CHAPITRE IV

Tant que f sera plus petit q ue r, la valeur de a sera réelle ; el le deviendra nulle si /'est égal à r ; enfin pour toutes les valeurs de /"supérieures à r, l'expression r*— /** devenant négative, on en conclut qu'on aura des cordes qui seront réputées imaginaires. Voilà jusqu'à présent tout ce qu'on a dit de ces cordes.

Quant à nous, nous conclurons de cette circonstance que la question dans les termes où elle est actuellement proposée n'est pas possible, et nous reconnaîtrons sans peine que l'impossibililé résulte de ce que, dans la condition p + a} =r', la quantité /*' étant à elle seule plus grande que r*, à plus forte raison sera-t-il im possible qu'augmentée de quelque chose, elle s'abaisse jusqu'à r*. A cette contradiction l'algèbre répond naturellement par l'impossible.

Quant au moyen qu'il faudra employer pour faire disparaître la contradiction, il devra consister à retrancher quelque chose à p au lieu de le lui ajouter. Or c'est précisément là ce que l'imaginaire vient exécuter, car la quantité a se présentant

désormais sous la forme a^—i^ son carré va passer au négatif, ce qui nous apprend que la question n'est devenue impossible que parce qu'en même temps que fa pris une valeur supérieure àcellede r, nous avons continué d'admettre que la condition initiale doit toujours consister en ce que la somme des deux carrés p et a' reste constante et égale à r*. Nous n'avons pas besoin d'ailleurs d'insister pour faire remarquer que cette condition n'est autre chose que l'équation du cercle. Nous voyons maintenant, par la présence de l'imaginaire, que, pour redresser cette erreur, il faut substituer la différence des carrés à leur somme; ce qui nous conduit à reconnaître que le cercle ne sera plus susceptible de satisfaire au nouvel état de la question; mais au lieu de nous arrêter en chemin, sous prétexte d'imaginaire, et de ne plus chercher à comprendre, nous nous demanderons si au cercle, devenu impossible, ne vient pas se substituer une nouvelle courbe géométrique; or l'imaginaire se chargeant lui-même de répondre à cette question vient nous montrer que cette courbe, au lieu d'être soumise à la condition que la somme des carrés des variables est constante, jouira de cette propriété, que cette constance doit être attribuée à la différence de ces carrés. Cette interprétation est d'ailleurs aussi claire, aussi pratique, aussi géométrique que la réponse pré-

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cédente était confuse et répulsiye pour Tintelligence. Au lieu donc de dire que, lorsque la distance delà corde au centre de la courbe devient supérieure à r, la corde cherchée est imaginaire, nous dirons que cette corde est impossible pour le cercle; mais que si nous débarrassons cette expression du signe d'impuissance qui la paralyse^ elle aura pour représentation physique et réelle la lougueujr de la corde qui, à cette distance^ est celle de Thyperbole équilatère dont chaque axe est égal à 2r.

Plus généralement lorsque^ partant de l'équation de l'ellipse mise sous la forme

nous déterminerons la valeur d*une des coordonnées en fonction de l'autre^ et que^ dans cette fonction, nous ferons usage pour celle-ci d'une valeur supérieure au demi-grand axe correspondant, nous trouverons que la coordonnée cherchée devient imaginaire. Or, sans qu'il soit nécessaire de reproduire ici une série de raisonnements qui serait en tout semblable à la précédente^ nous dirons que l'impossibilité de ce résultat en signale une correspondante dans Tétat primitif de la question^ consistant en ce que l'un des deux termes du premier membre^ au lieu d'être ajouté^ doit être retranché, et nous conclurons que dans ce cas l'interprétation de l'imaginaire doit se faire en disant que l'imaginaire de l'ellipse est l'hyperbole ayant mêmes axes qu'elle, de même que l'imaginaire de l'hyperbole sera l'ellipse; traduction parfaitement définie, très-géométrique, très-réelle d'une circonstance incomprise jusqu'à ce jour, et en présence de laquelle nous avons dû nous déclarer impuissant.

