CHAPITRE IV

Qu'on fasse maintenant usage pour a et pourc des valeurs 12 et

40 qui avaient d'abord conduit aux racines 6±:2 y— i, et on obtiendra les mêmes racines dépouillées du signe de Timpossibilité, c'est-à-dire 6 ±: 2.

Tout ceci est maintenant devenu très-net, très-précis, trèsréel, et comme c'est Timaginaire qui nous y a conduit, on voit que celui-ci n'est pas aussi dépourvu de sens qu'on pourrait le croire; qu'il peut au contraire avoir une mission parfaitement définie dans Tordre des choses possibles, et que si son apparition momentanée est l'indice d'une impossibilité qui, à notre insu, s'est introduite dans nos demandes, il porte avec lui l'indication de ce qu'il faut faire pour rectifier les erreurs de nos jugements. Une pareille mission, à coup sûr, au lieu d'être imaginaire, présente un incontestable cachet d'utilité pratique, et n'y voudrait-on pas voir de l'algèbre qu'on sera tout au moins obligé d'y reconnaître un remarquable auxiliaire du bon sens.

Passons à un second exemple dans lequel, au lieu d'être averti par l'imaginaire qu'une contradiction non soupçonnée s'est glissée dans l'énoncé, ce sera nous, au contraire, qui volontairement provoquerons la présence de l'imaginaire en introduisant sciemment une contradiction dans la demande.

Si un nombre entier impair est le produit de deux facteurs, il sera toujours possible de donner à ces facteurs les formes a -f 6, a — 6, les nombres a et 6 étant entiers. En effet, a: et y étant ces facteurs^ si l'on pose

on aura

et, comme x ei y sont supposés impairs, ces deux expressions de a et dç 6 seront des nombres entiers. Il résulte de là qu'on peut dire que tout nombre entier impair est égal à la différence a* — 6* des carrés de deux nombres entiers. Tant que cette forme appartiendra à un nombre, et sous la réserve que

a — b n'est pas égal à Tunité, on sera certain que ce nombre ne saurait être premier. Il suit de là qu'écrire que p étant un nombre premier, il est néanmoins égal à a'— b'^ ce serait évidemment et volontairement écrire une impossibilité^ parce que ridée de nombre premier est formellement exclusive de ridée de multiple nécessairement inhérente à la forme

On n'hésitera donc pas à reconnaître qu'exiger que, même dans ce cas^ p soit égal à un produit de la forme (a + 6) (a — 6) sera une chose impossible avec des nombres réels^ toujours sous la condition que a — b n'est pas l'unité. D'où il faut nécessairement conclure que^ si néanmoins il existe des formes algébriques susceptibles de reproduire un nombre premier par voie de multiplication, ces formes ne sauraient exister en réel; elles seront imaginaires. On voit donc^ dans le cas actuel^ et à rinverse de ce qui a eu lieu dans l'exemple précédent^ comment la contradiction volontairement introduite dans la demande nous conduit à affirmer qu'il y aura cerlainement une impossibilité dans la réponse^ avant même que la forme de cette impossibilité nous soit connue.

Et quant à cette forme, parce que, tant que b sera réel^ la différence des carrés a* — fc" laisserait toujours subsistante l'idée de multiples réels^ on comprend que le moyen d'échapper à cette contradiction consisterait en ce que le résultat de la multiplication, tout en donnant du réel puisque ce résultat doit être égal à p, cessât de revêtir la forme o* — 6*. Or, sans qu'il soit nécessaire d'insister autrement sur ce point et en nous reportant à des observations plusieurs fois exposées dans ce qui précède, on voit que pour satisfaire à cette double condition il suffira de substituer b y — i à 6. Alors, d'une part, le produit de la multiplication sera réel, et, d'autre part, la forme a* — b* aura disparu et se trouvera remplacée par celle

Certes, nous ne saurions prétendre que tous les nombres premiers seront é^aux à un pareil produit; nous ne prétendons pas davantage qu'un produit de cette forme ne sera applicable qu'à des nombres premiers, mais nous sommes en droit d'affirmer que, s'il y a des nombres premiers susceptibles d'être algébriquement reproduits par voie démultiplication, la

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forme des facteurs à employer sera nécessairement a + b \/^

eia^b)/^.

