustrayant la première de ces équations de la seconde^ on

trouve que la valeur de xy, en fonction de quantités toutes

a* connues, est c, et tel sera le dernier terme de l'équation

qui prendra la forme

js*— aa -f-o* — c = 0