VI. Quatrième degré

Prenons encore pour point de départ a; — 6 — c=o, et appelons £, £*, £? les racines quatrièmes de Tunité autres que i.

Nous dirons succinctement :

I* Qu'en opérant sur x—h—c =Ojnous aurons quatre racines égales;

2* Qu'en opérant sur a: =6 + c, il y aura trois nouvelles racines introduites qui seront successivement égales au produit de 6 + cpar JE, £«,£»;

3o Qu'en opérant sur x — 6=c, les quatre racines s'obtiendront en ajoutant à h les produits respectifs de c par i, &, £S £».

Ceci ne saurait présenter aucune difficulté.

Partons maintenant de x=^b +c, et^ au lieu de passer immédiatement à la quatrième puissance, formons d'abord la seconde. L'équation résultante sera

et comme elle convient en fait à a; =6 + cet à a:= — (6 + c), ce seront là ses deux racines. Si ensuite on élève de nouveau au carré, les deux racines introduites seront celles de Téquation

c'est-à-dire dt v^-^ (6 -f c), ce qui est conforme à ce qui précède.

Mais si nous écrivons Téquation résultant de la première élévation au carré sous la forme

ce qui ne changera pas les valeurs ±[h + c) de ses racines, et que nous élevions maintenant une seconde fois au carrée les deux nouvelles racines introduites seront celles de l'équation

et elles seront faciles à déterminer; car cette équation ne diffère

CHAPITBE y. 85

de la précédente que parce que bç est négatif, ce qui correspond à prendre l'une ou l'autre des quantités 6 et c avec le signe—, et ce qui, d'ailleurs, ne change pas les signes de 6* et de c';;ies quatre racines seront d'après cela

it(6 + c), rh(6--c).

Si au lieu de 6* et de c\ c'est 26c qu'on fait passer dans le premier membre, on aura

et une nouvelle élévation au carre conviendra également à cette équation et à cette autre

œ*—2bc = — (6« + c*).

Or les racines de celles-ci doivent être telles que, sans changer le signe de 26 c, elles changent celui des carrés; on satisfait à cette dernière condition en prenant ±:b)/'—i.±c^-^ à la place de d:6,±:c; et, pour conserver cet effet, tout en maintenant le signe actuel de 6c, il faudra prendre des signes extérieurs contraires, de sorte que finalement lesquatre racines seront

±(ft+c), ±v^~i (6-c).

Voilà donc encore, pour la même équation primitive, et pour l'élévation à la même puissance, de nouveaux groupes de racines.

Examinons maintenant le cas où la yaleur de x est décomposée en trois éléments a,6,c. Si d'abord on élève directement a;=a + b-fcàla quatrième puissance, on formera une équation dont les quatre racines seront respectivement les produits dea-H6 + cpar i, £,£*, £\

Si, en second lieu, on commence par former le carré de xz=:a+b + c, et qu'ensuite on fasse passer a' -f- 6* + c' dans le premier membre, on aura Téquation

x'^—{a^ + bt+c*) = 2{ab + ac+bc)

dont les racines seront ±:(a + b + e). Cela posé, une nouvelle élévation au carré donnera une équation du quatrième degré.

qui conviendra non-seulement à la précédente, nnais à celle autre

x^^ (a* + 6* + c*) = — 2 (ah + ac+ bc) .

Quelle est la modification que le signe — du second membre introduit dans les deux racines primitives? Elle doit être telle, que, sans changer le signe de la somme des carrés, elle change celui de la somme des produits deux à deux.

La chose est très-facile quand on n'a qu'un binôme a+fr. Dans ce cas. sans changer le signe de a* + 6', on change celui de ab en écrivant que l'un des nombres a ou 6 devient négatif. À l'inverse, sans changer le signe de ab , on change celui de

a* + 6', en substituant à aet à 6, soit a /^ et— 6v^ — i, soit

— asj — I et 6 v^ — i. Mais, lorsqu'il s'agit du trinôme, les choses ne paraissent pas devoir se passer aussi simplement, et, quant à présent, nous nous bornerons à faire remarquer que, dans ce cas, et dans tous les cas semblables, on a la ressource de la résolution directe de l'équation qui donne

rc= ±sj a^-^-b^ + c^ — 2 {ab '\'ac'{'bc).

