CHAPITRE YI
et simplement ce que Talgèbre nous donne en réalité, c'est-àdire un nombre et une opération, et, pour parler plus clairement encore^ un nombre et F usage qu'il faudra faire de ce nombre; si nous ne cherchons pas à combiner en un seul tout incompréhensible deux choses distinctes qui se comprennent parfaitement dans les fonctions spéciales qui sont dévolues à chacune; si, sans autre complication d'idée, nous disons que lorsqu'une question donne naissance à la manifestation de— a, cela veut dire qu'elle sera résolue par remploi de a, et d'une soustraction; séparant alors ces deux choses, laissant chacune accomplir son rôle et sa mission, respectant les défînitions de chacune, et les employant Tune et l'autre suivant leurs moyens, et suivant ce que Talgèbre indique, il n'y aura plus rien dans tout ceci qui répugne à notre raison; étant parti d'un ensemble de nombres et d'opérations, nous arrivons à un autre ensemble équivalent de nombres et d'opérations; qu'y a-t-il de plus clair et de plus rigoureux qu'une telle conclusion ? Ne cherchons donc pas à ne voir qu'une chose là où nous en avons mis plusieurs au début, et où la logique de l'algèbre en met plusieurs à la fin; ne forçons pas notre esprit à s'enquérir de ce que pourrait être un nombre négatif, une sensation négative, demandons-lui simplement ce qui pourra advenir lorsque nous aurons à faire usage d'un nombre dont chaque unité doit remplir la fonction d'opérer par voie de diminution. Cela pourra ne pas toujours se pratiquer, mais du moins la compréhension de ce qu'il faut faire ne nous manquera jamais. Ce dont nous aurons à nous enquérir alors, ce sera de nous mettre à la recherche des procédés au moyen desquels nous pourrons combiner les nombres et les opérations de l'énoncé avec les nombres et les opérations de la conclusion. Or, non-seulement il n'y a plus rien d'incompréhensible dans les termes de cette question, mais sa solution est des plus faciles, et la fameuse règle dite des signes, sans qu'il soit nécessaire de recourir à aucune considération concrète, devient, même dans le pur domaine de l'abstraction, une conséquence immédiate des premières définitions de l'arithmétique, ainsi que nous le verrons tout à l'heure.
Hais le principe de l'invariabilité de la nature du nombre, nous le répétons, doit être respecté en toute occasion ; ne le ré-
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servons pas seulement comme un privilège de la partie abstraite de l'algèbre. Si le nombre, figure dans le domaine concret, il y prendra place avec ses attributs^ ni plus ni moins ; il ne peut pas en avoir d'autres^ car sans cela il cesserait d'être le nombre que nous avons défini, et il nous faudrait autant d'espèces de nombres que d'espèces de quantités à attributs différents. La division de i3 par 4> par exemple, ne sera pas plus possible en abstrait qu'en concret , et si nous n'avions que ce moyen de réaliser une solution , il faudrait y renoncera tout jamais. Seulement, tandis que, dans le domaine abstrait, nous nous trouvons en présence de la seule idée de nombre, et que les opérations à faire portent exclusivement sur elle, dans le domaine concret, la représentation des quantités est sinon en apparence, du moins nécessairement complexe, comme peuvent l'être les quantités elles-mêmes, et d'autant plus complexe que les attributs naturels de ces quantités le sont eux-mêmes davantage. Or, en vertu de cette complexité même, nous aurons à examiner si ce qui est et restera toujours impossible pour le nombre ne peut pas être pratiqué sur les éléments d'association, qui, alors, quoique sous-entendus dans la forme, viennent se combiner mentalement avec lui pour représenter la quantité. C'est ce que nous expliquerons en détail dans la seconde partie.
Il est maintenant facile de prévoir que les. attributs du nombre étant très-limités, il pourra y avoir dans l'algèbre abstraite beaucoup de solutions impossibles. Si, par exemple, un nombre doit être divisé en trois parties, et qu'il ne soit pas formé en totalité par une collection de groupes contenant chacun trois unités, il ne sera pas possible d'effectuer cette opération; si un nombre n'est pas un carré, c'est-à-dire s'il n'est pas formé d'une collection d'un certain nombre d'unités répétée autant de fois que l'indique ce même nombre d'unités, il sera impossible d'en extraire la racine carrée, et ainsi de suite.
Or, ce qui est très-digne d'attention, au sujet de ces impossibilités, c'est que tandis que pour quelques-unes d'entre elles on en est venu à vouloir les considérer comme des nombres
