CHAPITRE V

(a+6)*— 3a6(a-|-6), on voit que cet ensemble peut s'écrire

5a6(a + &)»— 5a«6'(a+ft),

de sorte qu'en faisant tout passer dans le premier membre, on aura la condition :

Dans cet état, Téquation conserve pour ses racines les valeurs ci-dessus. Hais il n'en est plus de même lorsqu'on met xklsL place de a+ 6 et qu'on écrit :

^*— 5a6âî» + 5a*6*j?— (a' + 6') = o.

Cela tient à ce que les fonctions de a et de 6 qui figurent dans cette équation ne restent pas invariables pour les cinq racines précédentes; il en est bien ainsi pour a' et b^, mais le produit ab change pour chaque racine et prend successivement les valeurs

ab, ab£, abS", abS", ab£',

de sorte qu'elles cesseraient de correspondre à la même équation. On ne tarde pas toutefois à reconnaître que si, au lieu de multiplier a et b par la nhême racine de Tunité, ainsi qu'on l'a d'abord pratiqué, on les multiplie par des racines différentes dont la somme des exposants soit égale à S, tout restera invariable dans l'équation. Nous sommes en conséquence autorisé à dire que les cinq racines de l'équation ci-dessus ont les formes suivantes

Ce cas particulier de l'équation du 5« degré présente une analogie complète avec ce qui a lieu dans le 3"; aussi la résolution se fait-elle par un procédé identique dans les deux cas, et il en serait de même pour tous les degrés. Disons, en passant, qu'au point de vue concret, l'analogie consiste en ce que, dans le 3* degré, il s'agit de la trisection d'un angle, et que dans le cas actuel il s'agit de la quintisection ; plus généralement, pour un degré quelconque n, il existe toujours une équation particulière analogue qui répond à la détermination de la n'^""* partie d'un angle. Quoi qu'il en soit, l'équation actuelle n'est

pas générale; non-seulement il lui manque le terme en x^, mais elle est encore privée de celui en x*, et les coefficients de a;* et de a; sont liés par la relation que le second est la cinquième partie du carré du premier.

Lorsque ces conditions se réalisent^ lorsque l'équation du 5* degré se présente sous la forme

elle est résoluble ; la forme de ses racines est celle que nous avons ci-dessus déterminée, et quant à leurs valeurs définitives^ on les obtiendra au moyen des deux valeurs suivantes de a et de b qu'on déterminera par un procédé tout à fait analogue à celui dont on fait usage pour le 3* degrés savoir :

Passons à Texamen d'un autre cas.

Après avoir élevé x z=: a + bk la cinquième puissance^ on peut remarquer que les termes de ce développement^ à l'exclusion de a' + 6*, peuvent s'écrire :

ou bien

Sba*(a + by + Sb^a{a+b).

Remplaçant alors a+b par x, et faisant tout passer dans le premier membre, on aura la condition

a^—Sba^x^ — Sl^ax — (a'+6')= o.

Hais comme x n'est égal k a + b que pour la première racine^ cette équation va cesser de convenir aux quatre autres; or il est facile de se rendre compte des modifications qu'il faut faire subir à celles-ci pour qu'elles deviennent propres à l'équation nouvelle.

On remarquera d'abord que al^ + b* restera invariable quelles que soient les racines de l'unité par lesquelles on multipliera a et 6. Que reste-t-il donc à faire? à s'arranger de manière que 6a* et 6*a restent invariables après qu'on aura multiplié a et 6