On reconnaît d'ailleurs qu'il y a encore ici équivalence entre la contradiction qui figure dans la demande et Timpossibilité qui figure dans la conclusion ; car la contradiction consiste en ce qu'il est impossible que le carré de 6' change son signe tant que b est réel, et l'impossibilité finale provient de ce qu'on ne peut pas extraire la racine carrée du négatif. Or^ ainsi que nous Tavons déjà fait remarquer^ ces deux difficultés sont de même ordre, tout à fait équivalentes; car si le carré d'une quantité réelle qui est toujours positif pouvait devenir négatif, Textraction de la racine carrée du négatif ne serait plus impossible.

Qu*il nous soit permis de placer ici incidemment une courte remarque.

La faculté d'introduire, au moyen de l'imaginaire, l'idée de muiyple dans la composition de nombres auxquels cette idée est tout à fait antipathique en réel donne d'incroyables facilités pour résoudre presque tous les problèmes de la théorie des nombres. C'est ce que nous développerons lorsque nous nous occuperons de l'imaginaire en concret. Bornons-nous ici à en citer, entre mille, un exemple assez remarquable quoique fort simple. Il s'agit de résoudre en nombres entiers l'équation :

Texposant n étant quelconque ; remarquant que a* + b* est égal à (a + fc V --^) (a — 6 V^—T) et posant

ou aura également

a-6v^=(p— 9V— 0% d'où on déduit immédiatement

Développant ensuite les n»"»" puissances dans l'une ou l'autre des équations ci-dessus, et égalant séparément le réel au réel et Timaginaire à l'imaginaire, on obtiendra en fonction de

p et de 9 les valeurs de a et de b qui seront entières, ainsi que celle de c, si p et 9 le sont. Presque tous les théorèmes sur les nombres^ sauf plus ou moins de calculs, se résolvent avec la môme facilité de conception. Nous nous bornons, quant à présent^ à cette simple observation.

Dans les exemples précédenfs, nous nous sommes appliqué à justifier l'idée que la manifestation de l'imaginaire est une conséquence inévitable de la présence de quelque contradiction dans renoncé, et qu'il existe une complète équivalence entre cette contradiction et Timpossibilité finale. Nous nous sommes en outre engagé non-seulement à montrer les conséquences rationnelles de cet état de choses, mais encore à montrer le côté matériel et physique de ces conséquences. C'est ce qui sera très-facile lorsque nous nous occuperons de Tétudc de l'imaginaire en concret. Nous verrons alors qu'il n'y a pas une équation algébrique donnant naissance à des racines imaginaires qui ne soit susceptible d'avoir une représentation géométrique, pourvu qu'elle soit relative à des droites ou des courbes, à des lignes. Dès lors, dans cette partie de la science, les contradictions d'énoncés n'existant plus, les impossibilités de solution n'existeront pas davantage, et, en elTet, on verra que pour les droites

et les courbes , y^^ est toujours physiquement réalisable. On comprend qu'au point où nous en sommes, il ne nous est point encore permis d'aborder cet ordre de questions; nous pouvons néanmoins, sans grands efforts, et en matérialisant un peu nos demandes, donner une idée des ima^^es pbysiijues, tangibles, réalisables, par lesquelles peuvent être indiquées et représentées certaines ^conséquences de l'apparition de l'imaginaire.

A cet effet, proposons-nous de déterminer, dans une circonférence dont le rayon est r, la longueur de la corde située à une distance f du centre. Si l'on appelle a la moitié de cette corde, et si Ton mène un rayon à Texlréuiité de cette moitié, les trois longueurs a, /", riormerontun triangle rectangle ayant r pour hypoténuse et dans lequel on aura /*• + a* =r* ; de là on déduira