CHANTRE V

par des puissances convenables de £. Or ces deux résultats s'obtiennent sinvultanément, car si k et k^ sont les exposants de £ qu'il faut employer pour que ba* ne change pas^ on devra avoir

et il faudra que

élevant au cube^ il vient

ce qui se réduit à

II est donc vrai que les mêmes valeurs de A: et de k^ satisfont simullanément aux deux conditions. 11 ne reste donc plus qu'à combiner A: et A/ de telle manière que la somme k + 2V soit un multiple de 5; Ton trouve, d'après cela^ que les cinq racines auront les formes suivantes :

a + b, a£+b£\ a£« + 6£, aff + b&, a£' + b£\

Voilà donc encore un cas, mais un cas particulier de l'équation du 5* degré qui est résoluble. La particularité consiste ici : fo en ce que les termes en x'' et œ^ manquent; 20 en ce qu'il y aura une relation obligée entre les coefficients de x* et de X et le terme tout connu.

Soit en effet l'équation :

x^ + px^ + qx + r =0.

En la comparant à la précédente^ on aura :.

si Ton multiplie le carré de la première condition par la seconde, il vient

-^ = av.

Connaissant ainsi le produit et la somme de a'^ et de 6', on

94 DES FORMES IllAGiNAIRES.

obtiendra par les procédés ordinaires les valeurs suivantes de a et de 6 •

qui; substituées dans les cinq types ci-dessus^ donneront les valeurs des racines.

Quant à la relation entre p, q et r, il est très-facile de Tobtenir.

En effet, si Ton élève la première condition au cube et qu'on la divise par la seconde^ on aura

puis^ élevant la seconde au carré et divisant par la première

d'où

fl* P*

telle est la relation obligée entre les coefficients. En conséquence, une équation du 5« degré ayant la forme

est résoluble^ et ces cinq racines ont le^ valeurs que nous avons ci-dessus déterminées.

Nous pourrions présenter encore d*autres exemples de formation et de mutations de racines résultant des procédés propres à constituer une équation du ^^ degrés et même quelques cas des équations de degrés supérieurs; mais nous devons mettre des limites à notre travail, et nous croyons en avoir assez dit pour justifier, dans ce que les équations ont d'accessible en matière de résolution algébrique^ toutes les assertions qui ont été exprimées au début*

CHAPITRJB V. d5

En résumé^ nous nous sommes appliqué à faire comprendre pourquoi l'élévation d'une équation à une puissance a pour conséquence inévitable Taccroissement du nombre des racines^ et met ce nombre en état d'équivalence avec le degré de l'équation résultante; et comment cette multiplicité est une dépendance nécessaire du principe dont jouit l'unité d'avoir pour chaque puissance autant de racines que l'indique le degré de cette puissance.

Nous avons montré par de nombreux exemples que les nouvelles racines obtenues par Télévation aux puissances changent de valeur, non-seulement avec un degré donnée mais encore, pour le même degré, suivant la disposition qu'il aura convenu d'adopter dans la répartition des termes d'une équation entre ses deux membres.

On conçoit ainsi comment il doit arriver si souvent que le résultat final de nos calculs contienne tout autre chose que ce qui semblerait, devoir s'y trouver d'après l'état direct de la question; comment, en particulier, l'imaginaire vient s'imposer dans des recherches qui^ cependant^ ont pris leur base dans le réel; comment ce fait, si surprenantau premierabord^ est une conséquence toute naturelle des procédés d'opération que l'on met en oeuvre^ et cela parce que le résultat nécessaire de toute élévation aux puissances est l'introduction implicite, mais inévitable^ des racines de l'unité^ c'estrà-dire de la forme imaginaire.

On voit enfin combien il est'nécessaire^ quand on est arrivé à une conclusion, de la discuter avec soin pour rechercher et choisir^ dans l'ensemble des racines obtenues^ celles qui sont spécialement applicables à la nature particulière de la question qu'on s'est proposé de résoudre.

96 DE l'abstraction en algèbre.