VIII AVANT-PROPOS

envahissements trop étendus. Dans la science^ il faut qu'il y ait place pour tout, sans empiétements^ et dans les conditions mêmes qu'elle indique.

Il m'a semblé que le moment était propice pour revenir sur ces intéressantes questions; qu'en présence des progrès constatés dans le mouvement intellectuel chez les autres nations^ nous ne pouvions pas rester en arrière, et qu'il était utile quUl se fit quelque chose en France.

C'est ce que je viens essayer aujourd'hui. Hais ce qui je crois est une cause de grande hésitation chez beaucoup d'esprits, c'est qu'en admettant qu'il est bien établi que la forme imaginaire correspond en géométrie aux Ion* gueurs dirigées, et qu'on peut ainsi se faire une idée nette de son interprétation dans ce cas particulier, on ne comprend pas aussi bien sa présence continuelle dans les recherches d'algèbre pure, et le rôle qu'elle peut y jouer; car ces recherches ne s'appliquent pas plus à la longueur qu'à des nombres, des poids, des temps, et à toute autre espèce de quantités pour lesquelles jusqu'à présent, du moins, la forme V — ' i^^ste quelque chose d'irréalisable.

11 est certain, par exemple, qu'on a quelque peine, au premier abord, à se rendre compte de intervention de l'imaginaire dans une question purement arithmétique. Si, par la force des choses, on est contraint d'accepter une telle réponse, il n'y a pas moins dans ce fait un sujet d'hésitation, de révolte même, à la suite duquel Tesprit est incessamment et malgré lui poussé à demander le pourquoi d'une chose dont on n'a pas encore donné le parce que.

Il faut bien qu'il y ait pourtant une cause à tout ceci, et je suis convaincu que si celte cause était connue, si l'on pouvait s'expliquer que, même lorsqu'on ne traite pas une question de géométrie, lorsqu'on s'occupe uniquement de nombres arithmétiques, si, dis-je, on pouvait se rendre compte des

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nécessités qui font que, même aiors^ l'intervention de Kmagioaire peut se justifier^ on aurait puissamment contribué à dissiper les incertitudes qui tiennent en suspens un si grand nombre de géomètres.

Ce qu'il y a d'incontestable, c'est que c'est là un désir qui existe chez beaucoup d*esprits^ si même il n'est pas général ; dans un article sur le principe et la règle des signes (*), M. Transon exprime fort judicieusement ces aspirations dans les termes suivants :

« La plupart des géomètres^ dit-il, persistent à considérer a l'attribution des signes plus et moins, à des quantités isolées, a comme étant absolument impossible et absurde, au mein$ a lorsquHl $*agii des ccUcuh de l'algèbre proprement dite.

« Or, il semble naturel de croire que Tusage du principe d des signes, universellement accepté dans la géométrie ana- <( lytique, devra tôt ou tard réagir sur la manière de concevoir a la théorie des quantités positives ou négatives dans l'algèbre « elle-même, car il serait au moins étrange qu'un principe < reconnu essentiel et indispensable à l'une des applications a les plus étendues de la science du calcul, lui fût étrangère « et contradictoire, lorsqu'on la considère, cette même science, c dans toute sa généralité. »

Je pense que le présent travail aura pour résultat de combler cette lacune. L'on verra qu'en eOèt les conséquences définitives des explications qui vont être présentées sur les principales obscurités de la science, conduisent à la constitution d'une algèbre qui n'a plus pour objet.une espèce en particulier, abstraction faite de toutes les autres, mais dont le rôle plus général, tout à fait universel, consiste à rechercher et k déterminer les rapports de pluralité de mesure et d'ordre qui

(*) Nouvelleê Annaleê de McUhémaliqueB, 2« série, tome VI. 1867.