Nous pourrions multiplier ces applications, mais nous pensons que les exemples que nous venons de faire passer sous les yeux du lecteur sont suffisants, d'une part, pour justifier dans toute leur étendue le mérite des explications développées dans les chapitres précédents ; d'autre part, pour donner une idée suffisante de la marche à suivre dans la pratique lorsqu'on cherchera à résoudre les difficultés qui pourront se présenter.

CHAPITBI IT. 71

Prévoir toutes ces difficultés est une chose impossible^ on le comprend. Dans tout ordre de considérations^ les espèces se multiplient à Tinfini, nous ne saurions donc avoir la prétention de les passer toutes en revue ; mais nous croyons, à l'aide de ce qui précède, avoir mis dans l'esprit et dans les mains du lecteur les moyens propres à lui faire clairement saisir et le point de départ de ces difficultés et la seule interprétation raisonnable qui puisse être la conséquence de leur manifestation.

Nous n^ignorons pas qu'avant nous quelques esprits sensés se sont refusé à suivre, au sujet des imaginaires, la routine ordinaire qui consiste ou à n'en pas parler, ou à se borner à les signaler comme des grandeurs ou des quantités qu'on ne saurait comprendre.

Il a répugné à certaines intelligences d'accepter les idées reçues, ou, pour mieux dire, les habitudes prises, car il a été émis fort peu d'idées sur ce point délicat de l'algèbre, et elles ont protesté contre des assertions qui leur paraissaient être en hostilité avec la saine raison.

Lacroix, dont l'esprit philosophique ne nous parait pas avoir été suffisamment apprécié, est très-explicite à cet égard; après avoir indiqué dans ses Éléments d'algèbre ce qu'on nomme quantités imaginaires, il fait observer dans une note qu'il serait plus exact de dire : expressions ou symboles imaginaires, puisque, ajoute-t-il, ce ne sont pas des quantités. La dénégation de Lacroix est formelle, et c'était beaucoup faire il y a cinquante ans. Mais son laconisme nous porte à croire que s'il ne lui était pas possible de s'accommoder de ce qu'on disait à son époque, il n'était pas aussi bien fixé sur ce qu'il aurait fallu dire à la place. Ce qui nous confirme dans cette pensée, c'est l'emploi dnmoi symbole qui est plutôt une protestation qu'une explication. Qu'est-ce, en effet, que ce symbole? quel sera son rôle? que représente-t-il? que formule-t-il?

Pour Lacroix, sans doute, ce devait être un indice d'impossibilité ; mais il y a pour les choses plusieurs manières d*être impossibles. En algèbre, par exemple, un logarithme négatif, un sinus ou un cosinus plus graind que l'unité sont, comme v/^, des impossibilités. Or un symbole qui n'est qu*une figure, une image, un moyen de rappeler une chose, qui n'est

pas Tobjet même dont on a à s'occuper^ un symbole, disonsnous, peut ne pas faire connaître avec quelle sorte d'impossibilité on se trouve en présence.

Or pour nous v/--T est plus qu'un symbole, ou un signe conventionnel, comme quelques-uns le prétendent, sans dire quand, comment et par qui cette convention aurait été introduite; c'est une espèce particulière d'impossibilité se manifes^ tant avec les signes naturels et directs que lui imprime le calcul ; c'est ropération algébrique même que nous ne saurions exécuter, il est vrai, mais qui porte avec elle les conditions écrites de sa définition; qui aura ainsi ses raisons spéciales et nécessaires de paraître, de disparaître, de fonctionner dans les calculs; qui conservera par conséquent avec la science dans laquelle elle a sa place obligée des relations à la fois dépendantes et autorisées, et qui, eu vertu de ces relations, fil conducteur de notre intelligence, sera appelée à jouer dans cette science un rôle dont il nous sera possible d'étudier l'étendue et d'assigner les fonctions. La tâche pourra être ardue quelquefois, mais du moins Tesprit ne sera pas comme le navigateur égaré sans boussole et sans gouvernail au milieu de mers inconnues; car, avec la conscience de la nature des difficultés qu'il va affronter, il aura celle des moyens à mettre en œuvre pour les vaincre.