CHAPITRE V

lieu de conserver leurs formes anciennes, prendront les sui- Tantes :

11 convient toutefois de faire suivre cette démonstration d'une remarque justificative. En multipliant le second membre par £, c'est en fait substituer x£ à x, et, par suites h + c devient h£ + c£; il faut en conséquence modifier dans ce sens tous les termes de Téquation. Dans le second membre^ c'est ce qui a lieu pour œ et pour c; en opérant d'une manière analogue pour le premier^ il devient pa;£— b£; il change donc^ mais ce changement n'en produit aucun dans le cube. On en dirait autant pour le multiplicateur £*, de sorte que dans les trois cas on aura la même équation finale. Les trois racines seront donc bien celles que nous avons indiquées.

En résumé^ que résulte-t-il de ces divers détails ? que c'est évidemment parce que l'unité a trois racines que l'élévation au cube conduit à une équation du 3* degré ayant elle-même trois racines distinctes; supprimez les racines de l'unité, ou pour mieux dire n'en admettez qu'une, qui sera l'unité elle-même^ toutes les variétés de formes que nous venons de passer en revue s'eflàcent et se ramènent sans exception à la forme initiale b+c. C'est la première proposition que nous avons voulu justifier.

Puis nous voyons que le point de départ^ Téquation en x, tout en exprimant la même relation entre x, b et c, sous les diverses formes que l'algèbre autorise^ conduit, pour chacune de ces formes^ à des groupes diflérents de trois racines dans lesquels la seule chose qui reste constante est la racine primitive b + c.

On s'explique dès lors, pour le troisième degré, pourquoi une équation de ce degré doit avoir trois racines, pourquoi l'in-tervention de l'imaginaire est inévitable, comment s'introduisent et se diversifient les formes; tout cela dépend de ce principe unique que l'unité a trois racines du troisième degré; sans lui^ à la place de la double multiplicité de nombre et de forme, nous ne trouverions plus que la constance du type h + c.