CHAPITRE VI. lOi

lité, nous cesserions d'avoir toute notion de Texistence des choses; il ne nous resterait donc plus rien, et par conséquent il n'y aurait pas de science à constituer.

Hais, le principe de pluralité admis^ la première pensée de rhomme a dû être de rechercher les moyens d'exprimer, soit pour lui-même, soit pour les autres, les sensations variées et les plus immédiates qu'il fait naître en lui. Ces sensations dépendant des diverses manières particulières dont la pluralité peut affecter nos sens ont été distinguées par des signes conventionnels auxquels on a donné le nom de nombres. Les nombres sont donc les signes au moyen desquels nous exprimons et nous précisons les diverses sensations que fait naître en nous l'existence des objets au seul point de vue de la plura* lité.

Les sensations doivent nécessairement jouir de la propriété d'être multiples, puisque c'est par elles que nous sommes avertis des diverses manières d'être de la pluralité, et cela nous conduit à la conception de la formation du nombre. Hais, comme sans pluralité la notion de l'existence des choses disparaît, il s'en suit que lorsque nous parviendrons à l'expression la plus simple de la pluralité, celle par laquelle nous exprimerons qu'elle est réduite à l'unité, celle-ci ne sera plus susceptible de plus ou de moins : ou elle existera telle qu'elle est, ou elle n'existera pas. L'unité numérique n'est donc pas susceptible d'amoindrissement, elle est indivisible comme la sensation qu'elle représente; et parce qu'il nous est permis de concevoir les nombres comme formés par le plus simple d'entre eux ajouté successivement à lui-même, il s'en suit que le nombre tel que nous le considérons ici est soumis à la condition d'être formé par la répétition d'une unité essentiellement indivisible. Tel est fhialemenl l'objet sur lequel l'algèbre est appelée à exercer ses spéculations; tel est Tunique principe à l'aide duquel nous serons autorisé, dans la partie sÂ)straite, à interpréter les résultats de ces spéculations.

Le nombre, défini comme nous venons de le faire, doit donc être l'objectif essentiel de l'algèbre abstraite ; tout le reste constitue les moyens, les opérations que cette science mettra en œuvre pour modifier le nombre, la pluralité en plus ou en moins suivant nos besoins ou nos désirs; et sa mission consistera à

^09. DE l'abstbaction en algèbre.

rechercher les procédés propres à réaliser avec certitude ce plus ou ce moins. Ces procédés indiqueront donc les relations qui doivent exister entre l'idée de pluralité ou le nombre pris dans un certain état, et cette idée ramenée à un autre élat indiqué à Pavance, de sorte qu'on peut dire que l'algèbre est la science qui recherche et détermine les rapports que peuvent avoir entre eux les divers étals de Tidée de pluralité, c'est-à-dire les nombres. Ces rapports seront d'ailleurs naturellement exprimés par les moyens dont dispose l'algèbre, c'est-à-dire par les opérations.

Tels sont les termes dans lesquels nous paraît devoir être posée la question afin qu'il n'y ait pas plus d'incertitude sur le point de départ que sur les moyens et sur les conclusions.

Disons toutefois que, si nous nous plaçons au début dans une position où le point de vue est excessivement limité, nous verrons successivement l'horizon s'agrandir et s'étendre jusqu'aux distances les plus éloignées, et qu'il y aura autant de généralité dans les conclusions que de restriction apparente dans le début.

Ces choses ainsi entendues, si Ton vient à se demander ce qui doit advenir en algèbre des diverses conséquences auxquelles ses procédés devront nous conduire, nous n'hésiterons pas à répondre que, si nos demandes se trouvent en parfait accord avec la nature du nombre, les conclusions obtenues seront naturellement compréhensibles et réalisables; que si, au contraire, ces demandes sont inconciliables avec la nature du nombre telle que nous l'avons définie, les conclusions devront tout aussi nécessairement être irréalisables.

Et il est impossible qu'il en soit autrement. Car, que faudrait-il penser de l'exactitude de l'algèbre, et quelle pourrait être son utilité pour nous, si elle ne répondait pas par le possible à ce qui se peut, par 1 impossible à ce qui ne se peut pas ?

Or comment tout cela nous sera-t-il révélé ? par la nature des rapports qu'elle mettra à jour dans chaque circonstance, par le fait de conclusions exprimées, dans le premier cas, par

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un ensemble de moyens, d'opérations exécutables sur le nombre; dans le second cas, par un ensemble d'opérations inexécutables parce qu'elles seront incompatibles avec la nature du nombre.

Il n'y a d'ailleurs rien que de naturel dans cette manière de comprendre les choses, c'est-à dire dans celte association constante et inévitable du nombre et des opérations ; car des nombres seuls pas plus que des opérations seules ne sauraient constituer une question. Avec des nombres seuls, les moyens d'agir n'existeraient pas; avec des moyens seuls^ il n'y aurait pas plus d'objet que de forme possibles pour la demande et pour la réponse.

Si donc l'algèbre est la science qui a pour objet de nous apprendre ce qu'il faut faire pour modifier en plus ou en moins, et sous certaines conditions, un état primitif de pluralité exprimé par un ou plusieurs nombres, il faut, d'une part^ que nous lui fassions connaître cet état et ces conditions ; d'autre part, qu'à son tour elle nous indique ceux qui pourront nous permettre d'obtenir le but désiré; et il sera indispensable, qu'on le remarque bien, que ces nouvelles conditions et ce nouvel état soient en parfaite équivalence avec les premiers, sans quoi il est évident que l'algèbre n'aurait pas satisfait à la question proposée.

Cette équivalence, aussi nécessaire qu'évidente, entre l'expression algébrique primitive qui représente la demande et celle qui forme la conclusion est d'ailleurs la clef qui ouvre la réponse à toutes les difficultés. Et d'abord^ comme les nombres que nous plaçons dans la première sont parfaitement compréhensibles par eux-mêmes, qu'ils sont les représentants d'un certain état de pluralité, et qu'il n'est pas un seul de ces états dont nous n'ayons la parfaite intelligence, il s'en suit que nous devrons nous abstenir de faire rejaillir sur l'idée de nombre les obscurités qui pourront se présenter dans la réponse. Hais ce dont nous sommes beaucoup moins certains, c'est d'associer toujours les nombres très-compréhensibles dont nous faisons usage avec des conditions qui ne répugnent pas à leur nature. A cet égard nous pouvons être entraînés à de grandes méprises, et il peut y avoir ainsi dans les conditions écrites de la demande, et dans les opérations algébriques qui sont la re-