Au reste, dans la circonstance actuelle, l'algèbre échappe à cette difficulté. En effet, l'équation finale du 4** degré sera

et l'on remarquera qu'il lui manque, non-seulement le terme en ar', mais encore celui en x.

Cela posé, l'équation générale du 4* degré dépouillée de son second terme étant

a?* + px* + qx+r=Oy

on sait que sa réduite est

dont les racines sont respectivement les carrés de a, 6, c.

Mais lorsque dans la proposée le terme en x n'existe pas, c'est-à-dire lorsque q est nul, la réduite se trouve privée du terme tout connu ; elle a donc une racine nulle, ce qui réduit le trinôme a -{- 6 + c à un binôme, et la difficulté précédçntç aura i^insi disparu.

GHAPITBE V, 87

RevenoDS maintenant à Téquation priniitive^ et mettons-la sous la forme x — a = 6 + ^ ? si on l'élève au carré, celte opération faisant disparaître l'influence du signe de 6 + c, les deux racines de Tcquation obtenue seront a±(b + c). Si, dans cette équation, on fait passer le terme — 2 ax dans le second membre et b*+6^ dans le premier, elle prendra la forme

X* + a*— fr* — c*=2ax + 2 hCy

et elle continuera d'avoir les mêmes racines.

En cet état, élcTant de nouveau au carré, on obtiendra une équation du 4" degré, ayant les deux racines précédentes^ et en outre celles de Téquation

ic' + a'— 6*— c*= — 2 00?— 26c,

identique à la précédente, sauf le changement de signe du second membre. Or, sans qu'il soit nécessaire d'insister à ce sujet, on reconnaîtra que ce changement correspond : i*à celui du signe de a, 2° à celui du signe d'une des quantités h et c, ce qui conduit finalement aux quatre valeurs suivantes

azii(6-t-c], — adb(6— -c).

On reconnaît ici la forme ordinaire de l'un des systèmes de racines qui résolvent l'équation du 4* degré, privée de son second terme, celui dans lequel les signes extérieurs négatifs de a, 6, c sont toujours en nombre pair.

Quant à l'autre système dans lequel, au contraire, les signes négatifs sont en nombre impair, il est aisé de se convaincre que les quatre expressions qui le composent constituent dans leur ensemble les racines d'une même équation.

En effet, nous venons de voir que les racines de l'équation

a;* + a»— 6*— c» = 2ax+2bc

sonta±{6+c); si nous changeons leur signe, ce changement n'en introduira qu'un seul dans l'équation; le terme 2ax deviendra — 2 (Ut, nous pouvons donc dire que l'équation

/c«-|-a»6« — c^=z—2ax + 2bc

a pour racines

— a±(fc+c).

88 DBS FORMES IMAGINAIRES.

Si inaintenaDt on fait i'éléiration au carrée Téquation résultante coDYiendra aux racines de la précédente ainsi qu'à celles de là suivante^ dans laquelle le signe du second membre est changé :

Or ce changement correspond à celui du signe de a et à celui du signe de Tune quelconque des quantités b et c, d'où il suit que les quatre racines seront :

— art:(6+c), +a±{b—c)\

c'est le second système indiqué dans les éléments. -

Indépendamment de ces deux systèmes, il y en a un troisième qui a été formulé par Wronski^ et dont la légitimité a été justiflée par Gergonne dans ses Annales de Mathématiques, (tome III. page 437). Voici la série d'opérations qui conduit à ce système.

En partant toujours de a;— a=6 -h c et élevant au carré, on obtient une équation du second degré qui a évidemment pour racines a±{b+c) et qu'on peut mettre sous la forme

x* + a* — 26c = b^ + c*+2ax;

cela posé, si Ton élève de nouveau au carré, l'équation finale conviendra, non-seulement à la précédente, mais encore à ce qu'elle devient quand on change le signe du second membre, c'estrà-dire à

or cette modification correspond : i» au changement du signe

de a, ce qui n'altère pas a'; 2<' à la substituliou de ±b^--i

et de rfcc \/^ à 6 et à c, ce qui change le signe de leurs carrés, mais en ayant soin de prendre des signes extérieurs contraires, afin que la valeur primitive du terme — 26c soit toujours conservée.

Les quatre racines seront donc :

azh(b+c), ad=(6— c)v^— I,

tel est en effet le système Wronski.

Ce que ce système offre de remarquable, c'est que tandis