CHAPITRE VI

OÙ notre exposition est arrivée à sa fin que nous croyons nécessaire de nous expliquer catégoriquement sur ce qu^il faut entendre par l'abstraction en algèbre.

Si les idées que nous cherchons à faire prévaloir étaient généralement acceptées, si elles étaient à l'abri de toute controverse et acquises à la science sans réserve et sans contradiction, comme nous espérons qu'elles le deviendront un jour, il n'est pas douteux que, pour en présenter le développement sous la forme la plus rationnelle, ce qu'il conviendrait de faire consisterait à placer au début ce que nous mettons aujourd'hui à la fin, et à prendre nos conclusions pour prémisses.

Deux principaux motifs nous on t déterminé à agir autrement: d'abord notre intention n'a pas été de .créer un ouvrage d'enseignement ; nous adressant plutôt aux intelligences qui connaissent déjà la science qu'à celles qui veulent l'apprendre, la nécessité d'un ordre exclusivement méthodique élait moins nécessaire ; le rôle de la critique, qui est ici le nôtre, consiste plus encore à rechercher et à préparer les méthodes qu'à les exposer ; or, quand on a cherché, ce n'est qu'à la fin qu'on peut faire connaître dans quelle position nouvelle il est permis de se placer.

En second lieu, le sujet dont nous avions à nous occuper renfermant des obscurités, et notre but étant de les éclairer, il nous a semblé que nous devions prendre les choses telles qu'elles sont, et laisser chacun dans la situation d'esprit résul* tant de ses pensées, de ses études, deses.réflexions antérieures. Imposer dès le début notre manière de voir sur Pensemblc de la science eût été à peu près inutile pour ceux qui sont déjà disposés à penser comme nous, et susceptible d'éveiller chez les autres le sentiment des résistances préventives, écucil dauge>* reux contre lequel viennent si souvent se heurter les idées. nouvelles.

Nous avons donc pensé qu'en nous mettant en présence de toutes les convictions telles qu'elles peuvent s'être* faites, ce n'était pas pac une sorte de contradiction vis-à-vis d'elles, et non encore justifiée, que nous devions les aborder. 11 nous a paru que nous assurerions mieux la réussite de nos projets, en cherchant à produire d'abord ce sentiment de satisfaction que l'esprit éprouve toujours lorsque le voile de l'inconnu se sou-

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lève^ que le doute se dissi|)e, et que la clarté se fait sur les choses incomprises.

Maintenant que celte tâche nous paraît accomplie, et que les diverses obscurités de détail ont été successivement expliquées^ nous le croyons du moins, le moment est venu de formuler des conséquences plus générales^ et de faire connaître rinfluencedes explications précédentes sur l'ensemble de nos conceptions en ce qui concerne l'algèbre.

Bien que, dans ce qui a été dit jusqu'à présent, nous nous soyons presque exclusivement concentré dans le domaine abstrait, nous avons fait cependant quelques excursions dans le concret. C'était nécessaire, non-seulement pour donner une idée plus étendue de Tutilité de nos explications^ mais encore pour nous placer dans *la situation même qui nous est faite aujourd'hui par le mode d'enseignement usité, dans lequelsont admises simultanément les considérations de Tune et de Tautre sorte ; il fallait bien se mettre^ en partie du moins, à runisson de rétat général des esprits.

Nous allons maintenant nous occuper exclusivement du domaine abstrait^ expliquer en quoi il consiste, dire quel est son objets quelles sont ses fonctions. Hais^ pour qu'il ne puisse y avoir aucune incertitude à cet égard, quelques explications préalables sont nécessaires.

Si l'objet d'une définition est de faire comprendre une idée, à l'aide d'autres idées déjà connues, il est évident qu'en remontant la chaîne à laquelle une définition quelconque donnera lieu, nous arriverons à une idée primitive, à une idée mère de laquelle dépendront toutes celles qui l'ont précédée, mais qui sera elle-même indépendante^ et par conséquent indéfinissable. Or cela n'aura rien de fâcheux^ à la condition que nous aurons le sens intime de la conception de cette idée; car^ s'il en est ainsi, ma conviction sera formée sur elle, et il ne m'agrée pas moins d'avoir cette conviction par le témoigr.age de mes facultés mentales et physiques que par une définition qui peut être une erreur^ ainsi que l'étude des sciences Ta prouvé maintes fois.