CHAPITRE y

que dans les deux précédents qui sont ceux exclusivement dé* signés dans les ouvrages d'algèbre^ on ne voit figur,er que deux des racines quatrièmes de Tunité +i et — i^ dans celui-ci elles figurent toutes ostensiblement.

On peut observer encore que, dans les deux premiers systèmes^ une fois qu'on a fait la part des signes extérieurs positifs et négatifs^ les trois éléments a, b, c conservent pour les quatre racines des valeurs invariables. Il n'en est pas de même pour le système Wronski, où, cette part des signes extérieurs faite, il n'y a qu'une des trois indéterminées qui conserve une valeur constante^ tandis que les deux autres^ au lieu de rester sim* plement 6 elc pour les quatre racines^ ne se maintiennent en cet état que pour deux et deviennent b s/ — i , c y^^ pour les deux autres. 11 y a là un fait d'analyse qui^ en apparence du moins, vient se poser en contradiction avec les idées de symétrie, par rapport aux racines, qu'on serait tenté d'attribuer aux trois éléments a, b, c.

Il faut remarquer en effet que, dans les deux premiers systèmes, on peut permuter entre eux dans une racine quelconque, et comme on voudra, deux des éléments a, 6, c qui y figurent, sans cesser d'avoir une racine du même système. II en est de même pour Içs racines d'une équation du troisième degré privée de son second terme. De là nait dans l'esprit l'idée d'une sorte de symétrie dont jouissent les éléments a, b, c par rapport aux racines. Or c'est ce qui n'a pas lieu dans le système Wronski, ainsi qu'il est très-facile de s'en convaincre. Quelque intéressant que soit ce sujet, au point de vue de la constitution des racines des équations, nous devons nous borner à cette simple indication, et renoncer à des développements très-intéressants par eux-mêmes, mais qui nous détour- . neraient du but que nous poursuivons en ce moment.

Si maintenant on reporte sa pensée sur cet ensemble de variétés de racines, formant constamment des groupes quaternaires, issues toutes d'un même point de départ et résultant d'opérations algébriques autorisées sur une même équation primitive, on sera convaincu, nous l'espérons, d'une part, que la raison d'existence de ces variétés, toujours associées par quatre, repose sur le principe algébrique que l'unité, pour le 4« degré, possède quatre racines. Qu'on vienne en effet à sup-

primer ce principe, c'est-à-dire que ces quatre racines se rédui- . sent à l'unité, toutes ces variétés disparaissent en même temps, la multiplicité quadruple s'efface, et il ne reste plus pour x que l'unique valeur initiale, a + b + c. D'autre part, qu'en procédant à la solution d'une question, non-seulément on introduit dans le résultat des réponses étrangères, mais encore que suivant les divers procédés, tous légitimes, qu'on voudra mettre en œuvre, la nature et la valeur de ces réponses parasites changeront à chaque instant.

VIL Cinquième degré.

On ne doit pas s'attendre à ce que nous puissions aborder la généralité des cas de l'équation du cinquième degré. Tous les efforts que l'on a tentés pour la résoudre ayant échoué, nous serions à notre tour paralysé par les mêmes circonstances. Notre but n'est pas ici de courir après les choses nou\elles, mais d'expliquer, de justifier les anciennes, et surtout de rechercher leur raison d^être. Nous limiterons donc cq que nous avons à dire sur le cinquième degré à quelques cas simples dans lesquels la résolution est possible, et nous verrons que, dans tout ce qui, jusqu'à ce jour, s'est montré abordable aux investigations des géomètres, les principes exposés ci-dessus s'apphquent dans toute leur intégralité.

Si nous représentons par £ la première racine du cinquième degré de l'unité, et si, partant de xz=ia + 6, nous formons la cinquième puissance, nous aurons une équation dont les racines seront les produits successifs de a + 6 par i , £, £*, £*, £*.

Nous constatons ainsi dès l'abord comment l'influence des racines cinquièmes de l'unité, combinée avec celle de l'élévation à la 5* puissance, donne lieu à la création nécessaire de cinq racines.

Nous remarquerons maintenant que dans le développement de (a-f ^)* Qous aurons d'abord les deux termes a^ et &', tous les autres seront multipliés par 5a6 et formeront l'ensemble suivant :

ayant alors égard à ce que à? + ¥ est la même chose que